2nde Maths Équations de droites & systèmes

Équations de droites et systèmes linéaires

Travailler avec les droites dans le plan : équations réduites, forme générale, coefficient directeur, parallélisme, points d’intersection et résolution de systèmes.

2nde — Repérage et géométrie analytique Droites & systèmes Quiz
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Quiz — Équations de droites et systèmes (20 questions)

Clique dans la case de réponse puis utilise le clavier mathématique pour saisir les équations et solutions. Ensuite clique sur Vérifier les réponses.

1) Forme réduite
Mettre \(3x - y + 2 = 0\) sous la forme \(y = mx + p\).
\(-y = -3x - 2 \Rightarrow y = 3x + 2\).
2) Coefficient directeur
Donner le coefficient directeur de la droite d’équation \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\).
Dans \(y = mx + p\), le coefficient directeur est \(m\). Ici \(m = -\dfrac{1}{2}\).
3) Appartenance
La droite a pour équation \(y = 2x - 1\). Le point \(A(4;7)\) appartient-il à cette droite ? (Répondre oui ou non.)
\(2\times4 - 1 = 8 -1 = 7\). L’égalité est vérifiée, donc \(A\) est sur la droite.
4) Droite passant par un point
Donner une équation de la droite de coefficient directeur \(m = 3\) passant par \(A(1;2)\).
\(p = y_A - m x_A = 2 - 3\times 1 = -1\). Équation possible : \(y = 3x - 1\).
5) Deux points → équation
Donner une équation réduite de la droite passant par \(A(0;1)\) et \(B(2;5)\).
\(m = \dfrac{5-1}{2-0} = \dfrac{4}{2} = 2\). Avec \(A(0;1)\) : \(1 = 2\cdot 0 + p \Rightarrow p = 1\). Donc \(y = 2x + 1\).
6) Parallélisme
Donner une équation de droite parallèle à \(y = -x + 3\) et passant par le point \((0;1)\).
Même coefficient directeur \(-1\), et ordonnée à l’origine \(1\) : \(y = -x + 1\).
7) Droite horizontale
Donner l’équation de la droite horizontale qui passe par le point \((3;-2)\).
Droite horizontale : \(y\) constant, ici \(y=-2\).
8) Droite verticale
Donner l’équation de la droite verticale qui passe par le point \((-4;1)\).
Droite verticale : \(x\) constant, ici \(x=-4\).
9) Type d’un système
Le système \(\begin{cases} y = 2x + 1\\ y = 2x - 3 \end{cases}\) a-t-il 0, 1 ou une infinité de solutions ? (Répondre 0, 1 ou inf.)
Coefficients directeurs égaux, ordonnées à l’origine différentes : droites parallèles distinctes, donc 0 solution.
10) Système simple (substitution)
Résoudre \(\begin{cases} y = x + 1\\ 2x + y = 7 \end{cases}\). Répondre sous la forme \((x;y)\).
\(y = x+1\), donc \(2x + (x+1) = 7 \Rightarrow 3x+1=7 \Rightarrow x=2\). \(y=3\). Solution : \((2;3)\).
11) Système avec combinaison
Résoudre \(\begin{cases} 3x - y = 4\\ x + y = 2 \end{cases}\). Répondre sous la forme \((x;y)\).
Addition : \(4x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\)? (On peut vérifier : mieux vaut combiner autrement.) Autre méthode : du second \(y = 2 - x\). Dans le premier : \(3x - (2 - x) = 4 \Rightarrow 3x -2 + x = 4 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\). Alors \(y = 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\). Donc solution exacte : \(\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\).
12) Système proportionnel
\(\begin{cases} 2x + y = 4\\ 4x + 2y = 8 \end{cases}\). Nombre de solutions ? (Répondre 0, 1 ou inf.)
La deuxième équation est le double de la première : les deux droites sont confondues → infinité de solutions.
13) Intersection avec l’axe des ordonnées
Donner l’ordonnée à l’origine de la droite \(y = -4x + 7\).
Pour \(x=0\), \(y=7\). Ordonnée à l’origine : \(7\).
14) Intersection avec l’axe des abscisses
Donner l’abscisse d’intersection de la droite \(y = 5x - 10\) avec l’axe des abscisses.
Sur l’axe des abscisses, \(y=0\). \(0 = 5x - 10 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x=2\).
15) Lecture graphique (concept)
Graphiquement, que représente la solution d’un système de deux équations de droites ? (Répondre par intersection ou équivalent.)
C’est le point d’intersection des deux droites.
16) Modélisation rapide
On a deux formules de coût : \(C_A(x)=10+2x\) et \(C_B(x)=4+3x\). Pour combien de \(x\) sont-elles égales ? Donne la valeur de \(x\).
\(10 + 2x = 4 + 3x \Rightarrow 6 = x\).
17) Coefficient directeur à partir de deux points
Une droite passe par \(A(1;5)\) et \(B(3;9)\). Donner son coefficient directeur.
\(m = \dfrac{9-5}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2\).
18) Vérifier une solution de système
Vérifier que \((1;2)\) est solution du système \(\begin{cases} x + y = 3\\ 2x - y = 0 \end{cases}\). (Répondre oui ou non.)
\(1+2=3\) (OK) et \(2\times1 - 2 = 0\) (OK). Le couple \((1;2)\) est bien solution du système.
19) Lecture de p dans y = mx + p
Dans \(y = 4x - 3\), quelle est l’ordonnée à l’origine ?
L’ordonnée à l’origine est \(p=-3\).
20) Conclusion
En une expression courte, que représente une équation de la forme \(ax + by + c = 0\) ? (Répondre par ex. droite.)
C’est l’équation d’une droite du plan (tant que \((a,b)\neq(0,0)\)).
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