1. Équation d’une droite dans le plan
Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\), une droite peut être décrite par une équation reliant \(x\) et \(y\). Deux écritures importantes :
- Forme générale : \(ax + by + c = 0\) avec \((a,b) \neq (0,0)\).
- Forme réduite : \(y = mx + p\) lorsque \(b \neq 0\).
a) Passage de la forme générale à la forme réduite
Si \(b \neq 0\) dans \(ax + by + c = 0\), on peut isoler \(y\) : \[ by = -ax - c \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}. \] On obtient une équation de la forme \(y = mx + p\) avec :
- \(m = -\dfrac{a}{b}\) : coefficient directeur (pente) ;
- \(p = -\dfrac{c}{b}\) : ordonnée à l’origine.
Exemple : \(3x - 2y + 4 = 0\). On a \( -2y = -3x - 4 \Rightarrow y = \dfrac{3}{2}x + 2\). La droite a pour coefficient directeur \(m = \dfrac{3}{2}\) et coupe l’axe des ordonnées en \((0;2)\).
b) Condition d’appartenance
Soit la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y = mx + p\). Un point \(A(x_A;y_A)\) appartient à \(\mathcal{D}\) si et seulement si : \[ y_A = m x_A + p. \]
Exemple : \(\mathcal{D} : y = -x + 4\). Pour \(A(1;3)\), on calcule \(-1 + 4 = 3\). Comme \(3 = y_A\), le point \(A\) est sur \(\mathcal{D}\).
2. Droite passant par un point et de coefficient directeur donné
On cherche l’équation d’une droite passant par un point \(A(x_A;y_A)\) et de coefficient directeur \(m\).
- On part de la forme \(y = mx + p\).
- On impose que \(A\) appartienne à la droite : \(y_A = m x_A + p\).
- On en déduit \(p = y_A - m x_A\).
Exemple : Droite de coefficient directeur \(m = 3\) passant par \(A(-1;2)\). Alors \(p = 2 - 3\times(-1) = 2 + 3 = 5\). Équation : \(y = 3x + 5\).
Cas particulier : droites horizontales et verticales
- Droite horizontale : \(y = k\) (coefficient directeur \(m = 0\)).
- Droite verticale : \(x = a\) (pas de forme \(y = mx + p\)).
3. Droite passant par deux points
Soient deux points distincts \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), avec \(x_A \neq x_B\).
- On calcule le coefficient directeur : \[ m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}. \]
- On utilise la condition d’appartenance avec l’un des points pour trouver \(p\) : \[ y_A = m x_A + p \quad\Rightarrow\quad p = y_A - m x_A. \]
- On obtient l’équation réduite : \(y = mx + p\).
Exemple : \(A(1;4)\) et \(B(3;0)\) : \(m = \dfrac{0-4}{3-1} = -2\). Pour \(A\) : \(4 = -2\times 1 + p \Rightarrow p = 6\). Équation : \(y = -2x + 6\).
4. Parallélisme, intersection et systèmes
a) Parallélisme
Deux droites de forme réduite \[ y = m_1 x + p_1, \qquad y = m_2 x + p_2 \] sont :
- parallèles si \(m_1 = m_2\) et \(p_1 \neq p_2\) ;
- confondus si \(m_1 = m_2\) et \(p_1 = p_2\).
b) Intersection et systèmes
Un système \[ (S) \quad \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases} \] correspond à deux droites dans le plan. Trois cas :
- Une solution unique : les droites se coupent en un point.
- Aucune solution : droites parallèles distinctes.
- Infinité de solutions : mêmes droites (équations proportionnelles).
Résoudre le système revient à déterminer le point d’intersection des deux droites.
c) Méthodes de résolution
- Substitution : isoler une inconnue \(y\) dans la première équation, remplacer dans la seconde.
- Combinaison linéaire : additionner ou soustraire des multiples des deux équations pour éliminer une inconnue.
Exemple (combinaison) : \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7\\ 4x - 3y = 5 \end{cases} \] En additionnant les deux équations : \(6x = 12 \Rightarrow x = 2\). Puis \(2\times 2 + 3y = 7 \Rightarrow 4 + 3y = 7 \Rightarrow y = 1\). Le système a une solution unique : \(S(2;1)\).
5. Modéliser une situation avec une droite et un système
Exemple : deux tarifs de streaming vidéo.
- Offre A : \(12~\text{\euro}\) par mois + \(2~\text{\euro}\) par film loué.
- Offre B : \(6~\text{\euro}\) par mois + \(3~\text{\euro}\) par film loué.
On note \(x\) le nombre de films loués dans le mois, et \(C_A(x)\), \(C_B(x)\) les coûts (en euros). \[ C_A(x) = 12 + 2x, \qquad C_B(x) = 6 + 3x. \]
Pour savoir à partir de combien de films les deux offres coûtent la même chose, on résout : \[ C_A(x) = C_B(x) \iff 12 + 2x = 6 + 3x \iff x = 6. \] On peut aussi écrire le système \[ \begin{cases} y = 12 + 2x\\ y = 6 + 3x \end{cases} \] et chercher le point d’intersection des deux droites.