Quiz — Fonctions de référence

20 exercices solides — fonction carré, inverse, racine carrée, comparaisons, résolutions simples.

Niveau : dur 2nde

Quiz — Fonctions de référence

20 exercices solides — fonction carré, inverse, racine carrée, comparaisons, résolutions simples.

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Q1. Le domaine de \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) est : Non vérifié

\(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) \(]2;+\infty[\)

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Indice

Interdire les valeurs qui annulent le denominateur.

Correction

On doit avoir \(x-2\neq 0\), donc \(x\neq2\). Le domaine est \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Q2. Le domaine de \(g(x)=\sqrt{3-2x}\) est : Non vérifié

\(]-\infty;3/2]\) \([3/2;+\infty[\) \(]-\infty;+\infty[\) \([0;+\infty[\)

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Sous une racine, il faut une quantite positive ou nulle.

Correction

Condition: \(3-2x\ge0\Rightarrow -2x\ge-3\Rightarrow x\le3/2\). Donc \(D_g=]-\infty;3/2]\).

Q3. Pour \(u(x)=x^2\), laquelle est vraie ? Non vérifié

\(u\) est impaire \(u\) est paire \(u\) est decroissante sur \([0;+\infty[\) \(u\) n a pas de minimum

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Comparer \(u(-x)\) et \(u(x)\).

Correction

On a \(u(-x)=(-x)^2=x^2=u(x)\), donc \(u\) est paire. Elle est croissante sur \([0;+\infty[\) et admet un minimum 0.

Q4. Pour \(v(x)=\dfrac{1}{x}\), laquelle est vraie ? Non vérifié

\(v\) est paire \(v\) est impaire \(v\) est definie en 0 \(v\) est croissante sur \(]0;+\infty[\)

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Calculer \(v(-x)\).

Correction

\(v(-x)=\frac1{-x}=-\frac1x=-v(x)\): \(v\) est impaire. De plus elle n est pas definie en 0 et elle est decroissante sur \(]0;+\infty[\).

Q5. Comparer \(x^2\) et \(\sqrt{x}\) pour \(x=4\). Non vérifié

\(x^2<\sqrt{x}\) \(x^2=\sqrt{x}\) \(x^2>\sqrt{x}\) impossible de comparer

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Calculer numeriquement les deux valeurs.

Correction

Pour \(x=4\): \(x^2=16\) et \(\sqrt{x}=2\). Donc \(x^2>\sqrt{x}\).

Q6. Les antecedents de 9 par la fonction carre sont : Non vérifié

\(\{9\}\) \(\{-9\}\) \(\{-3;3\}\) \(\{0;9\}\)

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Resoudre \(x^2=9\).

Correction

\(x^2=9\Rightarrow x=-3\) ou \(x=3\). Les antecedents sont \(\{-3;3\}\).

Q7. Sur \(]0;+\infty[\), la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est : Non vérifié

strictement decroissante strictement croissante constante ni croissante ni decroissante

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Observer les images de \(1,4,9,\dots\).

Correction

Quand \(x\) augmente, \(\sqrt{x}\) augmente aussi. La fonction est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).

Q8. L equation \(\sqrt{x}=x\) admet comme solutions : Non vérifié

\(\{0\}\) \(\{1\}\) \(\{0;1\}\) \(\{-1;1\}\)

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Elever au carre puis verifier les solutions dans le domaine.

Correction

\(\sqrt{x}=x\Rightarrow x=x^2\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow x=0\) ou \(x=1\). Les deux sont valides (avec \(x\ge0\)).

Q9. Pour \(f(x)=x^2\), cocher les affirmations vraies : Non vérifié

\(f(-2)=4\) \(f(3)=9\) \(f\) est impaire \(f\) admet un minimum 0

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Verifier les images et la parite.

Correction

\(f(-2)=4\), \(f(3)=9\), et la fonction carre admet un minimum 0 en 0. Elle est paire, pas impaire.

Q10. Pour \(g(x)=\dfrac1x\), cocher les affirmations vraies : Non vérifié

Domaine \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) \(g(2)=\dfrac12\) \(g(-2)=\dfrac12\) \(g\) est decroissante sur \(]0;+\infty[\)

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Attention au signe pour \(g(-2)\).

Correction

Le domaine exclut 0. \(g(2)=1/2\). \(g(-2)=-1/2\), donc la proposition correspondante est fausse. Sur \(]0;+\infty[\), \(g\) est decroissante.

Q11. Pour \(h(x)=\sqrt{x}\), cocher les affirmations vraies : Non vérifié

Domaine \([0;+\infty[\) \(h(0)=0\) \(h(9)=81\) \(h\) est croissante sur \([0;+\infty[\)

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Bien distinguer \(h(9)\) et \(9^2\).

Correction

La racine carree est definie pour \(x\ge0\), \(h(0)=0\), et elle est croissante. \(h(9)=3\), pas 81.

Q12. Comparer graphiquement: pour \(x\ge1\), cocher les affirmations vraies : Non vérifié

\(x^2\ge x\) \(\sqrt{x}\le x\) \(\dfrac1x\ge1\) \(x^2\ge \sqrt{x}\)

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Tester a \(x=1\) puis pour \(x>1\).

Correction

Pour \(x\ge1\), on a \(x^2\ge x\ge \sqrt{x}\). Aussi \(1/x\le1\), donc la troisieme proposition est fausse.

Q13. Calculer \(f(-5)\) pour \(f(x)=x^2\). Non vérifié

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Ne pas oublier le carre du signe negatif.

Correction

\(f(-5)=(-5)^2=25\).

Q14. Resoudre \(x^2=49\). Non vérifié

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Une equation du type \(x^2=a\) avec \(a>0\) a deux solutions opposees.

Correction

\(x^2=49\Rightarrow x=7\) ou \(x=-7\).

Q15. Resoudre \(\dfrac1x=-4\). Non vérifié

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Inverser le nombre \(-4\).

Correction

\(\frac1x=-4\Rightarrow x=-\frac14\).

Q16. Resoudre \(\sqrt{x}=5\). Non vérifié

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Elever les deux membres au carre.

Correction

\(\sqrt{x}=5\Rightarrow x=25\).

Q17. Donner le domaine de \(u(x)=\dfrac1{\sqrt{x-3}}\). Non vérifié

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La racine est au denominateur: elle doit etre strictement positive.

Correction

Il faut \(x-3>0\), donc \(x>3\). Domaine: \(]3;+\infty[\).

Q18. Donner les solutions de \(|x|=2\) sous forme d ensemble. Non vérifié

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Valeur absolue egale a \(a>0\): deux solutions opposees.

Correction

\(|x|=2\Rightarrow x=-2\) ou \(x=2\). Ensemble: \(\{-2;2\}\).

Q19. Comparer pour \(x=1/4\): calculer \(x^2\) et \(\sqrt{x}\) (reponse sous forme \((a;b)\)). Non vérifié

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Calculer separement \((1/4)^2\) et \(\sqrt{1/4}\).

Correction

\((1/4)^2=1/16\) et \(\sqrt{1/4}=1/2\). Reponse: \((1/16;1/2)\).

Q20. Resoudre \(x^2\le 4\) en intervalle. Non vérifié

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Encadrement equivalent a \(-2\le x\le2\).

Correction

\(x^2\le4\iff -2\le x\le2\). Intervalle solution: \([-2;2]\).

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sin cos tan ln log exp lim → ↦ ' limx→+∞ limx→−∞ limx→a limx→a⁺ limx→a⁻ lim x→□ f(□) □/□

∫ ∑ ∏ d/dx f'(□) ∞ ≈ □/□ x^□ √□ x_□