Fiche de révision — Fonctions de référence
À connaître : expression, domaine, variations, parité et forme de la courbe des fonctions de référence.
1. Fonction identité
\( f(x) = x \)
- Domaine : \( \mathbb{R} \)
- Courbe : droite oblique passant par l’origine.
- Variations : croissante sur \( \mathbb{R} \).
- Parité : impaire ( \( f(-x) = -f(x) \) ).
À retenir : \( f(x) = x \) est le modèle le plus simple de fonction croissante.
2. Fonction carré
\( f(x) = x^2 \)
- Domaine : \( \mathbb{R} \)
- Signe : \( x^2 \ge 0 \) pour tout réel \(x\).
- Variations : décroissante sur \( ]-\infty;0] \), croissante sur \( [0;+\infty[ \).
- Parité : paire ( \( f(-x) = f(x) \) ).
- Courbe : parabole en « U », sommet en \( (0;0) \).
À retenir : \( x^2 \) est toujours positif ou nul, et symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
3. Fonction cube
\( f(x) = x^3 \)
- Domaine : \( \mathbb{R} \)
- Signe : même signe que \(x\) (positif si \(x>0\), négatif si \(x<0\)).
- Variations : croissante sur \( \mathbb{R} \).
- Parité : impaire ( \( f(-x) = -f(x) \) ).
- Courbe : en « S », traversant l’origine.
À retenir : \( x^3 \) est un modèle de fonction strictement croissante sur tout \( \mathbb{R} \).
4. Fonction inverse
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
- Domaine : \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
- Signe : positif si \(x>0\), négatif si \(x<0\).
- Variations : décroissante sur \( ]-\infty;0[ \) et sur \( ]0;+\infty[ \).
- Parité : impaire ( \( f(-x) = -f(x) \) ).
- Asymptotes : droites \(x=0\) et \(y=0\).
- Courbe : hyperbole (deux branches dans les quadrants I et III).
À retenir : la fonction inverse n’est jamais définie en 0 et sa courbe s’approche des axes sans jamais les couper.
5. Fonction racine carrée
\( f(x) = \sqrt{x} \)
- Domaine : \( [0;+\infty[ \)
- Signe : \( \sqrt{x} \ge 0 \) pour tout \(x\ge 0\).
- Variations : croissante sur \( [0;+\infty[ \).
- Courbe : part de l’origine et « s’aplatit » en grandissant.
À retenir : \( \sqrt{x} \) est lente à croître : entre 0 et 9, l’image ne dépasse pas 3.
6. Fonction valeur absolue
\( f(x) = |x| \)
- Définition : \[ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0,\\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases} \]
- Domaine : \( \mathbb{R} \)
- Signe : toujours positif ou nul : \( |x| \ge 0 \).
- Variations : décroissante sur \( ]-\infty;0] \), croissante sur \( [0;+\infty[ \).
- Parité : paire ( \( |-x| = |x| \) ).
- Courbe : en « V » symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
À retenir : la valeur absolue mesure la distance à 0 sur la droite des réels.
7. Mini-exercices de révision
- Pour chaque fonction, donner son domaine : \(x^2\), \(x^3\), \(\dfrac{1}{x}\), \(\sqrt{x}\), \(|x|\).
- Dire pour chacune si elle est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre : \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(|x|\).
- Résoudre sans calculatrice : \(x^2 = 4\), \(x^3 = 8\), \(|x| \le 3\), \(\dfrac{1}{x} > 0\).
- Sur un même repère, esquisser rapidement les courbes de \(x\), \(x^2\), \(|x|\).