Cours — Équations Et Inéquations (2nde)
Cette page propose un cours de mathématiques en 2nde sur Équations Et Inéquations. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler mise en équation, résolution étape par étape, vérification des solutions, problèmes rédigés.
Cours — Équations & inéquations
Équations du 1er degré • équations produit nul • quotient nul • inéquations • tableaux de signes • problèmes avec inconnue.
Vocabulaire
Équations 1er degré
Cas particuliers
Produit nul
Quotient nul
Inéquations
Tableaux de signes
Problèmes
Exemples-types
À connaître absolument
- Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l’égalité vraie.
- Une équation du type \(ax+b=0\) se résout par \(x=-\dfrac{b}{a}\), si \(a\ne0\).
- Un produit est nul si au moins un facteur est nul.
- Pour \(\dfrac{A(x)}{B(x)}=0\), il faut \(A(x)=0\) et \(B(x)\ne0\).
- Pour une inéquation, si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens.
- Un tableau de signes sert à résoudre des inéquations avec produits ou quotients.
Pièges fréquents
- Ne jamais simplifier ou diviser par une expression contenant \(x\) sans vérifier qu’elle n’est pas nulle.
- \((a+b)^2\neq a^2+b^2\).
- Pour \(A(x)B(x)=0\), on résout \(A(x)=0\) ou \(B(x)=0\).
- Pour \(\dfrac{A(x)}{B(x)}=0\), une solution du numérateur peut être refusée si elle annule le dénominateur.
- Pour une inéquation, attention au changement de sens si on divise par un nombre négatif.
1) Vocabulaire : équation, inconnue, solution
Équation
Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée \(x\).
\[
3x+2=11
\]
- \(x\) est l’inconnue.
- Résoudre l’équation signifie trouver toutes les valeurs possibles de \(x\).
- Une équation peut avoir une solution, plusieurs solutions, aucune solution ou une infinité de solutions.
Solution
Une solution est une valeur de \(x\) qui rend l’égalité vraie.
\[
3\times 3+2=11
\]
- Ici \(x=3\) est solution.
- On écrit souvent : \(S=\{3\}\).
Notation de l’ensemble des solutions
- Si une seule solution : \(S=\{a\}\).
- Si deux solutions : \(S=\{a;b\}\).
- Si aucune solution : \(S=\varnothing\).
- Si toutes les valeurs réelles conviennent : \(S=\mathbb R\).
- Si les solutions forment un intervalle : \(S=[a;b]\), \(S=]a;+\infty[\), etc.
2) Équations du premier degré
Forme générale
\[
ax+b=0
\]
- \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
- Si \(a\ne0\), alors l’équation admet une unique solution.
- Si \(a=0\), il faut étudier séparément le cas obtenu.
Formule
\[
ax+b=0
\iff ax=-b
\iff x=-\frac{b}{a}
\quad (a\ne0)
\]
Donc, si \(a\ne0\), l’unique solution est :
\[
\boxed{x=-\frac{b}{a}}
\]
✅ Exemple guidé — Résoudre \(5x-7=18\)
\[
5x-7=18
\]
\[
5x=18+7
\]
\[
5x=25
\]
\[
x=5
\]
L’ensemble des solutions est :
\[
\boxed{S=\{5\}}
\]
🧠 Exemple avec développement — Résoudre \(3(x-2)=2x+5\)
\[
3(x-2)=2x+5
\]
\[
3x-6=2x+5
\]
\[
3x-2x=5+6
\]
\[
x=11
\]
\[
\boxed{S=\{11\}}
\]
3) Cas particuliers : aucune solution ou infinité de solutions
| Situation | Exemple | Conclusion |
|---|---|---|
| Égalité impossible | \(0x+3=0\), donc \(3=0\) | \(\boxed{S=\varnothing}\) |
| Égalité toujours vraie | \(0x=0\) | \(\boxed{S=\mathbb R}\) |
| Une seule solution | \(2x-4=0\) | \(x=2\), donc \(\boxed{S=\{2\}}\) |
🧩 Exemple — Résoudre \(2(x+1)=2x+5\)
\[
2(x+1)=2x+5
\]
\[
2x+2=2x+5
\]
\[
2=5
\]
L’égalité \(2=5\) est impossible, donc :
\[
\boxed{S=\varnothing}
\]
🧩 Exemple — Résoudre \(4(x-1)=4x-4\)
\[
4(x-1)=4x-4
\]
\[
4x-4=4x-4
\]
\[
0=0
\]
L’égalité est toujours vraie, donc :
\[
\boxed{S=\mathbb R}
\]
4) Équation produit nul
Propriété fondamentale
\[
A\times B=0
\iff
A=0\ \text{ou}\ B=0
\]
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
Méthode
- Mettre l’équation sous la forme \(A(x)B(x)=0\).
- Résoudre \(A(x)=0\).
- Résoudre \(B(x)=0\).
- Réunir les solutions dans \(S\).
✅ Exemple guidé — Résoudre \((2x-6)(x+4)=0\)
\[
(2x-6)(x+4)=0
\]
\[
2x-6=0\quad \text{ou}\quad x+4=0
\]
\[
2x=6\quad \text{ou}\quad x=-4
\]
\[
x=3\quad \text{ou}\quad x=-4
\]
\[
\boxed{S=\{-4;3\}}
\]
Erreur classique
On ne développe pas forcément. Si l’équation est déjà factorisée, il faut utiliser directement la propriété du produit nul.
5) Équation quotient nul
Propriété
\[
\frac{A(x)}{B(x)}=0
\iff
A(x)=0\ \text{et}\ B(x)\ne0
\]
Le dénominateur ne doit jamais être nul.
Méthode
- Déterminer les valeurs interdites : \(B(x)\ne0\).
- Résoudre \(A(x)=0\).
- Supprimer les solutions interdites si besoin.
- Écrire l’ensemble des solutions.
✅ Exemple guidé — Résoudre \(\dfrac{x-3}{x+2}=0\)
\[
\frac{x-3}{x+2}=0
\]
- Valeur interdite : \(x+2\ne0\), donc \(x\ne -2\).
- Numérateur nul : \(x-3=0\), donc \(x=3\).
- \(3\ne -2\), donc la solution est acceptée.
\[
\boxed{S=\{3\}}
\]
⚠️ Exemple avec solution interdite — Résoudre \(\dfrac{x+1}{x+1}=0\)
- Cette expression est définie seulement pour \(x\ne -1\).
- Valeur interdite : \(x+1\ne0\), donc \(x\ne -1\).
- Numérateur nul : \(x+1=0\), donc \(x=-1\).
- Mais \(x=-1\) est interdit.
Donc il n’y a aucune solution :
\[
\boxed{S=\varnothing}
\]
6) Inéquations du premier degré
Définition
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue.
\[
2x-5<7
\]
- Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l’inégalité vraie.
- La réponse est souvent un intervalle ou une union d’intervalles.
Règle importante
Quand on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité.
\[
-2x<6
\iff
x>-3
\]
✅ Exemple guidé — Résoudre \(3x-4\le 8\)
\[
3x-4\le 8
\]
\[
3x\le 12
\]
\[
x\le 4
\]
\[
\boxed{S=]-\infty;4]}
\]
⚠️ Exemple avec division par un négatif — Résoudre \(-5x+2>17\)
\[
-5x+2>17
\]
\[
-5x>15
\]
\[
x<-3
\]
On inverse le sens car on divise par \(-5\).
\[
\boxed{S=]-\infty;-3[}
\]
7) Tableaux de signes
Signe de \(ax+b\)
\[
ax+b=0
\iff
x=-\frac{b}{a}
\quad (a\ne0)
\]
- Si \(a>0\), \(ax+b\) est négatif avant la racine et positif après.
- Si \(a<0\), \(ax+b\) est positif avant la racine et négatif après.
Pourquoi faire un tableau de signes ?
- Pour résoudre une inéquation produit.
- Pour résoudre une inéquation quotient.
- Pour visualiser les zones où une expression est positive ou négative.
- Pour éviter les erreurs de signe dans les intervalles.
✅ Exemple — Résoudre \((x-2)(x+3)\ge0\)
- Racines : \(x=-3\) et \(x=2\).
- On étudie le signe de chaque facteur.
| \(x\) | \(]-\infty;-3[\) | \(-3\) | \(]-3;2[\) | \(2\) | \(]2;+\infty[\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x+3\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \((x-2)(x+3)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On cherche \(\ge0\), donc :
\[
\boxed{S=]-\infty;-3]\cup[2;+\infty[}
\]
✅ Exemple — Résoudre \(\dfrac{x-1}{x+4}<0\)
- Valeur interdite : \(x=-4\).
- Racine du numérateur : \(x=1\).
| \(x\) | \(]-\infty;-4[\) | \(-4\) | \(]-4;1[\) | \(1\) | \(]1;+\infty[\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(x+4\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(\dfrac{x-1}{x+4}\) | \(+\) | interdit | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
On cherche strictement \(<0\), donc :
\[
\boxed{S=]-4;1[}
\]
8) Résoudre un problème avec une équation ou une inéquation
Méthode
- Choisir l’inconnue.
- Traduire l’énoncé par une équation ou une inéquation.
- Résoudre.
- Vérifier que la solution a du sens dans le contexte.
- Rédiger une phrase de conclusion.
Mots à repérer
- “est égal à” → équation.
- “au moins” → \(\ge\).
- “au plus” → \(\le\).
- “strictement inférieur à” → \(<\).
- “strictement supérieur à” → \(>\).
🧩 Exemple — Problème avec équation
Un nombre augmenté de \(7\) est égal au triple de ce nombre diminué de \(5\). Trouver ce nombre.
- On note \(x\) le nombre cherché.
- “Augmenté de \(7\)” : \(x+7\).
- “Triple de ce nombre diminué de \(5\)” : \(3x-5\).
\[
x+7=3x-5
\]
\[
12=2x
\]
\[
x=6
\]
Le nombre cherché est :
\[
\boxed{6}
\]
🧩 Exemple — Problème avec inéquation
Un abonnement coûte \(12\) € puis \(3\) € par séance. À partir de combien de séances le coût dépasse-t-il \(40\) € ?
- On note \(x\) le nombre de séances.
- Coût total : \(12+3x\).
- On veut dépasser \(40\) € : \(12+3x>40\).
\[
12+3x>40
\]
\[
3x>28
\]
\[
x>\frac{28}{3}\approx 9{,}33
\]
Comme le nombre de séances est un entier naturel, on prend le plus petit entier strictement supérieur à \(\dfrac{28}{3}\).
Il faut donc :
\[
\boxed{10\ \text{séances}}
\]
9) Exemples-types à maîtriser
Type A — Équation simple
\[
4x+9=1
\]
\[
4x=-8
\]
\[
x=-2
\]
\[
S=\{-2\}
\]
Type B — Produit nul
\[
(x-5)(3x+6)=0
\]
\[
x=5\quad\text{ou}\quad 3x+6=0
\]
\[
x=5\quad\text{ou}\quad x=-2
\]
\[
S=\{-2;5\}
\]
Type C — Inéquation simple
\[
7-2x\le 15
\]
\[
-2x\le 8
\]
\[
x\ge -4
\]
\[
S=[-4;+\infty[
\]
Type D — Quotient
\[
\frac{x+2}{x-3}=0
\]
\[
x-3\ne0\Rightarrow x\ne3
\]
\[
x+2=0\Rightarrow x=-2
\]
\[
S=\{-2\}
\]
Contrôle final
Après avoir trouvé une solution, on peut toujours remplacer \(x\) dans l’équation ou l’inéquation pour vérifier.
Synthèse — À retenir en 1 minute
Équations
- \(ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac ba\), si \(a\ne0\).
- \(A(x)B(x)=0\Rightarrow A(x)=0\) ou \(B(x)=0\).
- \(\dfrac{A(x)}{B(x)}=0\Rightarrow A(x)=0\) et \(B(x)\ne0\).
- Réponse sous forme \(S=\{\dots\}\), \(S=\varnothing\) ou \(S=\mathbb R\).
Inéquations
- On isole \(x\) comme dans une équation.
- Si on divise par un négatif, on inverse le sens.
- Réponse sous forme d’intervalle ou d’union d’intervalles.
- Pour produits/quotients : tableau de signes.
Checklist “copie propre”
- J’écris les étapes de calcul ligne par ligne.
- Je vérifie les valeurs interdites pour les quotients.
- Je mets l’ensemble des solutions avec la bonne notation.
- Pour les inéquations, je fais attention au sens de l’inégalité.
- Pour les tableaux de signes, je trie les valeurs dans l’ordre croissant.
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