Exercices corrigés — Équations Et Inéquations (2nde)

1) \(4x-7=2x+9\)

On regroupe : \(4x-2x=9+7\), donc \(2x=16\), puis \(x=8\). Ainsi \(S=\{8\}\).

2) \(3(x-2)=2x+11\)

Développer donne \(3x-6=2x+11\). Donc \(x=17\), d’où \(S=\{17\}\).

3) \(5(2x-1)-3(x+4)=2x+9\)

Après développement : \(10x-5-3x-12=2x+9\), soit \(7x-17=2x+9\). Ainsi \(5x=26\), donc \(x=\dfrac{26}{5}\) et \(S=\left\{\dfrac{26}{5}\right\}\).

4) \(2(3x-5)-4=3(2x-1)-11\)

Les deux membres se réduisent à \(6x-14\). On obtient donc une identité vraie pour tout réel : \(S=\mathbb R\).

1) \(\dfrac{2x-3}{4}+\dfrac{x+1}{6}=\dfrac{5}{3}\)

On multiplie par \(12\) : \(3(2x-3)+2(x+1)=20\). Donc \(6x-9+2x+2=20\), soit \(8x=27\). Ainsi \(S=\left\{\dfrac{27}{8}\right\}\).

2) \(\dfrac{x+2}{3}-\dfrac{x-1}{2}=1\)

On multiplie par \(6\) : \(2(x+2)-3(x-1)=6\). Ainsi \(2x+4-3x+3=6\), donc \(x=1\).

3) \(\dfrac{3x-4}{6}=\dfrac{x+2}{3}\)

Multiplier par \(6\) donne \(3x-4=2(x+2)\), donc \(3x-4=2x+4\), d’où \(x=8\).

4) \(\dfrac{2x-5}{3}-\dfrac{x+4}{5}=\dfrac{x-1}{2}\)

On multiplie par \(30\) : \(10(2x-5)-6(x+4)=15(x-1)\). Après réduction : \(14x-74=15x-15\), donc \(x=-59\).

1) \(2(x+1)=2x+5\)

Développer donne \(2x+2=2x+5\), donc \(2=5\), contradiction. Ainsi \(S=\varnothing\).

2) \(4(x-1)=4x-4\)

Les deux membres sont identiques : \(4x-4=4x-4\). L’égalité est vraie pour tout \(x\), donc \(S=\mathbb R\).

3) \(5(2x-1)-10x=-7\)

Le membre de gauche vaut toujours \(10x-5-10x=-5\). L’équation devient \(-5=-7\), impossible : \(S=\varnothing\).

4) \(3(2x+5)-6x=15\)

Le membre de gauche se réduit à \(6x+15-6x=15\). On obtient \(15=15\), donc \(S=\mathbb R\).

1) \((x-4)(x+7)=0\)

Produit nul : \(x-4=0\) ou \(x+7=0\). Donc \(S=\{-7;4\}\).

2) \((3x-6)(2x+5)=0\)

On résout \(3x-6=0\) ou \(2x+5=0\). Ainsi \(x=2\) ou \(x=-\dfrac52\), donc \(S=\left\{-\dfrac52;2\right\}\).

3) \(x(5x-15)=0\)

On a \(x=0\) ou \(5x-15=0\), donc \(x=0\) ou \(x=3\). Ainsi \(S=\{0;3\}\).

4) \((x+1)^2-(x+1)(2x-3)=0\)

On factorise : \((x+1)[(x+1)-(2x-3)]=(x+1)(4-x)\). Le produit nul donne \(x=-1\) ou \(x=4\).

1) \(x^2-16=0\)

\(x^2-16=(x-4)(x+4)\). Donc \(x=4\) ou \(x=-4\), soit \(S=\{-4;4\}\).

2) \((2x-3)^2-49=0\)

\((2x-3)^2-7^2=(2x-10)(2x+4)\). Ainsi \(x=5\) ou \(x=-2\).

3) \(9x^2-25=0\)

\(9x^2-25=(3x-5)(3x+5)\). Donc \(S=\left\{-\dfrac53;\dfrac53\right\}\).

4) \((3x+2)^2-(x-4)^2=0\)

On factorise \(A^2-B^2\) avec \(A=3x+2\), \(B=x-4\) : \((2x+6)(4x-2)=0\). Donc \(S=\left\{-3;\dfrac12\right\}\).

1) \(x(x-4)+(x-4)(3x+2)=0\)

On met \(x-4\) en facteur : \((x-4)(4x+2)=2(x-4)(2x+1)\). Donc \(S=\left\{-\dfrac12;4\right\}\).

2) \((x+3)(2x-1)+(x+3)(x-5)=x^2-9\)

On ramène tout à gauche et on utilise \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Le membre devient \((x+3)(2x-3)\). Donc \(S=\left\{-3;\dfrac32\right\}\).

3) \((2x-5)(x+1)=(x+1)(x-7)+(x^2-1)\)

Comme \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), tous les termes se regroupent avec \(x+1\). La différence des deux membres vaut \(3(x+1)\). Donc \(x=-1\).

4) \(4x^2-9-2(2x-3)+x(2x-3)=0\)

On écrit \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\) puis on met \(2x-3\) en facteur : on obtient \((2x-3)(3x+1)=0\). Ainsi \(S=\left\{-\dfrac13;\dfrac32\right\}\).

1) \(\dfrac{x-5}{x+2}=0\)

Domaine : \(x\ne-2\). Le numérateur s’annule pour \(x=5\), valeur autorisée. Donc \(S=\{5\}\).

2) \(\dfrac{x^2-9}{x-3}=0\)

Domaine : \(x\ne3\). Le numérateur \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) s’annule pour \(3\) et \(-3\), mais \(3\) est interdit. Donc \(S=\{-3\}\).

3) \(\dfrac{x^2+x}{x}=0\)

Domaine : \(x\ne0\). Le numérateur \(x(x+1)\) donne \(0\) ou \(-1\). On élimine \(0\), donc \(S=\{-1\}\).

4) \(\dfrac{(x-2)(x+5)}{x+5}=0\)

Domaine : \(x\ne-5\). Le numérateur donne \(x=2\) ou \(x=-5\). La seconde valeur est interdite : \(S=\{2\}\).

1) \(\dfrac{2x+1}{x-3}=3\)

Domaine : \(x\ne3\). On obtient \(2x+1=3x-9\), donc \(x=10\), valeur autorisée.

2) \(\dfrac{x-4}{2x+5}=-1\)

Domaine : \(x\ne-\dfrac52\). Alors \(x-4=-2x-5\), donc \(3x=-1\) et \(x=-\dfrac13\).

3) \(\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac52\)

Domaine : \(x\ne-1\). En multipliant par \(2(x+1)\) : \(2(3x-2)=5(x+1)\), soit \(x=9\).

4) \(\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+2}=3\)

Domaine : \(x\ne-2\). Sur ce domaine, le quotient vaut \(x-1\). Ainsi \(x-1=3\), donc \(x=4\).

1) \(\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x+2}\)

Domaine : \(x\ne1,-2\). Produit en croix : \(2(x+2)=3(x-1)\), donc \(x=7\). Ainsi \(S=\{7\}\).

2) \(\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{2x+2}{x+1}\)

Domaine : \(x\ne2,-1\). Après produit en croix : \((x+1)^2=2(x+1)(x-2)\), soit \((x+1)(5-x)=0\). \(x=-1\) est interdit ; il reste \(x=5\).

3) \(\dfrac{x+3}{x-1}=2+\dfrac{4}{x-1}\)

Domaine : \(x\ne1\). En multipliant par \(x-1\), on obtient \(x+3=2x+2\), donc \(x=1\), précisément la valeur interdite. Ainsi \(S=\varnothing\).

4) \(\dfrac{2x-1}{x+2}=\dfrac{x+4}{x+2}+\dfrac12\)

Domaine : \(x\ne-2\). En multipliant par \(2(x+2)\) : \(2(2x-1)=2(x+4)+(x+2)\). Donc \(x=12\), valeur autorisée.

1) \(x^2=49\)

\(x^2=7^2\), donc \(x=-7\) ou \(x=7\).

2) \((x-3)^2=16\)

\(x-3=4\) ou \(x-3=-4\), donc \(x=7\) ou \(x=-1\).

3) \((2x+1)^2=25\)

\(2x+1=5\) ou \(2x+1=-5\), donc \(x=2\) ou \(x=-3\).

4) \((3x-2)^2=0\)

\((3x-2)^2=0\) implique \(3x-2=0\), donc \(x=\dfrac23\).

1) \(3x-7<8\)

\(3x<15\), donc \(x<5\). Ainsi \(S=]-\infty;5[\).

2) \(-2x+5\le13\)

\(-2x\le8\). En divisant par \(-2\), on inverse le sens : \(x\ge-4\). Donc \(S=[-4;+\infty[\).

3) \(4(x-1)>2x+6\)

\(4x-4>2x+6\), donc \(2x>10\), puis \(x>5\). Ainsi \(S=]5;+\infty[\).

4) \(5-3(2x+1)\ge2x-6\)

Après développement : \(2-6x\ge2x-6\), donc \(-8x\ge-8\). En divisant par \(-8\), \(x\le1\).

1) \(-3<2x+1\le7\)

Soustraire \(1\) puis diviser par \(2\) : \(-4<2x\le6\), donc \(-2

2) \(1\le\dfrac{x-2}{3}<4\)

Multiplier par \(3\), puis ajouter \(2\) : \(3\le x-2<12\), donc \(5\le x<14\). Ainsi \(S=[5;14[\).

3) \(-5\le-2x+1<9\)

On obtient \(-6\le-2x<8\). En divisant par \(-2\), les sens s’inversent : \(3\ge x>-4\), soit \(-4

4) \(\begin{cases}2x-3>1\5-x\ge2\end{cases}\)

La première inéquation donne \(x>2\) ; la seconde donne \(x\le3\). Leur intersection est \(S=]2;3]\).

1) \((x-2)(x+5)>0\)

Zéros : \(-5\) et \(2\). Le produit est positif à l’extérieur : \(S=]-\infty;-5[\cup]2;+\infty[\).

2) \((3x-6)(x+1)\le0\)

Zéros : \(-1\) et \(2\). Le produit est négatif ou nul entre les racines : \(S=[-1;2]\).

3) \((2x+3)(5-x)<0\)

Zéros : \(-\dfrac32\) et \(5\). Le produit est strictement négatif à l’extérieur : \(S=]-\infty;-\dfrac32[\cup]5;+\infty[\).

4) \((4x-1)(2-x)\ge0\)

Zéros : \(\dfrac14\) et \(2\). Le produit est positif ou nul entre les racines : \(S=[\dfrac14;2]\).

1) \((x-2)(x+1)(3x-4)\ge0\)

Valeurs critiques : \(-1,\dfrac43,2\). Le tableau donne \(S=[-1;\dfrac43]\cup[2;+\infty[\).

2) \(x(x-3)(x+2)<0\)

Valeurs critiques : \(-2,0,3\). Pour un signe strictement négatif : \(S=]-\infty;-2[\cup]0;3[\).

3) \((2x+1)(x-2)(x+4)\le0\)

Valeurs critiques : \(-4,-\dfrac12,2\). Le tableau donne \(S=]-\infty;-4]\cup[-\dfrac12;2]\).

4) \((3-x)(x+2)(2x-5)>0\)

Valeurs critiques : \(-2,\dfrac52,3\). En tenant compte de \(3-x\), on obtient \(S=]-\infty;-2[\cup]\dfrac52;3[\).

1) \(\dfrac{x-3}{x+2}\ge0\)

Valeur interdite : \(-2\), zéro : \(3\). Le quotient est positif sur \(]-\infty;-2[\) et \([3;+\infty[\).

2) \(\dfrac{2x+4}{x-5}<0\)

Zéro : \(-2\), valeur interdite : \(5\). Le quotient est strictement négatif sur \(]-2;5[\).

3) \(\dfrac{3x-1}{x+4}\le0\)

Valeur interdite : \(-4\), zéro : \(\dfrac13\). Le quotient est négatif ou nul sur \(]-4;\dfrac13]\).

4) \(\dfrac{4-x}{2x+1}>0\)

Valeur interdite : \(-\dfrac12\), zéro : \(4\). Le quotient est strictement positif sur \(]-\dfrac12;4[\).

1) \(\dfrac{(x-2)(x+5)}{x-1}>0\)

Valeurs critiques : \(-5,1,2\), avec \(1\) interdit. Le tableau donne \(S=]-5;1[\cup]2;+\infty[\).

2) \(\dfrac{(x+1)(2x-3)}{x-4}\ge0\)

Valeurs critiques : \(-1,\dfrac32,4\), avec \(4\) interdit. On obtient \(S=[-1;\dfrac32]\cup]4;+\infty[\).

3) \(\dfrac{(x-5)(2x+3)}{(x+1)(x-2)}\le0\)

Valeurs critiques : \(-\dfrac32,-1,2,5\), avec \(-1\) et \(2\) interdits. Ainsi \(S=[-\dfrac32;-1[\cup]2;5]\).

4) \(\dfrac{(2x+1)(x-4)}{(x-2)(x+3)}>0\)

Valeurs critiques : \(-3,-\dfrac12,2,4\), avec \(-3\) et \(2\) interdits. Le signe positif donne \(S=]-\infty;-3[\cup]-\dfrac12;2[\cup]4;+\infty[\).

1) \((t-4)(t+2)>(t+2)(3t-8)\)

On obtient \((t+2)[(t-4)-(3t-8)]>0\), soit \(-2(t+2)(t-2)>0\). Donc \((t+2)(t-2)<0\), d’où \(S=]-2;2[\).

2) \((x-2)(3x+7)\le(x-2)(x+5)\)

La différence vaut \(2(x-2)(x+1)\). Résoudre \((x-2)(x+1)\le0\) donne \(S=[-1;2]\).

3) \((2x+1)(x-3)>(2x+1)(4-x)\)

La différence vaut \((2x+1)(2x-7)\). On cherche un produit strictement positif : \(S=]-\infty;-\dfrac12[\cup]\dfrac72;+\infty[\).

4) \((x+4)(2x-1)\le(x+4)(x+6)\)

La différence vaut \((x+4)(x-7)\). L’inégalité \((x+4)(x-7)\le0\) donne \(S=[-4;7]\).

1) \(\dfrac{2x+1}{x+2}\ge3\)

On obtient \(\dfrac{-x-5}{x+2}\ge0\). Valeurs critiques : \(-5\) et \(-2\) interdit. Ainsi \(S=[-5;-2[\).

2) \(\dfrac{3(t-4)}{2t-3}\ge1\)

On obtient \(\dfrac{t-9}{2t-3}\ge0\). La valeur \(t=\dfrac32\) est interdite et \(t=9\) annule le numérateur. Donc \(S=]-\infty;\dfrac32[\cup[9;+\infty[\).

3) \(\dfrac{3x-5}{2x+4}<2\)

On obtient \(\dfrac{-x-13}{2(x+2)}<0\). Les valeurs critiques sont \(-13\) et \(-2\) interdit. Donc \(S=]-\infty;-13[\cup]-2;+\infty[\).

4) \(\dfrac{x+1}{x-3}\le-2\)

Ramener \(-2\) à gauche donne \(\dfrac{3x-5}{x-3}\le0\). On obtient \(S=[\dfrac53;3[\).

1) \(\dfrac{2}{x-2}<\dfrac{3}{x+1}\)

La différence vaut \(\dfrac{8-x}{(x-2)(x+1)}\). Valeurs critiques : \(-1,2,8\), avec \(-1\) et \(2\) interdits. Donc \(S=]-1;2[\cup]8;+\infty[\).

2) \(\dfrac1x<\dfrac{1}{2x-1}\)

La différence vaut \(\dfrac{x-1}{x(2x-1)}\). Les valeurs interdites sont \(0\) et \(\dfrac12\), le zéro est \(1\). Le signe négatif donne \(S=]-\infty;0[\cup]\dfrac12;1[\).

3) \(\dfrac{3}{x+2}\le\dfrac{1}{x-1}\)

La différence vaut \(\dfrac{2x-5}{(x+2)(x-1)}\). Valeurs interdites : \(-2\), \(1\) ; zéro : \(\dfrac52\). Donc \(S=]-\infty;-2[\cup]1;\dfrac52]\).

4) \(\dfrac{2}{x+3}>\dfrac{5}{2x-1}\)

La différence vaut \(\dfrac{-x-17}{(x+3)(2x-1)}\). Valeurs critiques : \(-17,-3,\dfrac12\), les deux dernières étant interdites. Ainsi \(S=]-\infty;-17[\cup]-3;\dfrac12[\).

1) \(x^2\le1\)

\(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Le produit est négatif ou nul entre les racines : \(S=[-1;1]\).

2) \(x^2-9<0\)

\(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Le produit est strictement négatif entre les racines : \(S=]-3;3[\).

3) \((2x+3)^2-25\ge0\)

\((2x+3)^2-25=4(x-1)(x+4)\). On cherche un signe positif ou nul : \(S=]-\infty;-4]\cup[1;+\infty[\).

4) \((3x-1)^2-16<0\)

\((3x-1)^2-16=(3x-5)(3x+3)\). Le produit est strictement négatif entre \(-1\) et \(\dfrac53\) : \(S=]-1;\dfrac53[\).

1) \((x-1)^2(2x+3)\le0\)

Le carré est positif sauf en \(x=1\). Le facteur \(2x+3\) est \(\le0\) pour \(x\le-\dfrac32\). On ajoute aussi le zéro isolé \(x=1\) : \(S=]-\infty;-\dfrac32]\cup\{1\}\).

2) \((x+2)^2(3x-1)>0\)

Le signe est celui de \(3x-1\) sauf en \(x=-2\), où le produit vaut zéro. Pour \(>0\), on obtient \(S=]\dfrac13;+\infty[\).

3) \((x-4)^2(x+1)\ge0\)

Le signe est celui de \(x+1\), et le zéro double \(x=4\) ne crée pas de changement. Donc \(S=[-1;+\infty[\).

4) \((2x-5)^2(1-x)<0\)

Pour \(x>1\), \(1-x<0\). Il faut cependant exclure \(x=\dfrac52\), où le carré s’annule. Ainsi \(S=]1;\dfrac52[\cup]\dfrac52;+\infty[\).

1) \(\dfrac{x^2-4}{x-2}>0\)

Domaine : \(x\ne2\). Sur ce domaine, le quotient vaut \(x+2\). Donc \(x>-2\), en excluant \(2\) : \(S=]-2;2[\cup]2;+\infty[\).

2) \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\le0\)

Domaine : \(x\ne-3\). Le quotient se simplifie en \(x-3\). La condition \(x-3\le0\) donne \(x\le3\), mais \(-3\) reste exclu : \(S=]-\infty;-3[\cup]-3;3]\).

3) \(\dfrac{x^2+x}{x}>2\)

Domaine : \(x\ne0\). Le quotient vaut \(x+1\), donc \(x+1>2\), soit \(x>1\). La valeur interdite n’intervient plus : \(S=]1;+\infty[\).

4) \(\dfrac{(x-1)(x+4)}{x+4}\ge3\)

Domaine : \(x\ne-4\). Le quotient vaut \(x-1\). Résoudre \(x-1\ge3\) donne \(x\ge4\), donc \(S=[4;+\infty[\).

1) Résoudre \(|x-4|\le2\).

\(|x-4|\le2\) équivaut à \(-2\le x-4\le2\), donc \(2\le x\le6\). Ainsi \(S=[2;6]\).

2) Résoudre \(|x+3|\le5\).

\(|x+3|=|x-(-3)|\le5\) décrit l’intervalle de centre \(-3\) et de rayon \(5\) : \(S=[-8;2]\).

3) Écrire l’intervalle \([-2;6]\) sous la forme \(|x-a|\le r\).

Le centre de \([-2;6]\) vaut \(2\) et le rayon vaut \(4\). L’écriture demandée est \(|x-2|\le4\).

4) Résoudre simultanément \(|x-1|\le4\) et \(x>0\).

La première contrainte donne \([-3;5]\). En intersectant avec \(]0;+\infty[\), on obtient \(S=]0;5]\).

1) \(f(x)=x^2-4\) et \(g(x)=2x-1\).

\(x^2-4=2x-1\) donne \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0\). Ainsi \(x=3\) ou \(-1\). Avec \(g\), les ordonnées sont \(5\) et \(-3\). Points : \((3;5)\) et \((-1;-3)\).

2) \(f(x)=x^2+3x\) et \(g(x)=4x\).

\(x^2+3x=4x\) donne \(x(x-1)=0\). Les abscisses sont \(0\) et \(1\), avec ordonnées \(0\) et \(4\). Points : \((0;0)\) et \((1;4)\).

3) \(f(x)=x^2+2x-1\) et \(g(x)=x+5\).

\(x^2+2x-1=x+5\) donne \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0\). Les points sont \((-3;2)\) et \((2;7)\).

4) \(f(x)=x^2-2x+1\) et \(g(x)=3x-3\).

\(x^2-2x+1=3x-3\) donne \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0\). Les points sont \((1;0)\) et \((4;9)\).

1) Développer et réduire \(E(x)\).

Développement : \(E(x)=x^2+3x-10+2x^2-5x+2=3x^2-2x-8\).

2) Factoriser \(E(x)\) de la manière la plus efficace.

On met immédiatement \(x-2\) en facteur : \(E(x)=(x-2)[(x+5)+(2x-1)]=(x-2)(3x+4)\).

3) Résoudre \(E(x)=0\).

Avec la forme factorisée : \((x-2)(3x+4)=0\). Donc \(x=2\) ou \(x=-\dfrac43\).

4) Résoudre \(E(x)\le0\).

Les racines sont \(-\dfrac43\) et \(2\), et le produit est négatif ou nul entre elles. Donc \(S=[-\dfrac43;2]\).

1) Exprimer les coûts \(A(x)\) et \(B(x)\).

\(A(x)=18+4x\) et \(B(x)=50+2x\).

2) Résoudre \(A(x)=B(x)\) et interpréter.

\(18+4x=50+2x\) donne \(2x=32\), donc \(x=16\). Les deux tarifs sont égaux pour 16 séances.

3) Déterminer à partir de combien de séances B devient strictement moins chère que A.

\(50+2x<18+4x\) donne \(32<2x\), donc \(x>16\). Pour un nombre entier de séances, B devient moins chère à partir de \(17\) séances.

4) Comparer les deux formules pour \(25\) séances et calculer l’économie réalisée avec la meilleure formule.

\(A(25)=18+100=118\) € et \(B(25)=50+50=100\) €. La formule B économise \(18\) €.

1) Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles les deux dimensions sont strictement positives.

Il faut \(2x+3>0\) et \(x-1>0\), soit \(x>-\dfrac32\) et \(x>1\). Finalement \(x>1\).

2) Exprimer son périmètre \(P(x)\).

\(P(x)=2[(2x+3)+(x-1)]=2(3x+2)=6x+4\).

3) Résoudre \(P(x)\le40\) en tenant compte des contraintes géométriques.

\(6x+4\le40\) donne \(x\le6\). Avec \(x>1\), on obtient \(x\in]1;6]\).

4) Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles l’aire est au moins égale à \(18\,\text{cm}^2\), toujours sous les contraintes géométriques.

\((2x+3)(x-1)\ge18\) équivaut à \(2x^2+x-21\ge0\), soit \((2x+7)(x-3)\ge0\). Les solutions algébriques sont \(x\le-\dfrac72\) ou \(x\ge3\). Avec \(x>1\), il reste \(x\ge3\).

1) Préciser la contrainte sur \(v\) et exprimer \(T(v)\).

On impose \(v>0\). Le temps de conduite est \(\dfrac{120}{v}\), donc \(T(v)=\dfrac{120}{v}+0{,}5\).

2) Déterminer les vitesses permettant un temps total d’au plus \(2{,}5\) h.

\(\dfrac{120}{v}+0{,}5\le2{,}5\) donne \(\dfrac{120}{v}\le2\). Comme \(v>0\), \(120\le2v\), donc \(v\ge60\) km/h.

3) Calculer le temps total pour \(v=75\) km/h et l’exprimer en heures et minutes.

\(T(75)=\dfrac{120}{75}+0{,}5=1{,}6+0{,}5=2{,}1\) h, soit \(2\) h \(06\) min.

4) Déterminer les vitesses permettant un temps total strictement inférieur à \(2\) h.

\(\dfrac{120}{v}+0{,}5<2\) donne \(\dfrac{120}{v}<1{,}5\). Comme \(v>0\), \(120<1{,}5v\), donc \(v>80\) km/h.

1) Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(B(x)=0\).

\(B(x)=0\) équivaut à \((x-4)(28-x)=0\), donc \(x=4\) ou \(x=28\).

2) Déterminer quand le bénéfice est strictement positif.

Sur \([0;28]\), le produit \((x-4)(28-x)\) est positif entre ses deux zéros. Donc \(4

3) Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(B(x)\ge135\).

\((x-4)(28-x)\ge135\). Après développement et passage à gauche : \(x^2-32x+247\le0\), soit \((x-13)(x-19)\le0\). Donc \(x\in[13;19]\).

4) En tenant compte du fait que \(x\) est entier, interpréter le résultat de la question 3.

Comme \(x\) est entier, le bénéfice est au moins \(135\) € pour \(x\in\{13;14;15;16;17;18;19\}\).

1) \(\dfrac{2x-5}{3}-\dfrac{x+1}{2}=\dfrac16\)

Multiplier par \(6\) : \(2(2x-5)-3(x+1)=1\). Donc \(x-13=1\), soit \(x=14\).

2) \((x-3)(2x+1)+(x-3)(x+5)=0\)

Factoriser : \((x-3)[(2x+1)+(x+5)]=3(x-3)(x+2)\). Le produit nul donne \(S=\{-2;3\}\).

3) \(\dfrac{2}{x-1}<\dfrac{3}{x+2}\)

Domaine : \(x\ne1,-2\). La différence vaut \(\dfrac{7-x}{(x-1)(x+2)}\). Le signe strictement négatif donne \(S=]-2;1[\cup]7;+\infty[\).

4) \(\dfrac{(x-2)(x+4)}{x-1}\le0\)

Valeur interdite : \(1\), zéros : \(-4\) et \(2\). Le tableau donne \(S=]-\infty;-4]\cup]1;2]\).