Équations et inéquations

Exercice 1 — Équations simples du 1^er degré

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \(3x - 5 = 1\)
2. \(7 - 2x = 9\)
3. \(4x + 3 = 2x - 5\)
4. \(5x - 2 = 5x + 4\)

Exercice 2 — Équations avec fractions

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) (en précisant les valeurs interdites si nécessaire) :

1. \(\displaystyle \frac{2x+1}{3} = \frac{x-2}{2}\)
2. \(\displaystyle \frac{5}{x-1} = 1\)
3. \(\displaystyle \frac{x-3}{4} - \frac{x+1}{2} = 1\)

Méthode : on trouve un dénominateur commun, on multiplie les deux membres par ce dénominateur, puis on résout une équation du 1^er degré classique.

Exercice 3 — Équations-produits

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \((2x-3)(x+4) = 0\)
2. \((x-1)(x-5) = 0\)
3. \((3x+2)(2x-7) = 0\)

Rappel : \((A(x))\cdot(B(x))=0 \iff A(x)=0\) ou \(B(x)=0\).

Exercice 4 — Inéquations du 1^er degré

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) puis donner la solution sous forme d'intervalle :

1. \(3x - 2 \leq 7\)
2. \(-2x + 5 > 1\)
3. \(4 - x \geq 0\)

Attention au changement de sens lorsque l'on divise par un nombre négatif.

Exercice 5 — Doubles inéquations

Résoudre les doubles inéquations suivantes :

1. \(1 \leq 2x + 3 < 7\)
2. \(-4 < 3x - 1 \leq 5\)
3. \(-2 \leq \dfrac{x-1}{2} < 3\)

On applique les mêmes opérations aux trois membres, en respectant le sens des inégalités.

Exercice 6 — Problème de modélisation (équation)

Un cinéma propose un tarif « carte » : on paie une carte annuelle à \(30~\text{\euro}\), puis chaque séance coûte \(4{,}50~\text{\euro}\). Sans carte, chaque place coûte \(8{,}50~\text{\euro}\).

1. On note \(n\) le nombre de séances vues dans l'année. Exprimer le prix total avec carte \(C_c(n)\) et le prix total sans carte \(C_s(n)\) en fonction de \(n\).
2. Pour quelle valeur de \(n\) les deux formules donnent-elles le même coût ?
3. À partir de combien de séances la carte devient-elle avantageuse ?

Exercice 7 — Inéquation et intervalle de solutions

On considère l'inéquation \[ \frac{3x-2}{4} \leq 2. \]

1. Résoudre cette inéquation dans \(\mathbb{R}\).
2. Donner la solution sous forme d'intervalle.
3. Vérifier que la valeur \(x=2\) est bien solution.

Exercice 8 — Inéquation avec paramètre (approfondissement)

Soit un réel \(a\) non nul. On considère l'inéquation \[ ax - 3 \geq 2. \]

1. Résoudre cette inéquation en \(x\) en fonction de \(a\), dans le cas où \(a > 0\).
2. Même question dans le cas où \(a < 0\).
3. Expliquer pourquoi il faut distinguer les cas \(a>0\) et \(a<0\).

Exercice 9 — Équation à vérifier dans un contexte

Un rectangle a pour longueur \(L = 3x+2\) (en cm) et pour largeur \(l = x-1\) (en cm), où \(x\) est un nombre réel.

1. Donner une condition sur \(x\) pour que les dimensions aient un sens (longueurs positives).
2. On souhaite que l'aire du rectangle soit égale à \(35~\text{cm}^2\). Écrire une équation en \(x\) modélisant cette situation et la résoudre.
3. Parmi les solutions obtenues, indiquer celles qui conviennent réellement au problème.

Exercice 10 — Mise en équation à partir d'un texte

« Trois fois un nombre, augmenté de 7, donne le double de ce nombre diminué de 5. »

1. Traduire cette phrase par une équation en notant \(x\) le nombre inconnu.
2. Résoudre cette équation.
3. Vérifier la solution en la remplaçant dans la phrase de départ.

Fiche de révision — Équations et inéquations (2^nde)

Résoudre des équations et inéquations du 1^er degré, avec fractions, doubles inéquations et petits problèmes de modélisation.

1. Équations du 1^er degré

• Équation du type \(ax+b=c\) avec \(a\neq 0\) : \[ ax+b=c \iff ax=c-b \iff x=\frac{c-b}{a}. \]
• Si on obtient une égalité du type \(0x = d\) avec \(d\neq 0\), alors il n'y a aucune solution.
• Si on obtient \(0x = 0\), alors tout réel est solution (équation vraie pour tout \(x\) dans l'ensemble de définition).

2. Équations avec fractions

• On trouve un dénominateur commun puis on multiplie les deux membres par ce dénominateur (non nul).
• On vérifie et on exclut les valeurs qui annulent un dénominateur.

Exemple : \[ \frac{2x+1}{3} = \frac{x-2}{2} \iff 2(2x+1) = 3(x-2) \iff 4x+2 = 3x-6 \iff x=-8. \]

3. Équations-produits

• \((A(x))\cdot(B(x))=0 \iff A(x)=0 \quad \text{ou} \quad B(x)=0.\)
• On factorise l'expression puis on résout chaque équation simple.

4. Inéquations du 1^er degré

• On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité.
• On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans changer le sens.
• On doit inverser le sens si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif.

On donne la solution sous forme d'intervalle (et parfois en représentation graphique sur une droite graduée).

5. Doubles inéquations

• Une double inéquation du type \[ a \leq 2x+1 < b \] se traite en appliquant les mêmes opérations aux trois membres.
• On obtient souvent un intervalle des solutions pour \(x\).

6. Modélisation par une équation / inéquation

• On commence par choisir l'inconnue et préciser ce qu'elle représente (nombre d'objets, temps, distance, etc.).
• On traduit la situation par une équation ou une inéquation.
• On résout, puis on interprète le résultat dans le contexte (arrondi, valeurs entières, valeurs positives uniquement, etc.).

7. Points-clés à maîtriser

• Résoudre rapidement une équation du type \(ax+b=c\).
• Gérer correctement les fractions (dénominateur commun, valeurs interdites).
• Résoudre une inéquation simple et une double inéquation.
• Passer d'un texte à une équation, et inversement expliquer le sens des solutions.