Cours — Fonctions de référence
Fonction carré \(x\mapsto x^2\) • fonction inverse \(x\mapsto \dfrac{1}{x}\) • fonction racine \(x\mapsto \sqrt{x}\) •
comparaisons graphiques • résolutions simples (équations / inéquations).
1) Objectifs (ce que tu dois savoir faire)
Compétences attendues
- Donner le domaine d’une fonction de référence.
- Connaître le sens de variation et quelques valeurs simples.
- Tracer / reconnaître l’allure d’une courbe (symétries, asymptotes).
- Résoudre des équations simples : \(x^2=a\), \(\dfrac{1}{x}=a\), \(\sqrt{x}=a\).
- Résoudre des inéquations simples en s’aidant du graphique : \(x^2\le a\), \(\dfrac{1}{x}\ge a\), \(\sqrt{x}\le a\).
- Comparer graphiquement : qui est au-dessus ? où se coupent-elles ?
Pièges fréquents (à connaître)
- \(\sqrt{x}\) n’existe (en réels) que si \(\boxed{x\ge 0}\).
- \(\dfrac{1}{x}\) n’existe pas en \(x=0\) : \(\boxed{x\neq 0}\).
- \(\sqrt{x^2}=|x|\) (pas \(x\) !).
- \(x^2=a\) : si \(a>0\), il y a deux solutions \(\pm\sqrt{a}\).
- \(\sqrt{x}=a\) : il faut \(\boxed{a\ge 0}\), sinon aucune solution réelle.
Idée clé : une “fonction de référence” = une forme très connue, qu’on sait reconnaître vite et utiliser pour lire/estimer des solutions.
2) Fonction carré \(f(x)=x^2\)
Domaine, valeurs, symétrie
| Domaine | \(\mathbb{R}\) (tous les réels). |
|---|---|
| Valeurs | \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge 0\) donc \(\mathrm{Im}(f)=[0 ; +\infty[\). |
| Parité | \(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\) : fonction paire (symétrie par rapport à l’axe des ordonnées). |
Points repères : \((-2 ; 4)\), \((-1 ; 1)\), \((0 ; 0)\), \((1 ; 1)\), \((2 ; 4)\).
Variations (raisonnement simple)
Sur \([0 ; +\infty[\), plus \(x\) est grand, plus \(x^2\) est grand ⇒ croissante.
Sur \(]-\infty ; 0]\), quand \(x\) augmente vers 0, \(|x|\) diminue donc \(x^2\) diminue ⇒ décroissante.
Sur \(]-\infty ; 0]\), quand \(x\) augmente vers 0, \(|x|\) diminue donc \(x^2\) diminue ⇒ décroissante.
| Intervalle | Sens de variation |
|---|---|
| \(]-\infty ; 0]\) | décroissante |
| \([0 ; +\infty[\) | croissante |
Exemple 1 — Résoudre \(x^2=9\) puis \(x^2\le 9\)
Équation \(x^2=9\)
- On cherche les réels dont le carré vaut 9.
- \(\sqrt{9}=3\) donc \(\boxed{x=3}\) ou \(\boxed{x=-3}\).
Conclusion : \(\boxed{\{x\}=\{-3\ ;\ 3\}}\).
Inéquation \(x^2\le 9\)
- \(x^2\le 9 \iff |x|\le 3\).
- Donc \(\boxed{-3\le x\le 3}\).
Conclusion : \(\boxed{x\in[-3 ; 3]}\).
Réflexe : pour \(x^2\le a\) avec \(a\ge 0\), on obtient un intervalle centré en 0 : \(\boxed{-\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}}\).
3) Fonction inverse \(g(x)=\dfrac{1}{x}\)
Domaine, asymptotes, parité
| Domaine | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (interdit en \(0\)). |
|---|---|
| Asymptotes |
Axe vertical : \(\boxed{x=0}\) (quand \(x\to 0^+\), \(\frac{1}{x}\to +\infty\); quand \(x\to 0^-\), \(\frac{1}{x}\to -\infty\)). Axe horizontal : \(\boxed{y=0}\) (quand \(|x|\to +\infty\), \(\frac{1}{x}\to 0\)). |
| Parité | \(g(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-g(x)\) : fonction impaire (symétrie par rapport à l’origine). |
Variations (signe et évolution)
Sur \(]0 ; +\infty[\), quand \(x\) augmente, \(\dfrac{1}{x}\) diminue ⇒ décroissante.
Sur \(]-\infty ; 0[\), quand \(x\) augmente (ex : \(-10\to -1\)), \(\dfrac{1}{x}\) diminue aussi (ex : \(-0{,}1\to -1\)) ⇒ décroissante.
Sur \(]-\infty ; 0[\), quand \(x\) augmente (ex : \(-10\to -1\)), \(\dfrac{1}{x}\) diminue aussi (ex : \(-0{,}1\to -1\)) ⇒ décroissante.
| Intervalle | Sens de variation | Signe |
|---|---|---|
| \(]-\infty ; 0[\) | décroissante | \(g(x)<0\) |
| \(]0 ; +\infty[\) | décroissante | \(g(x)>0\) |
Points repères : \((1 ; 1)\), \((2 ; \tfrac12)\), \((\tfrac12 ; 2)\), \((-1 ; -1)\), \((-2 ; -\tfrac12)\).
Exemple 2 — Résoudre \(\dfrac{1}{x}=4\) puis \(\dfrac{1}{x}\ge 2\)
Équation \(\dfrac{1}{x}=4\)
- Domaine : \(x\neq 0\).
- \(\dfrac{1}{x}=4 \iff 1=4x \iff x=\dfrac{1}{4}\).
Conclusion : \(\boxed{x=\dfrac{1}{4}}\).
Inéquation \(\dfrac{1}{x}\ge 2\)
Ici, multiplier par \(x\) peut changer le sens selon le signe de \(x\).
Le plus sûr en 2nde : étude par cas (ou lecture graphique).
\(\dfrac{1}{x}\ge 2 \iff \dfrac{1}{x}-2\ge 0 \iff \dfrac{1-2x}{x}\ge 0\).
- Zéro du numérateur : \(1-2x=0 \Rightarrow x=\dfrac12\).
- Zéro interdit : \(x=0\).
- On étudie le signe de \(\dfrac{1-2x}{x}\) sur \(]-\infty;0[\), \(]0;\tfrac12[\), \(]\tfrac12;+\infty[\).
| Intervalle | Signe de \(1-2x\) | Signe de \(x\) | Signe du quotient |
|---|---|---|---|
| \(]-\infty ; 0[\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(]0 ; \tfrac12[\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(]\tfrac12 ; +\infty[\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
Donc \(\dfrac{1}{x}\ge 2\) pour \(\boxed{x\in]0\ ;\ \dfrac12]}\).
À retenir : avec \(\dfrac{1}{x}\), on sépare souvent en deux branches (coupure en \(x=0\)).
4) Fonction racine \(h(x)=\sqrt{x}\)
Domaine, valeurs, points repères
| Domaine | \(\boxed{[0 ; +\infty[}\). |
|---|---|
| Valeurs | \(\sqrt{x}\ge 0\), donc \(\mathrm{Im}(h)=[0 ; +\infty[\). |
| Points repères | \((0 ; 0)\), \((1 ; 1)\), \((4 ; 2)\), \((9 ; 3)\), \((16 ; 4)\). |
Interprétation : \(y=\sqrt{x}\) signifie “\(y\) est le nombre positif dont le carré vaut \(x\)”.
Variation + comparaison à \(x\)
Sur \([0 ; +\infty[\), la fonction \(\sqrt{x}\) est croissante :
si \(0\le a\le b\) alors \(\sqrt{a}\le \sqrt{b}\).
Comparaison classique :
- Sur \([0 ; 1]\) : \(\sqrt{x}\ge x\) (ex : \(x=0{,}25\Rightarrow \sqrt{x}=0{,}5\)).
- Sur \([1 ; +\infty[\) : \(\sqrt{x}\le x\).
Exemple 3 — Résoudre \(\sqrt{x}=5\) puis \(\sqrt{x}\le 3\)
Équation \(\sqrt{x}=5\)
- Domaine : \(x\ge 0\) (OK ici).
- On élève au carré (possible car les deux membres sont \(\ge 0\)) : \(x=25\).
Conclusion : \(\boxed{x=25}\).
Inéquation \(\sqrt{x}\le 3\)
- On garde \(x\ge 0\).
- \(\sqrt{x}\le 3 \iff x\le 9\) (en élevant au carré).
Conclusion : \(\boxed{x\in[0 ; 9]}\).
Attention : si on a \(\sqrt{x}\ge -2\), c’est toujours vrai sur le domaine car \(\sqrt{x}\ge 0\).
5) Comparaisons graphiques (qui est au-dessus ? où se coupent-elles ?)
Principe “au-dessus / en dessous”
Pour comparer deux fonctions \(f\) et \(g\) sur un intervalle :
- \(f(x)\ge g(x)\) ⇔ la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).
- Les points d’intersection vérifient \(f(x)=g(x)\).
Méthode rapide en 2nde : on résout \(f(x)=g(x)\), puis on teste un point dans chaque intervalle.
Exemple “classique” : \(x^2\) et \(\sqrt{x}\)
On cherche les intersections :
\[
x^2=\sqrt{x}\quad \text{avec } x\ge 0.
\]
On peut élever au carré : \(x^4=x\), donc
\[
x^4-x=0 \iff x(x^3-1)=0 \iff x=0\ \text{ou}\ x=1.
\]
Donc les courbes se coupent en \((0 ; 0)\) et \((1 ; 1)\).
Test : pour \(x=0{,}25\) on a \(x^2=0{,}0625\) et \(\sqrt{x}=0{,}5\) ⇒ \(\sqrt{x}\) au-dessus sur \([0 ; 1]\).
Pour \(x=4\) : \(x^2=16\) et \(\sqrt{x}=2\) ⇒ \(x^2\) au-dessus sur \([1 ; +\infty[\).
Pour \(x=4\) : \(x^2=16\) et \(\sqrt{x}=2\) ⇒ \(x^2\) au-dessus sur \([1 ; +\infty[\).
Exemple 4 — Comparer \(x^2\) et \(\dfrac{1}{x}\)
On résout \(x^2=\dfrac{1}{x}\) avec \(x\neq 0\) :
\[
x^2=\frac{1}{x}\iff x^3=1\iff x=1.
\]
Donc une intersection en \((1 ; 1)\).
Testons :
- Pour \(x=2\) : \(x^2=4\) et \(\dfrac{1}{x}=\dfrac12\) ⇒ \(x^2\) au-dessus.
- Pour \(x=\dfrac12\) : \(x^2=\dfrac14\) et \(\dfrac{1}{x}=2\) ⇒ \(\dfrac{1}{x}\) au-dessus.
- Pour \(x=-1\) : \(x^2=1\) et \(\dfrac{1}{x}=-1\) ⇒ \(x^2\) au-dessus (et attention : les domaines ne se “coupent” pas en négatif pour \(\sqrt{x}\)).
Ici, les comparaisons dépendent de l’intervalle choisi et du domaine (coupure en \(x=0\)).
6) Résolutions simples (équations / inéquations types)
Tableau “types” (à savoir refaire)
| Type | Condition | Résultat |
|---|---|---|
| \(x^2=a\) | Si \(a<0\) : aucune solution réelle | Si \(a\ge 0\) : \(\boxed{x=\pm\sqrt{a}}\) |
| \(x^2\le a\) | Il faut \(a\ge 0\) | \(\boxed{x\in[-\sqrt{a}\ ;\ \sqrt{a}]}\) |
| \(\dfrac{1}{x}=a\) | \(x\neq 0\) | Si \(a\neq 0\) : \(\boxed{x=\dfrac{1}{a}}\). Si \(a=0\) : aucune solution. |
| \(\sqrt{x}=a\) | Il faut \(\boxed{a\ge 0}\) et \(\boxed{x\ge 0}\) | \(\boxed{x=a^2}\) |
| \(\sqrt{x}\le a\) | Si \(a<0\) : aucune solution. Sinon \(a\ge 0\) | \(\boxed{x\in[0\ ;\ a^2]}\) |
Exemple 5 — Résolution “graphique” (idée) : \(x^2\ge 4\)
\[
x^2\ge 4 \iff |x|\ge 2 \iff x\le -2\ \text{ou}\ x\ge 2.
\]
Conclusion : \(\boxed{x\in]-\infty ; -2]\ \cup\ [2 ; +\infty[}\).
Lecture graphique : la parabole \(y=x^2\) est au-dessus de la droite \(y=4\) en dehors de l’intervalle \([-2 ; 2]\).
Exemple 6 — Une “équation mixte” : \(\sqrt{x}= \dfrac{1}{x}\)
Domaine : \(\boxed{x>0}\) (car \(\sqrt{x}\) impose \(x\ge 0\) et \(\dfrac{1}{x}\) impose \(x\neq 0\)).
\[
\sqrt{x}=\frac{1}{x}\iff x\sqrt{x}=1.
\]
Pose \(t=\sqrt{x}\) (avec \(t\ge 0\)), alors \(x=t^2\) et
\[
x\sqrt{x}=t^2\cdot t=t^3=1 \Rightarrow t=1 \Rightarrow x=t^2=1.
\]
Conclusion : \(\boxed{x=1}\).
Astuce 2nde : quand tu vois \(\sqrt{x}\), pense souvent à poser \(t=\sqrt{x}\) (avec \(t\ge 0\)) pour simplifier.
7) Mini-formulaire (mémo)
Carré
Domaine : \(\mathbb{R}\)
Image : \([0 ; +\infty[\)
\(x^2=a\) : si \(a\ge 0\), \(\ x=\pm\sqrt{a}\)
\(x^2\le a\) : si \(a\ge 0\), \(\ x\in[-\sqrt{a}\ ;\ \sqrt{a}]\)
Image : \([0 ; +\infty[\)
\(x^2=a\) : si \(a\ge 0\), \(\ x=\pm\sqrt{a}\)
\(x^2\le a\) : si \(a\ge 0\), \(\ x\in[-\sqrt{a}\ ;\ \sqrt{a}]\)
Inverse
Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
Asymptotes : \(x=0\) et \(y=0\)
Parité : impaire
\(\dfrac{1}{x}=a\) : si \(a\neq 0\), \(x=\dfrac{1}{a}\)
Asymptotes : \(x=0\) et \(y=0\)
Parité : impaire
\(\dfrac{1}{x}=a\) : si \(a\neq 0\), \(x=\dfrac{1}{a}\)
Racine
Domaine : \([0 ; +\infty[\)
Image : \([0 ; +\infty[\)
\(\sqrt{x}=a\) : si \(a\ge 0\), \(x=a^2\)
\(\sqrt{x}\le a\) : si \(a\ge 0\), \(x\in[0\ ;\ a^2]\)
Image : \([0 ; +\infty[\)
\(\sqrt{x}=a\) : si \(a\ge 0\), \(x=a^2\)
\(\sqrt{x}\le a\) : si \(a\ge 0\), \(x\in[0\ ;\ a^2]\)
Comparaison “au-dessus”
\(f(x)\ge g(x)\) ⇔ courbe de \(f\) au-dessus de celle de \(g\).
Intersections : résoudre \(f(x)=g(x)\), puis tester un point par zone.
Intersections : résoudre \(f(x)=g(x)\), puis tester un point par zone.
Notation FR : intervalles \([a ; b]\), \(]a ; b[\), \(]-\infty ; +\infty[\).
Checklist “je suis prêt”
- Je sais les domaines : \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \([0 ; +\infty[\).
- Je sais les formes : parabole (carré), hyperbole (inverse), courbe “racine” (démarre en \((0 ; 0)\)).
- Je sais résoudre : \(x^2=a\), \(\dfrac{1}{x}=a\), \(\sqrt{x}=a\) et les inéquations associées.
- Je sais comparer deux courbes en trouvant d’abord les intersections.