2nde Maths Fonctions de référence

Fonctions de référence

Étudier les fonctions identité, carré, cube, inverse, racine carrée et valeur absolue, leurs domaines, variations, parité et courbes.

2nde Fonctions Cours
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Cours — Fonctions de référence

Dans ce chapitre, on étudie quelques fonctions de référence très importantes en mathématiques. Elles servent de modèles pour comprendre le comportement d'autres fonctions plus compliquées.

1. Fonction identité : \( f(x) = x \)

  • Expression : \( f(x) = x \).
  • Domaine de définition : tous les réels \( \mathbb{R} \).
  • Table de valeurs : par exemple \( f(-2)=-2,\ f(-1)=-1,\ f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(2)=2 \).
  • Représentation graphique : droite passant par l’origine, avec coefficient directeur \(1\).
  • Variation : fonction strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Fonction carré : \( f(x) = x^2 \)

  • Expression : \( f(x) = x^2 \).
  • Domaine : tous les réels \( \mathbb{R} \).
  • Valeurs : \( f(-2)=4,\ f(-1)=1,\ f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(2)=4 \).
  • Représentation : une courbe en forme de « U » appelée parabole, symétrique par rapport à l’axe vertical.
  • Signe : \( x^2 \ge 0 \) pour tout réel \(x\).
  • Variations :
    • Décroissante sur \(]-\infty;0]\)
    • Croissante sur \([0;+\infty[\)
  • Parité : fonction paire : \( f(-x) = f(x) \).

3. Fonction cube : \( f(x) = x^3 \)

  • Expression : \( f(x) = x^3 \).
  • Domaine : tous les réels \(\mathbb{R}\).
  • Valeurs : \( f(-2)=-8,\ f(-1)=-1,\ f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(2)=8 \).
  • Représentation : courbe qui traverse l’origine, « en S » étiré, croisant l’axe des ordonnées en 0.
  • Variation : fonction strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  • Parité : fonction impaire : \( f(-x) = -f(x) \).

4. Fonction inverse : \( f(x) = \dfrac{1}{x} \)

  • Expression : \( f(x) = \dfrac{1}{x} \).
  • Domaine : tous les réels sauf 0, c’est-à-dire \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
  • Représentation : courbe appelée hyperbole, située dans les quadrants I et III.
  • Signe :
    • si \( x>0 \), alors \( \dfrac{1}{x} > 0 \) ;
    • si \( x<0 \), alors \( \dfrac{1}{x} < 0 \).
  • Variations :
    • décroissante sur \( ]-\infty;0[ \) ;
    • décroissante sur \( ]0;+\infty[ \).
  • Asymptotes : l’axe des ordonnées (droite \(x=0\)) et l’axe des abscisses (droite \(y=0\)).

5. Fonction racine carrée : \( f(x) = \sqrt{x} \)

  • Expression : \( f(x) = \sqrt{x} \).
  • Domaine : \( [0;+\infty[ \) car on ne prend pas la racine carrée d’un nombre négatif en Seconde.
  • Valeurs : \( f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(4)=2,\ f(9)=3 \).
  • Représentation : courbe croissante partant de l’origine, de plus en plus « plate ».
  • Variation : fonction croissante sur \([0;+\infty[\).

6. Fonction valeur absolue : \( f(x) = |x| \)

  • Expression : \( f(x) = |x| \).
  • Définition : \[ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases} \]
  • Domaine : tous les réels \(\mathbb{R}\).
  • Représentation : deux demi-droites formant un « V » pointé vers le bas, sommet en \( (0;0) \).
  • Signe : \( |x| \ge 0 \) pour tout réel \(x\).
  • Parité : fonction paire : \( |-x| = |x| \).

7. Résumé (domaines et variations)

\[ \begin{array}{c|c|c} \text{Fonction} & \text{Domaine} & \text{Variation principale} \\ \hline x & \mathbb{R} & \text{croissante sur } \mathbb{R} \\ x^2 & \mathbb{R} & \text{décroissante sur } ]-\infty;0],\ \text{croissante sur } [0;+\infty[ \\ x^3 & \mathbb{R} & \text{croissante sur } \mathbb{R} \\ \dfrac{1}{x} & \mathbb{R} \setminus \{0\} & \text{décroissante sur } ]-\infty;0[ \text{ et } ]0;+\infty[ \\ \sqrt{x} & [0;+\infty[ & \text{croissante sur } [0;+\infty[ \\ |x| & \mathbb{R} & \text{décroissante sur } ]-\infty;0],\ \text{croissante sur } [0;+\infty[ \\ \end{array} \]