Fiche de révision — Équations Et Inéquations (2nde)
Cette fiche de révision de maths en 2nde résume le chapitre Équations Et Inéquations. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
Fiche de révision — Équations & inéquations
Ultra-synthèse : méthodes + formules + tableaux de signes + pièges essentiels (niveau 2nde).
Équations 1er degré
Produit nul
Quotient nul
Inéquations
Signes
Problèmes
1) Vocabulaire essentiel
Équation
\[
3x+2=11
\]
- Une équation est une égalité contenant une inconnue.
- Résoudre, c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’égalité vraie.
- On écrit les solutions dans un ensemble \(S\).
Inéquation
\[
2x-5<7
\]
- Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue.
- La solution est souvent un intervalle ou une union d’intervalles.
- Notation française : \([a;b]\), \(]a;b[\), \(]-\infty;a]\).
Notation des solutions
- Une solution : \(S=\{a\}\)
- Deux solutions : \(S=\{a;b\}\)
- Aucune solution : \(S=\varnothing\)
- Tous les réels : \(S=\mathbb R\)
- Intervalle : \(S=[a;b]\), \(S=]a;+\infty[\)
2) Équation du premier degré
Forme à connaître
\[
ax+b=0
\]
\[
ax=-b
\]
\[
x=-\frac{b}{a}\quad(a\ne0)
\]
Méthode rapide
- Développer si nécessaire.
- Réduire chaque membre.
- Regrouper les termes en \(x\) d’un côté.
- Regrouper les nombres de l’autre côté.
- Isoler \(x\).
Exemple direct
\[
5x-7=18
\]
\[
5x=25
\]
\[
x=5
\]
\[
\boxed{S=\{5\}}
\]
Cas particuliers
- Si on obtient une égalité impossible, par exemple \(2=5\), alors \(S=\varnothing\).
- Si on obtient une égalité toujours vraie, par exemple \(0=0\), alors \(S=\mathbb R\).
3) Équation produit nul
\[
A(x)B(x)=0
\iff
A(x)=0\ \text{ou}\ B(x)=0
\]
Méthode
- Mettre l’équation sous la forme produit \(A(x)B(x)=0\).
- Résoudre chaque équation séparément.
- Réunir toutes les solutions.
Exemple
\[
(2x-6)(x+4)=0
\]
\[
2x-6=0\ \text{ou}\ x+4=0
\]
\[
x=3\ \text{ou}\ x=-4
\]
\[
\boxed{S=\{-4;3\}}
\]
Piège
Si l’expression est déjà factorisée, ne pas développer inutilement : utiliser directement le produit nul.
4) Équation quotient nul
\[
\frac{A(x)}{B(x)}=0
\iff
A(x)=0\ \text{et}\ B(x)\ne0
\]
Méthode
- Déterminer les valeurs interdites : \(B(x)\ne0\).
- Résoudre le numérateur nul : \(A(x)=0\).
- Refuser toute solution qui annule le dénominateur.
Exemple
\[
\frac{x-3}{x+2}=0
\]
\[
x+2\ne0\Rightarrow x\ne -2
\]
\[
x-3=0\Rightarrow x=3
\]
\[
\boxed{S=\{3\}}
\]
Piège majeur
Le dénominateur ne doit jamais être nul. Une solution trouvée au numérateur peut être interdite.
5) Inéquations du premier degré
Règle principale
- On résout presque comme une équation.
- On garde le même sens si on ajoute, soustrait ou divise par un nombre positif.
- On inverse le sens si on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Exemple important
\[
-5x+2>17
\]
\[
-5x>15
\]
\[
x<-3
\]
\[
\boxed{S=]-\infty;-3[}
\]
Exemple simple
\[
3x-4\le 8
\]
\[
3x\le 12
\]
\[
x\le 4
\]
\[
\boxed{S=]-\infty;4]}
\]
À retenir
Dans une inéquation, l’erreur la plus fréquente est d’oublier d’inverser le signe quand on divise par un nombre négatif.
6) Tableaux de signes
Signe de \(ax+b\)
\[
ax+b=0
\iff
x=-\frac{b}{a}
\]
- Si \(a>0\) : signe \(-\) puis \(+\).
- Si \(a<0\) : signe \(+\) puis \(-\).
Utilisation
- Résoudre une inéquation produit.
- Résoudre une inéquation quotient.
- Repérer les intervalles où une expression est positive ou négative.
Exemple : \((x-2)(x+3)\ge0\)
| \(x\) | \(]-\infty;-3[\) | \(-3\) | \(]-3;2[\) | \(2\) | \(]2;+\infty[\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x+3\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \((x-2)(x+3)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On cherche \(\ge0\), donc :
\[
\boxed{S=]-\infty;-3]\cup[2;+\infty[}
\]
7) Problèmes avec inconnue
Méthode
- Choisir l’inconnue.
- Traduire l’énoncé par une équation ou une inéquation.
- Résoudre.
- Vérifier si la solution est possible dans le contexte.
- Rédiger une phrase de conclusion.
Mots-clés
- “est égal à” : \(=\)
- “au moins” : \(\ge\)
- “au plus” : \(\le\)
- “strictement supérieur à” : \(>\)
- “strictement inférieur à” : \(<\)
Exemple rapide
Un abonnement coûte \(12\) € puis \(3\) € par séance. On cherche à partir de combien de séances le coût dépasse \(40\) €.
\[
12+3x>40
\]
\[
3x>28
\]
\[
x>\frac{28}{3}\approx 9{,}33
\]
Comme \(x\) est un nombre entier de séances :
\[
\boxed{10\ \text{séances}}
\]
8) Pièges classiques
| Erreur fréquente | Correction |
|---|---|
| Diviser par \(x\) sans vérifier \(x\ne0\) | On évite de diviser par une expression contenant l’inconnue sans étude préalable. |
| Oublier la valeur interdite dans un quotient | Commencer par \(B(x)\ne0\). |
| Ne pas inverser le sens d’une inéquation | Si on divise par un négatif, le signe change. |
| Écrire une réponse sans ensemble \(S\) | Toujours conclure avec \(S=\dots\). |
| Confondre \(\ge0\) et \(>0\) | Avec \(\ge\), on inclut les racines ; avec \(>\), on les exclut. |
Mini entraînement (3 minutes)
À faire
- Résoudre : \(4x+9=1\).
- Résoudre : \((x-5)(3x+6)=0\).
- Résoudre : \(\dfrac{x+2}{x-3}=0\).
- Résoudre : \(7-2x\le15\).
- Résoudre : \((x-1)(x+4)<0\).
Réponses
\[
4x+9=1 \iff x=-2
\quad\Rightarrow\quad S=\{-2\}
\]
\[
(x-5)(3x+6)=0
\quad\Rightarrow\quad S=\{-2;5\}
\]
\[
\frac{x+2}{x-3}=0
\quad\Rightarrow\quad x\ne3,\ x=-2
\quad\Rightarrow\quad S=\{-2\}
\]
\[
7-2x\le15
\quad\Rightarrow\quad x\ge -4
\quad\Rightarrow\quad S=[-4;+\infty[
\]
\[
(x-1)(x+4)<0
\quad\Rightarrow\quad S=]-4;1[
\]
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