Exercices corrigés — Équations Et Inéquations (2nde)

1) \(4x-7=2x+9\)

On regroupe les termes en \(x\) à gauche et les nombres à droite : \[ 4x-2x=9+7 \] \[ 2x=16 \] \[ x=8 \] Donc \(\boxed{S=\{8\}}\).

2) \(3(x-2)=2x+11\)

On développe : \[ 3x-6=2x+11 \] On regroupe : \[ 3x-2x=11+6 \] \[ x=17 \] Donc \(\boxed{S=\{17\}}\).

3) \(5(2x-1)-3(x+4)=2x+9\)

Développement : \[ 10x-5-3x-12=2x+9 \] Réduction : \[ 7x-17=2x+9 \] Regroupement : \[ 7x-2x=9+17 \] \[ 5x=26 \] \[ x=\frac{26}{5} \] Donc \(\boxed{S=\left\{\frac{26}{5}\right\}}\).

4) \(2(3x-5)-4=3(2x-1)-11\)

Développement : \[ 6x-10-4=6x-3-11 \] Réduction : \[ 6x-14=6x-14 \] En soustrayant \(6x\) des deux côtés : \[ -14=-14 \] Cette égalité est toujours vraie. Donc tous les réels sont solutions : \[ \boxed{S=\mathbb R} \]

1) \(\dfrac{x}{3}+2=7\)

\[ \frac{x}{3}=7-2=5 \] On multiplie par 3 : \[ x=15 \] Donc \(\boxed{S=\{15\}}\).

2) \(\dfrac{2x-1}{5}=3\)

On multiplie par 5 : \[ 2x-1=15 \] \[ 2x=16 \] \[ x=8 \] Donc \(\boxed{S=\{8\}}\).

3) \(\dfrac{x+2}{3}-\dfrac{x-1}{2}=1\)

On multiplie toute l’équation par 6 : \[ 2(x+2)-3(x-1)=6 \] Développement : \[ 2x+4-3x+3=6 \] \[ -x+7=6 \] \[ -x=-1 \] \[ x=1 \] Donc \(\boxed{S=\{1\}}\).

4) \(\dfrac{3x-4}{6}=\dfrac{x+2}{3}\)

On multiplie par 6 : \[ 3x-4=2(x+2) \] \[ 3x-4=2x+4 \] \[ x=8 \] Donc \(\boxed{S=\{8\}}\).

1) \(2(x+1)=2x+5\)

\[ 2x+2=2x+5 \] En soustrayant \(2x\) : \[ 2=5 \] Cette égalité est impossible. Donc \(\boxed{S=\varnothing}\).

2) \(4(x-1)=4x-4\)

\[ 4x-4=4x-4 \] En soustrayant \(4x\) : \[ -4=-4 \] L’égalité est toujours vraie. Donc \(\boxed{S=\mathbb R}\).

3) \(3(2x+1)-6x=7\)

\[ 6x+3-6x=7 \] \[ 3=7 \] Impossible. Donc \(\boxed{S=\varnothing}\).

4) \(5x-2(2x+3)=x-6\)

\[ 5x-4x-6=x-6 \] \[ x-6=x-6 \] L’égalité est vraie pour tout réel \(x\). Donc \(\boxed{S=\mathbb R}\).

1) \((x-4)(x+7)=0\)

\[ x-4=0 \quad \text{ou} \quad x+7=0 \] \[ x=4 \quad \text{ou} \quad x=-7 \] Donc \(\boxed{S=\{-7;4\}}\).

2) \((3x-6)(2x+5)=0\)

\[ 3x-6=0 \quad \text{ou} \quad 2x+5=0 \] \[ x=2 \quad \text{ou} \quad x=-\frac52 \] Donc \(\boxed{S=\left\{-\frac52;2\right\}}\).

3) \(x(5x-15)=0\)

\[ x=0 \quad \text{ou} \quad 5x-15=0 \] \[ x=0 \quad \text{ou} \quad x=3 \] Donc \(\boxed{S=\{0;3\}}\).

4) \((x+1)^2-(x+1)(2x-3)=0\)

On factorise par \((x+1)\) : \[ (x+1)^2-(x+1)(2x-3) =(x+1)\big[(x+1)-(2x-3)\big] \] \[ (x+1)-(2x-3)=x+1-2x+3=-x+4 \] Donc : \[ (x+1)(-x+4)=0 \] \[ x=-1 \quad \text{ou} \quad x=4 \] Donc \(\boxed{S=\{-1;4\}}\).

1) \(x^2-5x=0\)

On factorise par \(x\) : \[ x^2-5x=x(x-5) \] Donc : \[ x(x-5)=0 \] \[ x=0 \quad \text{ou} \quad x=5 \] Donc \(\boxed{S=\{0;5\}}\).

2) \(x^2-16=0\)

\[ x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4) \] Donc : \[ (x-4)(x+4)=0 \] \[ x=4 \quad \text{ou} \quad x=-4 \] Donc \(\boxed{S=\{-4;4\}}\).

3) \(x^2+6x+9=0\)

On reconnaît : \[ x^2+6x+9=x^2+2\times x\times3+3^2=(x+3)^2 \] Donc : \[ (x+3)^2=0 \] \[ x+3=0 \] \[ x=-3 \] Donc \(\boxed{S=\{-3\}}\).

4) \(x^2-2x-8=0\)

On cherche deux nombres dont le produit vaut \(-8\) et la somme vaut \(-2\).
Les nombres \(-4\) et \(2\) conviennent : \[ -4\times 2=-8 \quad \text{et} \quad -4+2=-2 \] Donc : \[ x^2-2x-8=(x-4)(x+2) \] \[ (x-4)(x+2)=0 \] \[ x=4 \quad \text{ou} \quad x=-2 \] Donc \(\boxed{S=\{-2;4\}}\).

1) \(\dfrac{x-5}{x+2}=0\)

Valeur interdite : \(x+2\ne0\Rightarrow x\ne -2\).
Numérateur nul : \(x-5=0\Rightarrow x=5\).
Comme \(5\ne -2\), la solution est acceptée. \[ \boxed{S=\{5\}} \]

2) \(\dfrac{2x+6}{x-3}=0\)

Valeur interdite : \(x-3\ne0\Rightarrow x\ne3\).
Numérateur nul : \[ 2x+6=0 \Rightarrow 2x=-6 \Rightarrow x=-3 \] Comme \(-3\ne3\), la solution est acceptée. \[ \boxed{S=\{-3\}} \]

3) \(\dfrac{x+4}{x+4}=0\)

Valeur interdite : \(x+4\ne0\Rightarrow x\ne -4\).
Numérateur nul : \(x+4=0\Rightarrow x=-4\).
Mais \(-4\) est interdit. Donc : \[ \boxed{S=\varnothing} \]

4) \(\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+2}=0\)

Valeur interdite : \(x+2\ne0\Rightarrow x\ne -2\).
Numérateur nul : \[ (x-1)(x+2)=0 \] Donc : \[ x=1 \quad \text{ou} \quad x=-2 \] Mais \(-2\) est interdit, donc on le refuse.
Il reste : \[ \boxed{S=\{1\}} \]

1) \(\dfrac{x^2-4}{x+3}=0\)

Valeur interdite : \(x+3\ne0\Rightarrow x\ne -3\).
Numérateur : \[ x^2-4=(x-2)(x+2) \] Donc : \[ x=2 \quad \text{ou} \quad x=-2 \] Aucune de ces valeurs n’est interdite. Donc : \[ \boxed{S=\{-2;2\}} \]

2) \(\dfrac{x^2-9}{x-3}=0\)

Valeur interdite : \(x\ne3\).
Numérateur : \[ x^2-9=(x-3)(x+3) \] Donc \(x=3\) ou \(x=-3\).
Mais \(x=3\) est interdit. Donc : \[ \boxed{S=\{-3\}} \]

3) \(\dfrac{x^2+x}{x}=0\)

Valeur interdite : \(x\ne0\).
Numérateur : \[ x^2+x=x(x+1) \] Donc \(x=0\) ou \(x=-1\).
Mais \(x=0\) est interdit. Donc : \[ \boxed{S=\{-1\}} \]

4) \(\dfrac{(x-2)(x+5)}{x+5}=0\)

Valeur interdite : \(x+5\ne0\Rightarrow x\ne -5\).
Numérateur nul : \[ (x-2)(x+5)=0 \] Donc \(x=2\) ou \(x=-5\).
Mais \(-5\) est interdit. Donc : \[ \boxed{S=\{2\}} \]

1) \(3x-7<8\)

\[ 3x<15 \] \[ x<5 \] Donc \(\boxed{S=]-\infty;5[}\).

2) \(-2x+5\le 13\)

\[ -2x\le 8 \] On divise par \(-2\), donc on inverse le sens : \[ x\ge -4 \] Donc \(\boxed{S=[-4;+\infty[}\).

3) \(4(x-1)>2x+6\)

\[ 4x-4>2x+6 \] \[ 2x>10 \] \[ x>5 \] Donc \(\boxed{S=]5;+\infty[}\).

4) \(5-3(2x+1)\ge 2x-6\)

\[ 5-6x-3\ge 2x-6 \] \[ 2-6x\ge 2x-6 \] \[ -8x\ge -8 \] On divise par \(-8\), donc on inverse le sens : \[ x\le 1 \] Donc \(\boxed{S=]-\infty;1]}\).

1) \(-3<2x+1\le7\)

On soustrait 1 aux trois membres : \[ -4<2x\le6 \] On divise par 2 : \[ -2

2) \(1\le \dfrac{x-2}{3}<4\)

On multiplie par 3 : \[ 3\le x-2<12 \] On ajoute 2 : \[ 5\le x<14 \] Donc : \[ \boxed{S=[5;14[} \]

3) \(-5\le -2x+1<9\)

On soustrait 1 : \[ -6\le -2x<8 \] On divise par \(-2\), donc les sens changent : \[ 3\ge x>-4 \] On réécrit dans l’ordre croissant : \[ -4

1) \((x-2)(x+5)>0\)

Racines : \(x=2\) et \(x=-5\).

On cherche \(>0\), donc les zones positives sans les racines : \[ \boxed{S=]-\infty;-5[\cup]2;+\infty[} \]

2) \((3x-6)(x+1)\le0\)

Racines : \(x=2\) et \(x=-1\).

On cherche \(\le0\), donc les zones négatives et les zéros : \[ \boxed{S=[-1;2]} \]

1) \(\dfrac{x-3}{x+2}\ge0\)

Valeur interdite : \(x\ne -2\). Racine du numérateur : \(x=3\).

On cherche \(\ge0\). On prend les zones positives et le zéro du numérateur, mais jamais la valeur interdite : \[ \boxed{S=]-\infty;-2[\cup[3;+\infty[} \]

2) \(\dfrac{2x+4}{x-5}<0\)

Valeur interdite : \(x\ne5\). Racine du numérateur : \(x=-2\).

On cherche strictement \(<0\), donc seulement la zone négative, sans les bornes : \[ \boxed{S=]-2;5[} \]

1) \(x^2-4\ge0\)

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \] Le produit est positif ou nul à l’extérieur des racines \(-2\) et \(2\). Donc : \[ \boxed{S=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[} \]

2) \(x^2-5x<0\)

\[ x^2-5x=x(x-5) \] Le produit de deux facteurs affines est strictement négatif entre ses deux racines \(0\) et \(5\). Donc : \[ \boxed{S=]0;5[} \]

3) \(x^2+2x+1\le0\)

\[ x^2+2x+1=(x+1)^2 \] Un carré est toujours positif ou nul. Il est \(\le0\) seulement quand il vaut \(0\).
Donc : \[ x+1=0\Rightarrow x=-1 \] Ainsi : \[ \boxed{S=\{-1\}} \]

1) \(|x-3|=5\)

\[ x-3=5 \quad \text{ou} \quad x-3=-5 \] \[ x=8 \quad \text{ou} \quad x=-2 \] Donc \(\boxed{S=\{-2;8\}}\).

2) \(|2x+1|=7\)

\[ 2x+1=7 \quad \text{ou} \quad 2x+1=-7 \] Premier cas : \[ 2x=6\Rightarrow x=3 \] Deuxième cas : \[ 2x=-8\Rightarrow x=-4 \] Donc \(\boxed{S=\{-4;3\}}\).

3) \(|x+4|=-2\)

Une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Elle ne peut pas être égale à \(-2\).
Donc \(\boxed{S=\varnothing}\).

4) \(|3x-6|=0\)

\[ |3x-6|=0 \iff 3x-6=0 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Donc \(\boxed{S=\{2\}}\).

1) \(|x-4|<2\)

\[ |x-4|<2 \iff -2

2) \(|2x+1|\ge3\)

\[ |2x+1|\ge3 \iff 2x+1\le -3 \quad \text{ou} \quad 2x+1\ge3 \] Premier cas : \[ 2x\le -4\Rightarrow x\le -2 \] Deuxième cas : \[ 2x\ge2\Rightarrow x\ge1 \] Donc : \[ \boxed{S=]-\infty;-2]\cup[1;+\infty[} \]

3) \(|x+2|\le5\)

\[ -5\le x+2\le5 \] On soustrait 2 : \[ -7\le x\le3 \] Donc : \[ \boxed{S=[-7;3]} \]

1) \(f(x)=x^2-4\), \(g(x)=2x-1\)

On résout : \[ x^2-4=2x-1 \] \[ x^2-2x-3=0 \] On factorise : \[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1) \] Donc : \[ (x-3)(x+1)=0 \] \[ x=3 \quad \text{ou} \quad x=-1 \] Pour \(x=3\) : \[ y=g(3)=2\times3-1=5 \] Pour \(x=-1\) : \[ y=g(-1)=2\times(-1)-1=-3 \] Les points d’intersection sont : \[ \boxed{(3;5)\text{ et }(-1;-3)} \]

2) \(f(x)=x^2+3x\), \(g(x)=4x\)

\[ x^2+3x=4x \] \[ x^2-x=0 \] \[ x(x-1)=0 \] Donc : \[ x=0 \quad \text{ou} \quad x=1 \] Pour \(x=0\), \(y=4\times0=0\).
Pour \(x=1\), \(y=4\times1=4\).
Les points d’intersection sont : \[ \boxed{(0;0)\text{ et }(1;4)} \]

1) Expressions des coûts

Si \(x\) désigne le nombre de séances : \[ A(x)=18+4x \] \[ B(x)=50+2x \]

2) Résolution de \(A(x)=B(x)\)

\[ 18+4x=50+2x \] \[ 2x=32 \] \[ x=16 \] Les deux formules coûtent le même prix pour 16 séances.

3) Formule B moins chère que A

On résout : \[ B(x)16\). Comme \(x\) est entier, la formule B devient moins chère à partir de : \[ \boxed{17\text{ séances}} \]

1) Contraintes de positivité

Longueur : \[ 2x+3>0\Rightarrow x>-\frac32 \] Largeur : \[ x-1>0\Rightarrow x>1 \] Les deux contraintes ensemble donnent : \[ x>1 \]

2) Périmètre

\[ P(x)=2\big((2x+3)+(x-1)\big) \] \[ P(x)=2(3x+2)=6x+4 \]

3) Résoudre \(P(x)\le40\)

\[ 6x+4\le40 \] \[ 6x\le36 \] \[ x\le6 \]

4) Toutes les contraintes

On doit avoir \(x>1\) et \(x\le6\). Donc : \[ \boxed{x\in]1;6]} \]

1) Contraintes

\[ x+2>0\Rightarrow x>-2 \] \[ x-1>0\Rightarrow x>1 \] Donc la contrainte globale est : \[ x>1 \]

2) Aire égale à 18

\[ (x+2)(x-1)=18 \] Développement : \[ x^2+x-2=18 \] \[ x^2+x-20=0 \] On factorise : \[ x^2+x-20=(x+5)(x-4) \] Donc : \[ (x+5)(x-4)=0 \] \[ x=-5 \quad \text{ou} \quad x=4 \]

3) Vérification de la contrainte

On doit avoir \(x>1\).
\(-5\) est refusé, mais \(4\) est accepté.
Donc : \[ \boxed{x=4} \]

1) Expression du bénéfice

Chaque carnet rapporte 3 €, donc pour \(x\) carnets, le gain est \(3x\).
On retire les frais fixes de 80 € : \[ B(x)=3x-80 \]

2) Bénéfice positif

On veut : \[ B(x)>0 \] \[ 3x-80>0 \] \[ 3x>80 \] \[ x>\frac{80}{3}\approx26{,}67 \] Comme \(x\) est entier, il faut vendre au moins : \[ \boxed{27\text{ carnets}} \]

3) Bénéfice au moins égal à 100 €

\[ B(x)\ge100 \] \[ 3x-80\ge100 \] \[ 3x\ge180 \] \[ x\ge60 \] Il faut donc vendre au moins : \[ \boxed{60\text{ carnets}} \]

1) \(2(3x-1)-5=x+12\)

\[ 6x-2-5=x+12 \] \[ 6x-7=x+12 \] \[ 5x=19 \] \[ x=\frac{19}{5} \] Donc : \[ \boxed{S=\left\{\frac{19}{5}\right\}} \]

2) \((x-3)(4x+8)=0\)

\[ x-3=0 \quad \text{ou} \quad 4x+8=0 \] \[ x=3 \quad \text{ou} \quad x=-2 \] Donc : \[ \boxed{S=\{-2;3\}} \]

3) \(\dfrac{x-6}{2x+1}=0\)

Valeur interdite : \[ 2x+1\ne0\Rightarrow x\ne -\frac12 \] Numérateur nul : \[ x-6=0\Rightarrow x=6 \] Comme \(6\ne -\frac12\), la solution est acceptée : \[ \boxed{S=\{6\}} \]

4) \(\dfrac{x+2}{x-4}\le0\)

Valeur interdite : \[ x-4\ne0\Rightarrow x\ne4 \] Racine du numérateur : \[ x+2=0\Rightarrow x=-2 \]

On cherche \(\le0\), donc on prend le zéro \(-2\) et la zone négative \(]-2;4[\), mais on exclut \(4\).
Donc : \[ \boxed{S=[-2;4[} \]