Équations de droites et systèmes linéaires

Fiche de révision — Équations de droites & systèmes

Synthèse des formules et idées clés du chapitre.

1. Formes d’équation d’une droite

• Forme générale : \(ax + by + c = 0\) avec \((a,b) \neq (0,0)\).
• Forme réduite : \(y = mx + p\) (si \(b \neq 0\)).
• On a alors : \[ m = -\frac{a}{b},\quad p = -\frac{c}{b}. \]

2. Droite passant par un ou deux points

• Droite de coefficient directeur \(m\) passant par \(A(x_A;y_A)\) : \[ y = mx + p,\quad p = y_A - m x_A. \]
• Droite passant par deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), \(x_A \neq x_B\) : \[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A},\quad p = y_A - m x_A. \]
• Équation réduite : \(y = mx + p\).

3. Parallélisme / coïncidence

Deux droites de forme \(y = m_1 x + p_1\) et \(y = m_2 x + p_2\) sont :

• parallèles si \(m_1 = m_2\) et \(p_1 \neq p_2\) ;
• confondues si \(m_1 = m_2\) et \(p_1 = p_2\).

4. Systèmes linéaires \(2\times 2\)

Système linéaire : \[ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases} \]

• Une solution unique : droites sécantes.
• 0 solution : droites parallèles distinctes.
• Infinité de solutions : mêmes droites.

Méthodes :

• Substitution : isoler une inconnue, remplacer dans l’autre équation.
• Combinaison : additionner / soustraire des multiples des équations pour éliminer une inconnue.

5. Interprétation graphique

• Chaque équation linéaire \(ax+by=c\) représente une droite dans le plan.
• Résoudre un système, c’est trouver le point d’intersection des deux droites.
• Les coordonnées de la solution sont celles du point d’intersection.