Fiche ultra-synthèse — Fonctions de référence (2nde)
Carré \(x^2\) • inverse \(\dfrac{1}{x}\) • racine \(\sqrt{x}\).
Objectif : savoir lire un graphique, comparer des courbes et résoudre les équations/inéquations types.
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Fonction carré \(f(x)=x^2\)
Domaine : \(\mathbb{R}\) • Image : \([0 ; +\infty[\)
Parité : paire (symétrie axe des ordonnées).
Parité : paire (symétrie axe des ordonnées).
| Intervalle | Variation | Repères |
|---|---|---|
| \(]-\infty ; 0]\) | décroissante | \((-2 ; 4)\), \((-1 ; 1)\) |
| \([0 ; +\infty[\) | croissante | \((0 ; 0)\), \((1 ; 1)\), \((2 ; 4)\) |
Équation-type : \(x^2=a\). Si \(a\ge 0\) : \(\boxed{x=\pm\sqrt{a}}\). Si \(a<0\) : aucune solution réelle.
2 Fonction inverse \(g(x)=\dfrac{1}{x}\)
Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
Asymptotes : \(x=0\) et \(y=0\)
Parité : impaire (symétrie par rapport à l’origine).
Asymptotes : \(x=0\) et \(y=0\)
Parité : impaire (symétrie par rapport à l’origine).
| Intervalle | Variation | Signe |
|---|---|---|
| \(]-\infty ; 0[\) | décroissante | \(g(x)<0\) |
| \(]0 ; +\infty[\) | décroissante | \(g(x)>0\) |
Piège : ne jamais “simplifier” par \(x\) sans vérifier \(x\neq 0\).
Équation-type : \(\dfrac{1}{x}=a\). Si \(a\neq 0\) : \(\boxed{x=\dfrac{1}{a}}\). Si \(a=0\) : aucune solution.
3 Fonction racine \(h(x)=\sqrt{x}\)
Domaine : \([0 ; +\infty[\) • Image : \([0 ; +\infty[\)
Variation : croissante sur \([0 ; +\infty[\).
Variation : croissante sur \([0 ; +\infty[\).
Points repères : \((0 ; 0)\), \((1 ; 1)\), \((4 ; 2)\), \((9 ; 3)\), \((16 ; 4)\).
Équation-type : \(\sqrt{x}=a\). Condition : \(\boxed{a\ge 0}\). Alors \(\boxed{x=a^2}\).
Toujours : \(\sqrt{x}\ge 0\). Donc \(\sqrt{x}\ge -3\) est vraie sur tout le domaine.
4 Lecture graphique (super important)
- \(f(x)=a\) ⇔ intersections de la courbe de \(f\) avec la droite \(y=a\).
- \(f(x)\le a\) ⇔ partie de la courbe en dessous de \(y=a\).
- \(f(x)=g(x)\) ⇔ points d’intersection des deux courbes.
- \(f(x)\ge g(x)\) ⇔ courbe de \(f\) au-dessus de celle de \(g\).
Avant toute résolution : je vérifie le domaine (ex : \(\sqrt{x}\Rightarrow x\ge 0\), \(\dfrac1x\Rightarrow x\neq 0\)).
Tableau mémo (1 minute avant contrôle)
| Fonction | Domaine | Variation | Symétrie / Asymptotes | Points repères |
|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \(\searrow\) sur \(]-\infty;0]\), \(\nearrow\) sur \([0;+\infty[\) | paire (axe \(Oy\)) | \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;4)\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\) | impaire + asymptotes \(x=0\), \(y=0\) | \((1;1)\), \((2;\tfrac12)\), \((\tfrac12;2)\) |
| \(\sqrt{x}\) | \([0;+\infty[\) | croissante sur \([0;+\infty[\) | — | \((0;0)\), \((1;1)\), \((4;2)\), \((9;3)\) |
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Résoudre \(x^2\le a\)
- Si \(a<0\) : aucune solution (car \(x^2\ge 0\)).
- Si \(a\ge 0\) : \(x^2\le a \iff |x|\le \sqrt{a}\).
Exemple : \(x^2\le 9 \iff |x|\le 3 \iff x\in[-3 ; 3]\).
B Résoudre \(\sqrt{x}\le a\)
- Si \(a<0\) : aucune solution (car \(\sqrt{x}\ge 0\)).
- Si \(a\ge 0\) : \(\sqrt{x}\le a \iff x\le a^2\), avec toujours \(x\ge 0\).
Exemple : \(\sqrt{x}\le 4 \iff x\le 16\) et \(x\ge 0\) ⇒ \(x\in[0 ; 16]\).
C Résoudre \(\dfrac{1}{x}\ge a\) (réflexe “signe”)
En 2nde, méthode sûre : écrire sous forme de fraction et faire un tableau de signes.
\(\dfrac{1}{x}\ge 2 \iff \dfrac{1-2x}{x}\ge 0\).
Zéros/points critiques : \(x=\tfrac12\) (numérateur), \(x=0\) (interdit).
Signe ⇒ solution : \(x\in]0 ; \tfrac12]\).
Zéros/points critiques : \(x=\tfrac12\) (numérateur), \(x=0\) (interdit).
Signe ⇒ solution : \(x\in]0 ; \tfrac12]\).
Piège : multiplier par \(x\) sans savoir si \(x\) est + ou −.
D Résoudre \(f(x)=g(x)\) (comparaison)
- Résoudre l’égalité \(f(x)=g(x)\) (intersections).
- Découper l’axe en intervalles avec ces valeurs + contraintes de domaine.
- Tester un point dans chaque intervalle pour savoir qui est au-dessus.
Exemple : \(x^2=\sqrt{x}\) avec \(x\ge 0\).
\(x^4=x \iff x(x^3-1)=0 \iff x=0\) ou \(x=1\).
\(x^4=x \iff x(x^3-1)=0 \iff x=0\) ou \(x=1\).
Comparaisons graphiques (résultats clés à connaître)
1 \(\sqrt{x}\) vs \(x\)
Sur \([0 ; 1]\) : \(\boxed{\sqrt{x}\ge x}\).
Sur \([1 ; +\infty[\) : \(\boxed{\sqrt{x}\le x}\).
Sur \([1 ; +\infty[\) : \(\boxed{\sqrt{x}\le x}\).
Test : \(x=0{,}25\Rightarrow \sqrt{x}=0{,}5 > 0{,}25\).
Test : \(x=4\Rightarrow \sqrt{x}=2 < 4\).
Test : \(x=4\Rightarrow \sqrt{x}=2 < 4\).
2 \(x^2\) vs \(\sqrt{x}\)
Domaine commun : \(x\ge 0\). Intersections : \((0;0)\) et \((1;1)\).
Sur \([0;1]\) : \(\boxed{\sqrt{x}\ge x^2}\).
Sur \([1;+\infty[\) : \(\boxed{x^2\ge \sqrt{x}}\).
Sur \([0;1]\) : \(\boxed{\sqrt{x}\ge x^2}\).
Sur \([1;+\infty[\) : \(\boxed{x^2\ge \sqrt{x}}\).
\(x^2=\sqrt{x}\Rightarrow x^4=x\Rightarrow x=0\) ou \(x=1\).
3 \(x^2\) vs \(\dfrac{1}{x}\)
Domaine : \(x\neq 0\). Intersection : \(x=1\) (point \((1;1)\)).
Pour \(x>0\) : sur \(]0;1[\), \(\dfrac{1}{x}>x^2\). Sur \([1;+\infty[\), \(x^2\ge\dfrac{1}{x}\).
Pour \(x>0\) : sur \(]0;1[\), \(\dfrac{1}{x}>x^2\). Sur \([1;+\infty[\), \(x^2\ge\dfrac{1}{x}\).
Pour \(x<0\), \(\dfrac{1}{x}<0\) mais \(x^2>0\) ⇒ \(x^2\) est toujours au-dessus.
4 \(\dfrac{1}{x}\) : lecture “branche”
- Sur \(]0;+\infty[\), la branche est en quadrant I (valeurs positives) et descend vers 0.
- Sur \(]-\infty;0[\), la branche est en quadrant III (valeurs négatives) et descend aussi.
- Plus \(x\) est proche de 0, plus \(\dfrac{1}{x}\) “explose”.
Pièges classiques (à éviter)
1 Domaine oublié
\(\sqrt{x}\) ⇒ \(x\ge 0\).
\(\dfrac{1}{x}\) ⇒ \(x\neq 0\).
Toujours annoncer le domaine avant de résoudre.
\(\dfrac{1}{x}\) ⇒ \(x\neq 0\).
Toujours annoncer le domaine avant de résoudre.
2 Élever au carré
Si tu élèves au carré, vérifie que les deux membres sont \(\ge 0\).
Exemple : \(\sqrt{x}=a\) impose \(a\ge 0\).
Exemple : \(\sqrt{x}=a\) impose \(a\ge 0\).
3 Inverse : signe
Pour \(\dfrac{1}{x}\ge a\), ne multiplie pas par \(x\) sans savoir si \(x>0\) ou \(x<0\).
Fais un tableau de signes.
Fais un tableau de signes.
Réflexe graphique : une solution d’équation = une intersection ; une solution d’inéquation = une zone “au-dessus/au-dessous”.
Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés
Q1 Carré
Résoudre \(x^2=16\).
Corrigé : \(\sqrt{16}=4\) ⇒ \(x=\pm 4\) ⇒ \(\{-4 ; 4\}\).
Q2 Carré
Résoudre \(x^2\le 25\).
Corrigé : \(|x|\le 5\) ⇒ \(x\in[-5 ; 5]\).
Q3 Inverse
Résoudre \(\dfrac{1}{x}=-3\).
Corrigé : \(x=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}\) (et \(x\neq 0\)).
Q4 Racine
Résoudre \(\sqrt{x}=7\).
Corrigé : \(x=49\) (avec \(x\ge 0\)).
Q5 Racine
Résoudre \(\sqrt{x}\le 2\).
Corrigé : \(x\le 4\) et \(x\ge 0\) ⇒ \(x\in[0 ; 4]\).
Q6 Comparaison
Résoudre \(x^2=\dfrac{1}{x}\).
Corrigé : \(x\neq 0\), \(x^3=1\) ⇒ \(x=1\) (point \((1 ; 1)\)).
Q7 Intersections
Résoudre \(x^2=\sqrt{x}\) (en réels).
Corrigé : domaine \(x\ge 0\). \(x^4=x\Rightarrow x=0\) ou \(x=1\).
Q8 Lecture
Sur \(]0;+\infty[\), \(\dfrac{1}{x}\) est-elle croissante ?
Corrigé : non, elle est décroissante (plus \(x\) augmente, plus \(1/x\) diminue).
Q9 Domaine
Domaine de \(x\mapsto \sqrt{x-3}\).
Corrigé : \(x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3\Rightarrow [3;+\infty[\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Donner les domaines : \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \([0;+\infty[\).
- Connaître les variations de \(x^2\), \(\dfrac{1}{x}\), \(\sqrt{x}\).
- Tracer/placer les points repères sans calculatrice.
- Lire des solutions d’équations/inéquations sur un graphique.
- Résoudre les types : \(x^2=a\), \(x^2\le a\), \(\dfrac1x=a\), \(\sqrt{x}=a\), \(\sqrt{x}\le a\).
Réflexes 20/20
1) Domaine d’abord (toujours).
2) Une équation = intersection ; une inéquation = zone au-dessus/au-dessous.
3) Avec \(\dfrac{1}{x}\), penser “coupure en \(0\)” + tableau de signes si besoin.
2) Une équation = intersection ; une inéquation = zone au-dessus/au-dessous.
3) Avec \(\dfrac{1}{x}\), penser “coupure en \(0\)” + tableau de signes si besoin.
À bannir : multiplier une inéquation par \(x\) sans gérer son signe ; oublier \(a\ge 0\) dans \(\sqrt{x}=a\).