2nde Maths Équations de droites & systèmes

Équations de droites et systèmes linéaires

Travailler avec les droites dans le plan : équations réduites, forme générale, coefficient directeur, parallélisme, points d’intersection et résolution de systèmes.

2nde — Repérage et géométrie analytique Droites & systèmes Exercices
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Exercices — Équations de droites et systèmes

Niveau 2nde (France) — exercices progressifs, certains un peu avancés pour consolider.

Exercice 1 — Forme générale / forme réduite

Mettre chacune des équations suivantes sous la forme \(y = mx + p\) lorsque c’est possible :

  1. \(3x - 2y + 4 = 0\)
  2. \(-x + 5y - 10 = 0\)
  3. \(4x + 8 = 0\)

Pour chaque cas, donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine (si cela a un sens).

Exercice 2 — Appartenance à une droite

On considère la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y = -2x + 5\).

  1. Vérifier que le point \(A(1;3)\) appartient à \(\mathcal{D}\).
  2. Montrer que le point \(B(4;-2)\) appartient également à \(\mathcal{D}\).
  3. La droite \(\Delta\) a pour équation \(y = -2x - 1\). Les points \(A\) et \(B\) appartiennent-ils à \(\Delta\) ? Que peut-on en déduire sur \(\mathcal{D}\) et \(\Delta\) ?

Exercice 3 — Droite passant par deux points

On considère les points \(A(-2;1)\) et \(B(3;6)\).

  1. Calculer le coefficient directeur de la droite \((AB)\).
  2. Déterminer une équation réduite de \((AB)\).
  3. Donner les coordonnées du point d’intersection de \((AB)\) avec l’axe des abscisses.
  4. Vérifier que ce point d’intersection réalise bien \(y = 0\) dans l’équation de \((AB)\).

Exercice 4 — Classification des systèmes

Pour chacun des systèmes suivants :

  • mettre éventuellement les équations sous forme \(y = mx + p\) ;
  • indiquer s’il y a 0, 1 ou une infinité de solutions ;
  • en cas de solution unique, la déterminer.
  1. \((S_1)\; \begin{cases} 2x + y = 3\\ 4x + 2y = 6 \end{cases}\)
  2. \((S_2)\; \begin{cases} x - y = 1\\ 2x - 2y = 5 \end{cases}\)
  3. \((S_3)\; \begin{cases} y = 3x + 2\\ y = -x + 6 \end{cases}\)

Exercice 5 — Modélisation et système

Un club de sport propose deux formules d’abonnement :

  • Formule A : \(20~\text{\euro}\) par mois + \(4~\text{\euro}\) par séance.
  • Formule B : \(10~\text{\euro}\) par mois + \(6~\text{\euro}\) par séance.

On note \(x\) le nombre de séances suivies par mois et \(C_A(x)\), \(C_B(x)\) les coûts (en euros).

  1. Exprimer \(C_A(x)\) et \(C_B(x)\) en fonction de \(x\).
  2. On cherche pour quelle valeur de \(x\) les deux formules coûtent la même chose. Écrire l’équation ou le système correspondant.
  3. Résoudre et interpréter le résultat.
  4. Pour 8 séances par mois, quelle formule est la plus avantageuse ? Justifier.

Exercice 6 — Combinaisons linéaires

Résoudre le système suivant et interpréter géométriquement le résultat : \[ (S)\; \begin{cases} 3x - y = 4\\ 2x + y = 1 \end{cases} \]

  1. Résoudre le système par addition ou soustraction des équations.
  2. Déterminer les équations réduites des deux droites correspondantes.
  3. Vérifier que le point obtenu est bien l’intersection des deux droites.