Exercice 1 — Simplifier puis classer

2nde • Avancé

Simplifier chaque nombre puis donner le plus petit ensemble auquel il appartient parmi

$\mathbb N$ , $\mathbb Z$ , $\mathbb Q$ et $\mathbb R$ .

$A=\dfrac{18}{6}$
$B=-\sqrt{81}$
$C=\dfrac{17}{8}$
$D=\dfrac{7}{12}$
$E=\sqrt{50}-3\sqrt2$
$F=\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3}$
$G=(\sqrt7-\sqrt2)(\sqrt7+\sqrt2)$
$H=\sqrt{27}-\sqrt{12}$

Indice

Simplifier d'abord les fractions et les racines.
Utiliser $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ lorsque les nombres sont positifs.
Pour $(a-b)(a+b)$ , penser à $a^2-b^2$ .

Solution (corrigé détaillé)

$A=\dfrac{18}{6}=3$ . Donc $A\in\mathbb N$ . Le plus petit ensemble est $\boxed{\mathbb N}$ .
$B=-\sqrt{81}=-9$ . On a $-9\in\mathbb Z$ , mais $-9\notin\mathbb N$ . Donc le plus petit ensemble est $\boxed{\mathbb Z}$ .
$C=\dfrac{17}{8}$ . C’est un quotient de deux entiers, avec dénominateur non nul. Donc $C\in\mathbb Q$ . Comme $17$ n’est pas divisible par $8$ , $C\notin\mathbb Z$ . Le plus petit ensemble est $\boxed{\mathbb Q}$ .
$D=\dfrac{7}{12}$ . C’est un rationnel non entier. Le plus petit ensemble est $\boxed{\mathbb Q}$ .
$E=\sqrt{50}-3\sqrt2=5\sqrt2-3\sqrt2=2\sqrt2$ . Comme $\sqrt2$ est irrationnel et $2\neq0$ , $2\sqrt2$ est irrationnel. Donc $E\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ . Le plus petit ensemble proposé est $\boxed{\mathbb R}$ .
$F=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3} =\sqrt{\frac{75}{3}} =\sqrt{25} =5.$ Donc $F\in\mathbb N$ . Le plus petit ensemble est $\boxed{\mathbb N}$ .
$G=(\sqrt7-\sqrt2)(\sqrt7+\sqrt2) =(\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2 =7-2=5.$ Donc le plus petit ensemble est $\boxed{\mathbb N}$ .
$H=\sqrt{27}-\sqrt{12} =3\sqrt3-2\sqrt3 =\sqrt3.$ Or $\sqrt3$ est irrationnel. Donc $H\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ , et le plus petit ensemble proposé est $\boxed{\mathbb R}$ .

Exercice 2 — Rationnel ou irrationnel ?

2nde • Avancé

Déterminer si chaque nombre est rationnel ou irrationnel. Simplifier avant de conclure.

$A=\sqrt8-2\sqrt2$
$B=\sqrt{12}+\sqrt{27}$
$C=(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)$
$D=\dfrac{\sqrt{18}+\sqrt8}{\sqrt2}$
$E=(\sqrt3+\sqrt2)^2-5$
$F=\dfrac{3+\sqrt5}{3-\sqrt5}$

Solution (corrigé détaillé)

$A=\sqrt8-2\sqrt2=2\sqrt2-2\sqrt2=0.$ Donc $\boxed{A\text{ est rationnel}}$ .
$B=\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3.$ Comme $\sqrt3$ est irrationnel, $\boxed{B\text{ est irrationnel}}$ .
$C=(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)=5-4=1.$ Donc $\boxed{C\text{ est rationnel}}$ .
$D=\frac{\sqrt{18}+\sqrt8}{\sqrt2} =\frac{3\sqrt2+2\sqrt2}{\sqrt2} =\frac{5\sqrt2}{\sqrt2}=5.$ Donc $\boxed{D\text{ est rationnel}}$ .
$E=(\sqrt3+\sqrt2)^2-5 =3+2+2\sqrt6-5 =2\sqrt6.$ Comme $\sqrt6$ est irrationnel, $\boxed{E\text{ est irrationnel}}$ .
$F=\frac{3+\sqrt5}{3-\sqrt5}.$ On rationalise : $F=\frac{(3+\sqrt5)^2}{9-5} =\frac{9+6\sqrt5+5}{4} =\frac{7+3\sqrt5}{2}.$ Cette écriture contient un multiple non nul de $\sqrt5$ . Donc $\boxed{F\text{ est irrationnel}}$ .

Exercice 3 — Construire des exemples

2nde • Avancé

Donner un exemple de nombre $x$ vérifiant chaque condition.

$x\in\mathbb Z\setminus\mathbb N$ .
$x\in\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ .
$x\in\mathbb Q$ et $2<x<2{,}1$ .
$x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ et $3<x<4$ .
$x\notin\mathbb Q$ mais $x^2\in\mathbb N$ .
Trouver un irrationnel $x$ tel que $x+\sqrt2\in\mathbb Q$ .
Trouver deux nombres irrationnels dont la somme est rationnelle.
Trouver deux nombres irrationnels non nuls dont le produit est rationnel.

Indice

Il suffit d'un exemple correct. Penser aux opposés, aux racines carrées non parfaites et aux écritures $q-\sqrt2$ .

Solution (corrigé détaillé)

Plusieurs réponses sont possibles.

$x\in\mathbb Z\setminus\mathbb N$ : par exemple $\boxed{x=-1}$ .
$x\in\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ : par exemple $\boxed{x=\frac12}$ .
$x\in\mathbb Q$ et $2<x<2,1$ : par exemple $\boxed{x=2,05=\frac{41}{20}}.$
$x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ et $3<x<4$ : $9<10<16\Rightarrow 3<\sqrt{10}<4.$ Donc $\boxed{x=\sqrt{10}}$ .
Un irrationnel $x$ tel que $x^2\in\mathbb N$ : $\boxed{x=\sqrt2},\qquad x^2=2.$
Un irrationnel $x$ tel que $x+\sqrt2\in\mathbb Q$ : $\boxed{x=1-\sqrt2},$ car $x+\sqrt2=1\in\mathbb Q$ .
Deux irrationnels dont la somme est rationnelle : $\boxed{\sqrt2\text{ et }-\sqrt2},$ car leur somme vaut $0$ .
Deux irrationnels non nuls dont le produit est rationnel : $\boxed{\sqrt2\text{ et }\sqrt8},$ car $\sqrt2\sqrt8=\sqrt{16}=4$ .

Exercice 4 — Vrai ou faux ?

2nde • Avancé

Justifier chaque réponse par une propriété, une démonstration ou un contre-exemple.

Tout entier relatif est rationnel.
Tout nombre rationnel est entier.
Si $x\notin\mathbb Q$ , alors $x+4\notin\mathbb Q$ .
Le produit de deux nombres irrationnels est toujours irrationnel.
Si $x^2\in\mathbb Q$ , alors $x\in\mathbb Q$ .
Si $x\in\mathbb Q$ et $y\notin\mathbb Q$ , alors $x+y\notin\mathbb Q$ .
Entre deux nombres rationnels distincts, il existe un nombre irrationnel.
Entre deux nombres réels distincts, il existe un nombre rationnel.

II – Droite réelle, intervalles, union et intersection

Solution (corrigé détaillé)

Vrai. Pour tout $n\in\mathbb Z$ , $n=\frac{n}{1},$ donc $n\in\mathbb Q$ .
Faux. Par exemple, $\frac12\in\mathbb Q\quad\text{mais}\quad \frac12\notin\mathbb Z.$
Vrai. Supposons $x\notin\mathbb Q$ . Si $x+4$ était rationnel, alors $x=(x+4)-4$ serait différence de deux rationnels, donc rationnel : contradiction.
Faux. Par exemple, $\sqrt2\times\sqrt2=2,$ qui est rationnel.
Faux. Prendre $x=\sqrt2$ . Alors $x^2=2\in\mathbb Q,\qquad x\notin\mathbb Q.$
Vrai. Si $x\in\mathbb Q$ , $y\notin\mathbb Q$ et si $x+y\in\mathbb Q$ , alors $y=(x+y)-x$ serait rationnel, contradiction.
Vrai. Les nombres irrationnels sont denses dans $\mathbb R$ : entre deux rationnels distincts, il existe toujours un irrationnel.
Vrai. Les rationnels sont denses dans $\mathbb R$ : entre deux réels distincts, il existe toujours un rationnel.

II – Droite réelle, intervalles, union et intersection

Exercice 5 — Compléter les écritures d'un intervalle

2nde • Avancé

Compléter le tableau. Pour chaque ligne, donner la notation d’intervalle,

les inégalités correspondantes, une représentation sur une droite graduée

et une phrase descriptive.

Notation d’intervalle	Inégalité(s) correspondante(s)	Phrase
$[-3;5]$
	$x<3$
		Intervalle de $4$ à $6$ , fermé en $4$ et ouvert en $6$ .
$[2;+\infty[$
	$-3<x\le -1$
		Intervalle de $-\infty$ à $5$ , fermé en $5$ .
		Intervalle de $-2$ à $5$ , ouvert.

Indice

Un crochet fermé signifie que la borne appartient à l'intervalle.
Un crochet ouvert signifie qu'elle n'appartient pas à l'intervalle.
Avec $\pm\infty$ , le crochet est toujours ouvert.

Solution (corrigé détaillé)

$[-3;5]\iff -3\le x\le5.$ Phrase : nombres compris entre $-3$ et $5$ , bornes incluses. Sur la droite : points pleins en $-3$ et $5$ .
$x<3\iff x\in]-\infty;3[.$ Phrase : nombres strictement inférieurs à $3$ . Point vide en $3$ .
Intervalle de $4$ à $6$ , fermé en $4$ et ouvert en $6$ : $\boxed{[4;6[},\qquad 4\le x<6.$
$[2;+\infty[\iff x\ge2.$ Phrase : nombres supérieurs ou égaux à $2$ . Point plein en $2$ .
$-3<x\le-1\iff x\in]-3;-1].$
Intervalle de $-\infty$ à $5$ , fermé en $5$ : $\boxed{]-\infty;5]},\qquad x\le5.$
Intervalle de $-2$ à $5$ , ouvert : $\boxed{]-2;5[},\qquad -2<x<5.$

Exercice 6 — Union et intersection d'intervalles

2nde • Avancé

Compléter le tableau. Pour chaque ligne, calculer $I\cup J$ et $I\cap J$ ,

puis représenter les ensembles obtenus sur une droite réelle.

Intervalle $I$	Intervalle $J$	$I\cup J$	$I\cap J$	Représentation
$[-10;2[$	$[-5;3]$
$]-\infty;2[$	$[0;5[$
$[3;+\infty[$	$]-\infty;6[$
$]-\infty;-2[$	$]-4;-3[$
$]-4;2]$	$[2;5]$
$]-4;2]$	$]2;5]$

Solution (corrigé détaillé)

$I=[-10;2[$ , $J=[-5;3]$ . $\boxed{I\cup J=[-10;3]},\qquad \boxed{I\cap J=[-5;2[}.$
$I=]-\infty;2[$ , $J=[0;5[$ . $\boxed{I\cup J=]-\infty;5[},\qquad \boxed{I\cap J=[0;2[}.$
$I=[3;+\infty[$ , $J=]-\infty;6[$ . Les deux intervalles se recouvrent entre $3$ et $6$ , et leur réunion couvre toute la droite : $\boxed{I\cup J=\mathbb R},\qquad \boxed{I\cap J=[3;6[}.$
$I=]-\infty;-2[$ , $J=]-4;-3[$ . Ici $J\subset I$ , donc $\boxed{I\cup J=]-\infty;-2[},\qquad \boxed{I\cap J=]-4;-3[}.$
$I=]-4;2]$ , $J=[2;5]$ . Le seul point commun est $2$ : $\boxed{I\cup J=]-4;5]},\qquad \boxed{I\cap J=\{2\}=[2;2]}.$
$I=]-4;2]$ , $J=]2;5]$ . Les deux intervalles ne possèdent aucun point commun, mais $2$ appartient à $I$ , donc la réunion reste continue : $\boxed{I\cup J=]-4;5]},\qquad \boxed{I\cap J=\varnothing}.$

Exercice 7 — Inéquations et systèmes d'inéquations

2nde • Avancé

1. Résoudre dans $\mathbb R$ les inéquations suivantes et donner les solutions sous forme d’intervalles.

$5x+3<2x-6$
$\dfrac32x+\dfrac34\le 4x+\dfrac{13}{4}$
$-3<2x-1\le5$
$3\le -4x+2<5$

2. Résoudre dans $\mathbb R$ les systèmes suivants et donner les solutions sous forme d’intervalles.

$\left\{\begin{array}{l}x<7\\[2pt]x>0\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}x>-3\\[2pt]x>2\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}-2\le x<5\\[2pt]2\le x\le 4\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}-3<x<6\\[2pt]-7\le x\le 3\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}-3x+1<-5+x\\[2pt]4x-2<2x+3\end{array}\right.$

3. Résoudre dans $\mathbb R$ les conditions suivantes avec « ou » et donner les solutions sous forme d’intervalles.

$\left\{\begin{array}{l}x>2\\[-1pt]\text{ou}\\[-1pt]x\le 5\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}x\le-3\\[-1pt]\text{ou}\\[-1pt]x>2\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}2<x<5\\[-1pt]\text{ou}\\[-1pt]x\le 4\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}-3<x<0\\[-1pt]\text{ou}\\[-1pt]-7\le x\le 10\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}-3x+1<-5+x\\[-1pt]\text{ou}\\[-1pt]4x-2\le 2x+3\end{array}\right.$

Solution (corrigé détaillé)

1. Inéquations

$5x+3<2x-6 \iff 3x<-9 \iff x<-3.$ Donc $\boxed{S=]-\infty;-3[}.$
$\frac32x+\frac34\le4x+\frac{13}{4}.$ On regroupe : $\frac34-\frac{13}{4}\le4x-\frac32x \iff -\frac52\le\frac52x \iff x\ge-1.$ Donc $\boxed{S=[-1;+\infty[}.$
$-3<2x-1\le5 \iff -2<2x\le6 \iff -1<x\le3.$ Donc $\boxed{S=]-1;3]}.$
$3\le-4x+2<5.$ Première inégalité : $3\le-4x+2 \iff1\le-4x \iff x\le-\frac14.$ Deuxième : $-4x+2<5 \iff -4x<3 \iff x>-\frac34.$ Ainsi $\boxed{S=]-\frac34;-\frac14]}.$

2. Systèmes avec « et »

$x<7$ et $x>0$ : $\boxed{S=]0;7[}.$
$x>-3$ et $x>2$ : $\boxed{S=]2;+\infty[}.$
$[-2;5[\cap[2;4]=\boxed{[2;4]}.$
$]-3;6[\cap[-7;3]=\boxed{]-3;3]}.$
$-3x+1<-5+x \iff 6<4x \iff x>\frac32,$ et $4x-2<2x+3 \iff2x<5 \iff x<\frac52.$ Donc $\boxed{S=]\frac32;\frac52[}.$

3. Conditions avec « ou »

$]2;+\infty[\cup]-\infty;5]=\boxed{\mathbb R}.$
$\boxed{S=]-\infty;-3]\cup]2;+\infty[}.$
$]2;5[\cup]-\infty;4]=\boxed{]-\infty;5[}.$
$]-3;0[\cup[-7;10]=\boxed{[-7;10]}.$
La première condition donne $x>\frac32$ . La seconde : $4x-2\le2x+3 \iff x\le\frac52.$ Donc $]\frac32;+\infty[\cup]-\infty;\frac52]=\boxed{\mathbb R}.$

Exercice 8 — Opérations avancées sur les intervalles

2nde • Avancé

On considère

$A=]-\infty;2],\qquad B=[-3;6[,\qquad C=]1;8].$

Déterminer :

$A\cap B$
$B\cap C$
$A\cup C$
$(A\cap B)\cup C$
$B\cap(A\cup C)$
$\mathbb R\setminus B$
$(A\cup B)\cap C$
$(B\setminus A)\cup(A\cap C)$

Solution (corrigé détaillé)

On a $A=]-\infty;2],\qquad B=[-3;6[,\qquad C=]1;8].$

$\boxed{A\cap B=[-3;2]}.$
$\boxed{B\cap C=]1;6[}.$
$\boxed{A\cup C=]-\infty;8]}.$
$A\cap B=[-3;2],$ donc $[-3;2]\cup]1;8]=\boxed{[-3;8]}.$
Comme $A\cup C=]-\infty;8]$ , $B\cap(A\cup C)=B,$ donc $\boxed{[-3;6[}.$
$\boxed{\mathbb R\setminus B=]-\infty;-3[\cup[6;+\infty[}.$
$A\cup B=]-\infty;6[,$ donc $(A\cup B)\cap C=]-\infty;6[\cap]1;8] =\boxed{]1;6[}.$
$B\setminus A=]2;6[$ et $A\cap C=]1;2].$ Ainsi $(B\setminus A)\cup(A\cap C) =]2;6[\cup]1;2] =\boxed{]1;6[}.$

Exercice 9 — Intervalle dépendant d'un paramètre

2nde • Avancé

On considère

$I_m=[m-2;m+3].$

Déterminer les valeurs réelles de $m$ telles que :

$0\in I_m$ .
$5\in I_m$ .
$I_m\subset[-4;8]$ .
$[1;4]\subset I_m$ .
$I_m\cap[0;2]\neq\varnothing$ .
$I_m\cap]-\infty;1[=\varnothing$ .

III – Valeur absolue et distance

Indice

$a\in[u;v]\iff u\le a\le v$ .
Pour une inclusion, comparer les deux bornes.
Deux intervalles fermés se coupent si le début de chacun est avant la fin de l'autre.

Solution (corrigé détaillé)

On considère $I_m=[m-2;m+3].$

$0\in I_m$ signifie $m-2\le0\le m+3.$ Donc $m\le2\quad\text{et}\quad m\ge-3.$ Ainsi $\boxed{m\in[-3;2]}.$
$5\in I_m$ signifie $m-2\le5\le m+3.$ Donc $m\le7,\qquad m\ge2.$ Ainsi $\boxed{m\in[2;7]}.$
Pour que $I_m\subset[-4;8]$ , il faut $m-2\ge-4 \quad\text{et}\quad m+3\le8.$ Donc $m\ge-2,\qquad m\le5,$ d’où $\boxed{m\in[-2;5]}.$
Pour que $[1;4]\subset I_m$ , il faut $m-2\le1 \quad\text{et}\quad m+3\ge4.$ Donc $m\le3,\qquad m\ge1,$ d’où $\boxed{m\in[1;3]}.$
Deux intervalles fermés $[m-2;m+3]$ et $[0;2]$ se coupent si $m-2\le2 \quad\text{et}\quad m+3\ge0.$ Donc $m\le4,\qquad m\ge-3,$ et $\boxed{m\in[-3;4]}.$
$I_m\cap]-\infty;1[=\varnothing$ signifie que tous les éléments de $I_m$ sont supérieurs ou égaux à $1$ . Il suffit donc d’imposer $m-2\ge1,$ soit $\boxed{m\ge3}.$

III – Valeur absolue et distance

Exercice 10 — Intervalle centré et valeur absolue

2nde • Avancé

Écrire chaque intervalle sous la forme $|x-a|\le r$ ou $|x-a|<r$ .

$x\in[-4;6]$
$x\in]-3;7[$
$x\in[2;10]$
$x\in]-8;2[$
$x\in\left[-\dfrac32;\dfrac92\right]$
$x\in\left]-\dfrac54;\dfrac{11}{4}\right[$

Indice

Centre $a=(u+v)/2$ , rayon $r=(v-u)/2$ . Bornes fermées : $\le$ . Bornes ouvertes : $<$ .

Solution (corrigé détaillé)

Pour un intervalle de bornes $u$ et $v$ , le centre est $a=\frac{u+v}{2}$ et le rayon $r=\frac{v-u}{2}.$

$[-4;6]$ : centre $1$ , rayon $5$ . $\boxed{|x-1|\le5}.$
$]-3;7[$ : centre $2$ , rayon $5$ . $\boxed{|x-2|<5}.$
$[2;10]$ : centre $6$ , rayon $4$ . $\boxed{|x-6|\le4}.$
$]-8;2[$ : centre $-3$ , rayon $5$ . $\boxed{|x+3|<5}.$
$\left[-\frac32;\frac92\right].$ Centre : $a=\frac{-\frac32+\frac92}{2}=\frac32.$ Rayon : $r=\frac{\frac92-(-\frac32)}{2}=3.$ Donc $\boxed{\left|x-\frac32\right|\le3}.$
$\left]-\frac54;\frac{11}{4}\right[.$ Centre : $a=\frac{-\frac54+\frac{11}{4}}{2}=\frac34.$ Rayon : $r=\frac{\frac{11}{4}-(-\frac54)}{2}=2.$ Donc $\boxed{\left|x-\frac34\right|<2}.$

Exercice 11 — Valeur absolue vers intervalle

2nde • Avancé

Donner l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

$|x-3|\le5$
$|x+2|<4$
$|x-7|\le2$
$|2x-4|\le6$
$|3x+6|<9$
$|5-2x|\le3$

Indice

Utiliser $|u|\le r\iff-r\le u\le r$ , puis résoudre la double inégalité.

Solution (corrigé détaillé)

$|x-3|\le5 \iff -5\le x-3\le5 \iff -2\le x\le8.$ Donc $\boxed{S=[-2;8]}.$
$|x+2|<4 \iff -4<x+2<4 \iff -6<x<2.$ Donc $\boxed{S=]-6;2[}.$
$|x-7|\le2 \iff 5\le x\le9.$ Donc $\boxed{S=[5;9]}.$
$|2x-4|\le6 \iff 2|x-2|\le6 \iff |x-2|\le3.$ Donc $\boxed{S=[-1;5]}.$
$|3x+6|<9 \iff 3|x+2|<9 \iff |x+2|<3.$ Donc $\boxed{S=]-5;1[}.$
$|5-2x|\le3 \iff -3\le5-2x\le3.$ On peut aussi écrire $|2x-5|\le3$ : $-3\le2x-5\le3 \iff2\le2x\le8 \iff1\le x\le4.$ Donc $\boxed{S=[1;4]}.$

Exercice 12 — Extérieur d'un intervalle

2nde • Avancé

Résoudre puis donner la réponse comme réunion d’intervalles.

$|x-2|\ge4$
$|x+3|>5$
$|2x-6|\ge8$
$|3x+3|>6$
$\left|x-\dfrac12\right|\ge\dfrac32$
$|4-2x|>10$

Indice

$|x-a|\ge r$ signifie que la distance à $a$ est au moins $r$ : on se place à l'extérieur de l'intervalle centré.

Solution (corrigé détaillé)

$|x-2|\ge4 \iff x-2\le-4\quad\text{ou}\quad x-2\ge4.$ Donc $x\le-2\quad\text{ou}\quad x\ge6,$ et $\boxed{S=]-\infty;-2]\cup[6;+\infty[}.$
$|x+3|>5 \iff x+3<-5\quad\text{ou}\quad x+3>5.$ Donc $\boxed{S=]-\infty;-8[\cup]2;+\infty[}.$
$|2x-6|\ge8 \iff2|x-3|\ge8 \iff|x-3|\ge4.$ Ainsi $\boxed{S=]-\infty;-1]\cup[7;+\infty[}.$
$|3x+3|>6 \iff3|x+1|>6 \iff|x+1|>2.$ Donc $\boxed{S=]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[}.$
$\left|x-\frac12\right|\ge\frac32.$ Ainsi $x\le\frac12-\frac32=-1$ ou $x\ge\frac12+\frac32=2.$ Donc $\boxed{S=]-\infty;-1]\cup[2;+\infty[}.$
$|4-2x|>10 \iff2|x-2|>10 \iff|x-2|>5.$ Donc $\boxed{S=]-\infty;-3[\cup]7;+\infty[}.$

Exercice 13 — Supprimer une valeur absolue

2nde • Avancé

Simplifier exactement, sans utiliser d’approximation décimale.

$A=|3-\sqrt{10}|$
$B=|2-\sqrt5|+|\sqrt5-4|$
$C=|1-\sqrt2|+|\sqrt3-2|$
$D=|5\sqrt2-7|$
$E=|\sqrt7-3|$
$F=|3-2\sqrt2|$

Solution (corrigé détaillé)

Comparons $3$ et $\sqrt{10}$ . Comme $3^2=9<10$ , on a $3<\sqrt{10}$ . Donc $\boxed{|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3}.$
Comme $2<\sqrt5<4$ , $|2-\sqrt5|=\sqrt5-2$ et $|\sqrt5-4|=4-\sqrt5.$ Ainsi $B=(\sqrt5-2)+(4-\sqrt5)=\boxed{2}.$
On a $\sqrt2>1$ et $\sqrt3<2$ . Donc $|1-\sqrt2|=\sqrt2-1,$ $|\sqrt3-2|=2-\sqrt3.$ Ainsi $\boxed{C=1+\sqrt2-\sqrt3}.$
Pour comparer $5\sqrt2$ et $7$ , on compare leurs carrés : $(5\sqrt2)^2=50,\qquad7^2=49.$ Donc $5\sqrt2>7$ , d’où $\boxed{D=5\sqrt2-7}.$
Comme $7<9$ , on a $\sqrt7<3$ . Donc $\boxed{E=3-\sqrt7}.$
Comparons $3$ et $2\sqrt2$ : $3^2=9,\qquad(2\sqrt2)^2=8.$ Donc $3>2\sqrt2$ , et $\boxed{F=3-2\sqrt2}.$

Exercice 14 — Équations avec valeur absolue

2nde • Avancé

Résoudre dans $\mathbb R$ .

$|x-4|=3$
$|2x+1|=5$
$|3x-2|=7$
$|2x-3|=|x+4|$
$|x+2|=|x-6|$
$|3x+1|=2x+5$

Indice

$|u|=a$ avec $a\ge0$ donne $u=a$ ou $u=-a$ .
Pour $|u|=|v|$ , on peut utiliser $u=v$ ou $u=-v$ .
Dans la dernière équation, vérifier que le membre de droite est $\ge0$ .

Solution (corrigé détaillé)

$|x-4|=3 \iff x-4=3\quad\text{ou}\quad x-4=-3.$ Donc $\boxed{x=7\text{ ou }x=1}.$
$|2x+1|=5 \iff2x+1=5\quad\text{ou}\quad2x+1=-5.$ Donc $\boxed{x=2\text{ ou }x=-3}.$
$|3x-2|=7 \iff3x-2=7\quad\text{ou}\quad3x-2=-7.$ Donc $\boxed{x=3\text{ ou }x=-\frac53}.$
$|2x-3|=|x+4|.$ On peut écrire $2x-3=x+4$ ou $2x-3=-(x+4).$ Premier cas : $x=7.$ Deuxième cas : $2x-3=-x-4 \iff3x=-1 \iff x=-\frac13.$ Donc $\boxed{S=\left\{-\frac13;7\right\}}.$
$|x+2|=|x-6|.$ Géométriquement, $x$ est à égale distance de $-2$ et $6$ . Il est donc leur milieu : $x=\frac{-2+6}{2}=2.$ Donc $\boxed{x=2}.$
$|3x+1|=2x+5.$ Le membre de droite doit être positif ou nul : $2x+5\ge0\iff x\ge-\frac52.$ Cas 1 : $3x+1=2x+5\iff x=4.$ Cas 2 : $3x+1=-(2x+5) \iff5x=-6 \iff x=-\frac65.$ Les deux valeurs vérifient $x\ge-\frac52$ . Donc $\boxed{S=\left\{-\frac65;4\right\}}.$

Exercice 15 — Inéquations avec valeur absolue

2nde • Avancé

Résoudre dans $\mathbb R$ .

$|x-3|\le4$
$|x+5|<2$
$|2x-1|\le7$
$|x-2|\ge5$
$|3x+6|>9$
$|2x+1|\ge|x-5|$

Solution (corrigé détaillé)

$|x-3|\le4 \iff -4\le x-3\le4 \iff -1\le x\le7.$ Donc $\boxed{S=[-1;7]}.$
$|x+5|<2 \iff -2<x+5<2 \iff -7<x<-3.$ Donc $\boxed{S=]-7;-3[}.$
$|2x-1|\le7 \iff -7\le2x-1\le7$ $\iff -6\le2x\le8 \iff -3\le x\le4.$ Donc $\boxed{S=[-3;4]}.$
$|x-2|\ge5 \iff x\le-3\quad\text{ou}\quad x\ge7.$ Donc $\boxed{S=]-\infty;-3]\cup[7;+\infty[}.$
$|3x+6|>9 \iff3|x+2|>9 \iff|x+2|>3.$ Donc $\boxed{S=]-\infty;-5[\cup]1;+\infty[}.$
$|2x+1|\ge|x-5|.$ Les deux membres sont positifs ou nuls, on peut donc élever au carré : $(2x+1)^2\ge(x-5)^2.$ Différence de deux carrés : $(2x+1-(x-5))(2x+1+(x-5))\ge0,$ soit $(x+6)(3x-4)\ge0.$ Les valeurs critiques sont $-6$ et $\frac43$ . Le produit est positif ou nul à l’extérieur : $\boxed{S=]-\infty;-6]\cup\left[\frac43;+\infty\right[}.$

Exercice 16 — Deux contraintes de distance

2nde • Avancé

Résoudre simultanément :

$|x-4|\le5 \qquad\text{et}\qquad |x-7|\le3.$

Traduire chaque contrainte sous forme d’intervalle.
Calculer l’intersection des deux intervalles.
Donner le centre de l’intervalle obtenu.
Donner son rayon.
Réécrire la réponse sous la forme $|x-a|\le r$ .
Donner l’amplitude de l’intervalle final.

IV – Distance sur la droite réelle

Solution (corrigé détaillé)

Première contrainte : $|x-4|\le5 \iff x\in[4-5;4+5] =[-1;9].$

Deuxième contrainte : $|x-7|\le3 \iff x\in[7-3;7+3] =[4;10].$

L’intersection est donc $[-1;9]\cap[4;10]=\boxed{[4;9]}.$

Son centre vaut $a=\frac{4+9}{2}=\frac{13}{2}.$

Son rayon vaut $r=\frac{9-4}{2}=\frac52.$

Ainsi $\boxed{\left|x-\frac{13}{2}\right|\le\frac52}.$

L’amplitude est $9-4=\boxed{5}.$

IV – Distance sur la droite réelle

Exercice 17 — Distance entre des points

2nde • Avancé

On considère les points de la droite réelle

$A(-3),\qquad B(5),\qquad C(\sqrt5).$

Calculer la distance $AB$ .
Écrire $AC$ sous la forme d’une valeur absolue.
Simplifier $AC$ .
Comparer $AC$ et $BC$ sans calculatrice.
Déterminer l’abscisse du milieu de $[AB]$ .
Déterminer les points situés à distance $4$ du point $A$ .

Indice

Sur la droite réelle, $d(a,b)=|b-a|$ . Pour comparer exactement, soustraire les deux distances.

Solution (corrigé détaillé)

On a $A(-3),\qquad B(5),\qquad C(\sqrt5).$

$AB=|5-(-3)|=|8|=\boxed{8}.$
$AC=|\sqrt5-(-3)|=\boxed{|\sqrt5+3|}.$
Comme $\sqrt5+3>0$ , $\boxed{AC=\sqrt5+3}.$
$BC=|\sqrt5-5|=5-\sqrt5,$ car $\sqrt5<5$ . Comparons : $AC-BC=(\sqrt5+3)-(5-\sqrt5)=2\sqrt5-2.$ Or $\sqrt5>1$ , donc $2\sqrt5-2>0.$ Ainsi $\boxed{AC>BC}.$
Le milieu de $[AB]$ a pour abscisse $\frac{-3+5}{2}=\boxed{1}.$
Les points à distance $4$ de $A(-3)$ vérifient $|x+3|=4.$ Donc $x+3=4\quad\text{ou}\quad x+3=-4,$ d’où $\boxed{x=1\text{ ou }x=-7}.$

Exercice 18 — Équidistance

2nde • Avancé

Résoudre en utilisant une interprétation géométrique sur la droite réelle.

$|x+2|=|x-6|$
$\left|x-\dfrac14\right|=\left|x+\dfrac32\right|$
$\left|x+\dfrac73\right|=\left|x-\dfrac52\right|$
Déterminer les réels plus proches de $\dfrac52$ que de $-\dfrac73$ .
Déterminer les réels $x$ tels que $|x-1|\le|x+5|$ .

Solution (corrigé détaillé)

$|x+2|=|x-6|.$ $x$ est le milieu de $-2$ et $6$ : $\boxed{x=2}.$
Les deux points sont $\frac14$ et $-\frac32$ . Leur milieu est $\frac{\frac14-\frac32}{2} =\frac{-\frac54}{2} =-\frac58.$ Donc $\boxed{x=-\frac58}.$
Les deux points sont $-\frac73$ et $\frac52$ . Le milieu vaut $\frac{-\frac73+\frac52}{2} =\frac{\frac16}{2} =\boxed{\frac1{12}}.$
On cherche les réels plus proches de $\frac52$ que de $-\frac73$ . La frontière est le milieu $\frac1{12}$ . Comme $\frac52$ est à droite de ce milieu, les points plus proches de $\frac52$ sont ceux situés à droite : $\boxed{x>\frac1{12}}.$
$|x-1|\le|x+5|.$ La frontière d’équidistance entre $1$ et $-5$ est leur milieu : $\frac{1+(-5)}2=-2.$ Les points au moins aussi proches de $1$ que de $-5$ sont à droite du milieu : $\boxed{x\ge-2}.$

Exercice 19 — Distance maximale

2nde • Avancé

Déterminer le plus petit réel $M$ tel que $|x|\le M$ pour tout $x\in[-7;4]$ .
Déterminer le plus petit réel $M$ tel que $|x-2|\le M$ pour tout $x\in[-3;8]$ .
Déterminer le plus petit réel $M$ tel que $|x+4|\le M$ pour tout $x\in[-6;5]$ .
Déterminer le plus petit réel $M$ tel que $|2x-1|\le M$ pour tout $x\in[-2;4]$ .

Solution (corrigé détaillé)

Sur un intervalle fermé, pour une fonction de la forme $|ax+b|$ , le maximum est atteint à l’une des extrémités.

Sur $[-7;4]$ , $|-7|=7,\qquad|4|=4.$ Donc $\boxed{M=7}.$
Sur $[-3;8]$ , $|-3-2|=5,\qquad|8-2|=6.$ Donc $\boxed{M=6}.$
Sur $[-6;5]$ , $|-6+4|=2,\qquad|5+4|=9.$ Donc $\boxed{M=9}.$
Sur $[-2;4]$ , $|2(-2)-1|=|-5|=5,$ $|2(4)-1|=|7|=7.$ Donc $\boxed{M=7}.$

Exercice 20 — Tolérances simultanées

2nde • Avancé

Une mesure $x$ doit vérifier simultanément

$|x-10|\le2 \qquad\text{et}\qquad |x-11|\le1{,}5.$

Donner les deux intervalles associés.
Déterminer l’intervalle des valeurs admissibles.
Calculer son amplitude.
Déterminer son centre et son rayon.
Réécrire l’intervalle final sous la forme $|x-a|\le r$ .

V – Encadrements

Solution (corrigé détaillé)

Première condition : $|x-10|\le2 \iff \boxed{x\in[8;12]}.$

Deuxième condition : $|x-11|\le1,5 \iff \boxed{x\in[9,5;12,5]}.$

Les valeurs admissibles vérifient les deux contraintes : $[8;12]\cap[9,5;12,5] =\boxed{[9,5;12]}.$

Amplitude : $12-9,5=\boxed{2,5}.$

Centre : $a=\frac{9,5+12}{2}=10,75.$

Rayon : $r=\frac{12-9,5}{2}=1,25.$

Donc $\boxed{|x-10,75|\le1,25}.$

V – Encadrements

Exercice 21 — Encadrer une racine carrée

2nde • Avancé

Sans calculatrice, donner d’abord un encadrement entre deux entiers consécutifs,

puis un encadrement d’amplitude $0{,}1$ .

$\sqrt7$
$\sqrt{11}$
$\sqrt{19}$
$\sqrt{37}$
$\sqrt{52}$
$\sqrt{85}$

Solution (corrigé détaillé)

$\sqrt7$

Comme $2^2=4<7<9=3^2,$ on a $\boxed{2<\sqrt7<3}.$ De plus $2,6^2=6,76<7<7,29=2,7^2,$ donc $\boxed{2,6<\sqrt7<2,7}.$
$\sqrt{11}$

$3^2=9<11<16=4^2 \Rightarrow \boxed{3<\sqrt{11}<4}.$ Puis $3,3^2=10,89<11<11,56=3,4^2,$ donc $\boxed{3,3<\sqrt{11}<3,4}.$
$\sqrt{19}$

$4^2=16<19<25=5^2 \Rightarrow \boxed{4<\sqrt{19}<5}.$ Puis $4,3^2=18,49<19<19,36=4,4^2,$ donc $\boxed{4,3<\sqrt{19}<4,4}.$
$\sqrt{37}$

$6^2=36<37<49=7^2 \Rightarrow \boxed{6<\sqrt{37}<7}.$ Puis $6,0^2=36<37<37,21=6,1^2,$ donc $\boxed{6,0<\sqrt{37}<6,1}.$
$\sqrt{52}$

$7^2=49<52<64=8^2 \Rightarrow \boxed{7<\sqrt{52}<8}.$ Puis $7,2^2=51,84<52<53,29=7,3^2,$ donc $\boxed{7,2<\sqrt{52}<7,3}.$
$\sqrt{85}$

$9^2=81<85<100=10^2 \Rightarrow \boxed{9<\sqrt{85}<10}.$ Puis $9,2^2=84,64<85<86,49=9,3^2,$ donc $\boxed{9,2<\sqrt{85}<9,3}.$

Exercice 22 — Encadrement au centième

2nde • Avancé

Déterminer deux centièmes consécutifs $a$ et $b$ tels que $a<\sqrt n<b$ .

Justifier en comparant les carrés.

$n=2$
$n=5$
$n=13$
$n=29$
$n=41$
$n=73$

Indice

Tester deux centièmes consécutifs et comparer leurs carrés à $n$ .

Solution (corrigé détaillé)

$1,41^2=1,9881<2<2,0164=1,42^2,$ donc $\boxed{1,41<\sqrt2<1,42}.$
$2,23^2=4,9729<5<5,0176=2,24^2,$ donc $\boxed{2,23<\sqrt5<2,24}.$
$3,60^2=12,96<13<13,0321=3,61^2,$ donc $\boxed{3,60<\sqrt{13}<3,61}.$
$5,38^2=28,9444<29<29,0521=5,39^2,$ donc $\boxed{5,38<\sqrt{29}<5,39}.$
$6,40^2=40,96<41<41,0881=6,41^2,$ donc $\boxed{6,40<\sqrt{41}<6,41}.$
$8,54^2=72,9316<73<73,1025=8,55^2,$ donc $\boxed{8,54<\sqrt{73}<8,55}.$

Exercice 23 — Encadrements et opérations

2nde • Avancé

On sait que

$1{,}41<\sqrt2<1{,}42 \qquad\text{et}\qquad 1{,}73<\sqrt3<1{,}74.$

En déduire un encadrement de :

$A=\sqrt2+\sqrt3$
$B=2\sqrt2+\sqrt3$
$C=5-\sqrt3$
$D=3\sqrt2-2$
$E=2\sqrt3-\sqrt2$
$F=7-2\sqrt2-\sqrt3$

Solution (corrigé détaillé)

On sait $1,41<\sqrt2<1,42$ et $1,73<\sqrt3<1,74.$

$1,41+1,73<\sqrt2+\sqrt3<1,42+1,74,$ d’où $\boxed{3,14<A<3,16}.$
$2(1,41)+1,73<2\sqrt2+\sqrt3<2(1,42)+1,74,$ donc $\boxed{4,55<B<4,58}.$
Pour $C=5-\sqrt3$ , le sens est inversé lorsqu’on soustrait : $5-1,74<5-\sqrt3<5-1,73.$ Donc $\boxed{3,26<C<3,27}.$
$3(1,41)-2<3\sqrt2-2<3(1,42)-2,$ donc $\boxed{2,23<D<2,26}.$
Pour $E=2\sqrt3-\sqrt2,$ la plus petite valeur est obtenue avec la plus petite valeur de $\sqrt3$ et la plus grande valeur de $\sqrt2$ : $2(1,73)-1,42<E<2(1,74)-1,41.$ Ainsi $\boxed{2,04<E<2,07}.$
Pour $F=7-2\sqrt2-\sqrt3,$ la borne inférieure utilise les bornes supérieures des racines : $7-2(1,42)-1,74<F<7-2(1,41)-1,73.$ Donc $\boxed{2,42<F<2,45}.$

Exercice 24 — Entiers dans des intervalles à bornes irrationnelles

2nde • Avancé

Déterminer tous les entiers appartenant aux intervalles suivants.

$I=]-\sqrt{20};\sqrt{30}[$
$J=[-\sqrt{50};\sqrt{17}]$
$K=]\sqrt7;\sqrt{65}[$
$L=]-\sqrt{45};-\sqrt5[$

VI – Synthèses avancées

Solution (corrigé détaillé)

$4<\sqrt{20}<5,\qquad5<\sqrt{30}<6.$ Donc $-\sqrt{20}\in]-5;-4[,\qquad \sqrt{30}\in]5;6[.$ Les entiers de $]-\sqrt{20};\sqrt{30}[$ sont $\boxed{\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}}.$
$7<\sqrt{50}<8,\qquad4<\sqrt{17}<5.$ Ainsi les entiers de $[-\sqrt{50};\sqrt{17}]$ sont $\boxed{\{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}}.$
$2<\sqrt7<3,\qquad8<\sqrt{65}<9.$ Les entiers de $]\sqrt7;\sqrt{65}[$ sont $\boxed{\{3,4,5,6,7,8\}}.$
$6<\sqrt{45}<7,\qquad2<\sqrt5<3.$ Donc $-\sqrt{45}\in]-7;-6[,\qquad -\sqrt5\in]-3;-2[.$ Les entiers de $]-\sqrt{45};-\sqrt5[$ sont $\boxed{\{-6,-5,-4,-3\}}.$

VI – Synthèses avancées

Exercice 25 — Ensembles, intervalle et valeur absolue

2nde • Avancé

On considère

$A=[-6;4] \qquad\text{et}\qquad B=]-2;8[.$

Calculer $A\cap B$ .
Écrire $A\cap B$ sous forme d’inégalités.
Déterminer le centre et le rayon de $A\cap B$ .
Écrire $A\cap B$ à l’aide d’une valeur absolue.
Déterminer $\mathbb R\setminus(A\cap B)$ .
Écrire ce complémentaire sous forme d’une réunion d’intervalles.

Indice

Attention : une inégalité $|x-a|\le r$ ferme les deux bornes ; $|x-a|<r$ ouvre les deux. Ici, les deux bornes n'ont pas le même statut.

Solution (corrigé détaillé)

On considère $A=[-6;4],\qquad B=]-2;8[.$

$A\cap B=[-6;4]\cap]-2;8[ =\boxed{]-2;4]}.$
Sous forme d’inégalités : $\boxed{-2<x\le4}.$
Le milieu des deux bornes est $a=\frac{-2+4}{2}=1,$ et la demi-longueur vaut $r=\frac{4-(-2)}{2}=3.$ On peut donc parler de centre géométrique $1$ et de rayon $3$ .
Attention : l’intervalle $]-2;4]$ est ouvert à gauche et fermé à droite. Une seule condition de la forme $|x-a|\le r$ donne toujours un intervalle fermé aux deux extrémités, et une condition de la forme $|x-a|<r$ donne toujours un intervalle ouvert aux deux extrémités.

Il est donc impossible d’écrire exactement $]-2;4]$ avec une seule inégalité standard de valeur absolue.

On peut néanmoins écrire, par exemple, $\boxed{|x-1|\le3\quad\text{et}\quad x\neq-2}.$ Cette condition donne bien $]-2;4]$ .
$\mathbb R\setminus(A\cap B) =\mathbb R\setminus]-2;4] =\boxed{]-\infty;-2]\cup]4;+\infty[}.$
Sous forme d’une réunion d’intervalles : $\boxed{]-\infty;-2]\cup]4;+\infty[}.$

Exercice 26 — Intervalle mobile et inclusion

2nde • Avancé

On pose

$I_m=[m-1;m+1] \qquad\text{et}\qquad J=[-2;8].$

Déterminer les $m$ tels que $I_m\subset J$ .
Déterminer les $m$ tels que $0\in I_m$ .
Déterminer les $m$ tels que $I_m\cap[3;6]\neq\varnothing$ .
Déterminer les $m$ tels que $I_m\cap]-\infty;0[=\varnothing$ .
Écrire $I_m$ sous la forme $|x-m|\le1$ .

Indice

Le centre de $I_m$ est $m$ , son rayon vaut $1$ . Pour une inclusion, contrôler les deux extrémités.

Solution (corrigé détaillé)

On pose $I_m=[m-1;m+1],\qquad J=[-2;8].$

$I_m\subset J$ signifie $m-1\ge-2 \quad\text{et}\quad m+1\le8.$ Donc $m\ge-1,\qquad m\le7,$ et $\boxed{m\in[-1;7]}.$
$0\in I_m$ signifie $m-1\le0\le m+1,$ donc $m\le1,\qquad m\ge-1.$ Ainsi $\boxed{m\in[-1;1]}.$
$I_m\cap[3;6]\neq\varnothing$ si $m-1\le6 \quad\text{et}\quad m+1\ge3.$ Donc $m\le7,\qquad m\ge2,$ d’où $\boxed{m\in[2;7]}.$
$I_m\cap]-\infty;0[=\varnothing$ signifie que l’extrémité gauche de $I_m$ est supérieure ou égale à $0$ : $m-1\ge0.$ Donc $\boxed{m\ge1}.$
L’intervalle $I_m=[m-1;m+1]$ est centré en $m$ , de rayon $1$ . Donc $\boxed{|x-m|\le1}.$

Exercice 27 — Problème de tolérance

2nde • Avancé

Une pièce doit avoir une longueur de $25$ mm avec une tolérance de $0{,}15$ mm.

Traduire cette condition par une valeur absolue.
Donner l’intervalle des longueurs acceptables.

Une deuxième contrainte impose

$|x-25{,}1|\le0{,}08.$

Donner l’intervalle correspondant.
Déterminer les valeurs satisfaisant simultanément les deux contraintes.
Calculer l’amplitude de l’intervalle final.
Déterminer son centre et son rayon.
Écrire l’intervalle final à l’aide d’une valeur absolue.

Indice

Une tolérance $t$ autour d'une valeur nominale $a$ s'écrit $|x-a|\le t$ .

Solution (corrigé détaillé)

La longueur nominale est $25$ mm et la tolérance est $0,15$ mm.

$\boxed{|x-25|\le0,15}.$
$25-0,15\le x\le25+0,15,$ donc $\boxed{x\in[24,85;25,15]}.$
La deuxième contrainte est $|x-25,1|\le0,08.$ Elle équivaut à $25,1-0,08\le x\le25,1+0,08,$ soit $\boxed{x\in[25,02;25,18]}.$
Les deux contraintes doivent être satisfaites simultanément : $[24,85;25,15]\cap[25,02;25,18] =\boxed{[25,02;25,15]}.$
Amplitude : $25,15-25,02=\boxed{0,13\text{ mm}}.$
Centre : $a=\frac{25,02+25,15}{2}=25,085.$ Rayon : $r=\frac{25,15-25,02}{2}=0,065.$ Donc $\boxed{a=25,085,\qquad r=0,065}.$
$\boxed{|x-25,085|\le0,065}.$

Exercice 28 — Grand défi de synthèse

2nde • Avancé

On pose

$A=\{x\in\mathbb R\mid |x-2|\le5\}$

et

$B=]-\infty;0[\cup]4;+\infty[.$

Écrire $A$ sous forme d’intervalle.
Calculer $A\cap B$ .
Déterminer $\mathbb R\setminus(A\cap B)$ .
Déterminer tous les entiers appartenant à $A\cap B$ .
Déterminer les réels $m$ tels que $[m-1;m+1]\subset A$ .
Déterminer le plus petit réel $M$ tel que $|x|\le M$ pour tout $x\in A$ .
Déterminer les réels $x\in A$ tels que $|x-4|\ge3$ .
Écrire l’ensemble obtenu à la question précédente sous forme d’une réunion d’intervalles.

VII – Compléments ciblés Seconde

Indice

Procéder dans l'ordre : transformer $A$ , puis effectuer chaque opération en conservant soigneusement le statut des bornes.

Solution (corrigé détaillé)

On a $A=\{x\in\mathbb R\mid |x-2|\le5\}$ et $B=]-\infty;0[\cup]4;+\infty[.$

$|x-2|\le5 \iff 2-5\le x\le2+5 \iff -3\le x\le7.$ Donc $\boxed{A=[-3;7]}.$
$A\cap B =[-3;7]\cap\bigl(]-\infty;0[\cup]4;+\infty[\bigr).$ On obtient $\boxed{A\cap B=[-3;0[\cup]4;7]}.$
Le complémentaire de $[-3;0[\cup]4;7]$ dans $\mathbb R$ est $\boxed{]-\infty;-3[\cup[0;4]\cup]7;+\infty[}.$
Les entiers de $A\cap B$ sont : $[-3;0[\Rightarrow -3,-2,-1,$ et $]4;7]\Rightarrow 5,6,7.$ Ainsi $\boxed{\{-3,-2,-1,5,6,7\}}.$
On cherche $[m-1;m+1]\subset[-3;7].$ Il faut $m-1\ge-3 \quad\text{et}\quad m+1\le7.$ Donc $m\ge-2,\qquad m\le6.$ Ainsi $\boxed{m\in[-2;6]}.$
On cherche le maximum de $|x|$ sur $A=[-3;7]$ . Aux extrémités : $|-3|=3,\qquad|7|=7.$ Donc $\boxed{M=7}.$
$|x-4|\ge3 \iff x\le1\quad\text{ou}\quad x\ge7.$ On impose en plus $x\in A=[-3;7]$ . Ainsi $[-3;7]\cap\bigl(]-\infty;1]\cup[7;+\infty[\bigr) =\boxed{[-3;1]\cup\{7\}}.$
Sous forme d’une réunion d’intervalles : $\boxed{[-3;1]\cup[7;7]}.$

VII – Compléments ciblés Seconde

Exercice 29 — Nombres décimaux, rationnels et irrationalité

2nde • Avancé

On note $\mathbb D$ l’ensemble des nombres décimaux. Répondre en justifiant soigneusement.

Montrer que $\dfrac{7}{40}\in\mathbb D$ .
Montrer que $\dfrac{2}{3}\in\mathbb Q\setminus\mathbb D$ .
Démontrer par l’absurde que $\sqrt2\notin\mathbb Q$ , en partant de $\sqrt2=\dfrac pq$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux.
Donner un nombre irrationnel strictement compris entre $2$ et $3$ , puis justifier.

Indice

Un décimal possède une écriture fractionnaire dont le dénominateur divise une puissance de $10$ .
Pour $\sqrt2$ , utiliser la parité : si $p^2$ est pair, alors $p$ est pair.
Pour trouver un irrationnel entre $2$ et $3$ , chercher une racine carrée entre $\sqrt4$ et $\sqrt9$ .

Solution (corrigé détaillé)

$\dfrac{7}{40}=\dfrac{175}{1000}=0{,}175$ . Cette écriture décimale est finie. Donc $\boxed{\dfrac{7}{40}\in\mathbb D}$ .
Le nombre $\dfrac23$ est un quotient de deux entiers, donc $\dfrac23\in\mathbb Q$ . Supposons qu’il soit décimal. Il existerait alors des entiers $k$ et $n\ge0$ tels que $\dfrac23=\dfrac{k}{10^n}$ . On aurait donc $2\times10^n=3k$ , ce qui implique $3\mid10^n$ . Or $10^n=2^n5^n$ ne possède aucun facteur premier égal à $3$ . Contradiction. Ainsi $\boxed{\dfrac23\in\mathbb Q\setminus\mathbb D}$ .
Supposons $\sqrt2=\dfrac pq$ , avec $p,q\in\mathbb N^*$ premiers entre eux. En élevant au carré : $p^2=2q^2$ . Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair. Écrivons $p=2k$ . Alors $4k^2=2q^2$ , donc $q^2=2k^2$ , et $q$ est également pair. Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit le fait qu’ils soient premiers entre eux. Donc $\boxed{\sqrt2\notin\mathbb Q}$ .
Prenons $x=\sqrt5$ . Comme $4<5<9$ , on a $2<\sqrt5<3$ . De plus, $\sqrt5$ est irrationnel. Donc $\boxed{x=\sqrt5}$ convient.

Exercice 30 — Défi final : intervalle mobile, séparation et tangence

2nde • Avancé

Pour $m\in\mathbb R$ , on pose $I_m=[m-2;m+2]$ et $J=[-1;5]$ .

Déterminer les valeurs de $m$ telles que $I_m\subset J$ .
Existe-t-il des valeurs de $m$ telles que $J\subset I_m$ ? Justifier.
Déterminer les valeurs de $m$ telles que $0\in I_m$ et $4\in I_m$ simultanément.
Déterminer les valeurs de $m$ telles que $I_m\cap J=\varnothing$ .
Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $I_m\cap J$ contient exactement un point.
Écrire enfin $I_m$ à l’aide d’une valeur absolue.

Solution (corrigé détaillé)

On pose $I_m=[m-2;m+2]$ et $J=[-1;5]$ .

Pour avoir $I_m\subset J$ , il faut $m-2\ge-1$ et $m+2\le5$ . Donc $m\ge1$ et $m\le3$ , d’où $\boxed{m\in[1;3]}$ .
La longueur de $J$ vaut $6$ , tandis que celle de $I_m$ vaut toujours $4$ . Un intervalle de longueur $4$ ne peut pas contenir un intervalle de longueur $6$ . Il n’existe donc $\boxed{\text{aucune valeur de }m}$ .
La condition $0\in I_m$ donne $-2\le m\le2$ . La condition $4\in I_m$ donne $2\le m\le6$ . Les deux doivent être vraies simultanément, donc $\boxed{m=2}$ .
Pour que les deux intervalles fermés soient disjoints, $I_m$ doit être entièrement à gauche ou entièrement à droite de $J$ . À gauche : $m+2<-1$ , soit $m<-3$ . À droite : $m-2>5$ , soit $m>7$ . Ainsi $\boxed{m\in]-\infty;-3[\cup]7;+\infty[}$ .
Il y a exactement un point commun lorsque deux extrémités coïncident : $m+2=-1$ ou $m-2=5$ . On obtient $m=-3$ ou $m=7$ , donc $\boxed{m\in\{-3;7\}}$ .
L’intervalle $I_m=[m-2;m+2]$ est centré en $m$ et de rayon $2$ . Par conséquent $\boxed{x\in I_m\iff |x-m|\le2}$ .

Fin de la correction détaillée

Exercices corrigés — Ensembles De Nombres Et Valeur Absolue (2nde)

✏️ Exercices — Ensembles de nombres et valeur absolue

I – Ensembles de nombres

Exercice 1 — Simplifier puis classer

Exercice 2 — Rationnel ou irrationnel ?

Exercice 3 — Construire des exemples

Exercice 4 — Vrai ou faux ?

II – Droite réelle, intervalles, union et intersection

Exercice 5 — Compléter les écritures d'un intervalle

Exercice 6 — Union et intersection d'intervalles

Exercice 7 — Inéquations et systèmes d'inéquations

Exercice 8 — Opérations avancées sur les intervalles

Exercice 9 — Intervalle dépendant d'un paramètre

III – Valeur absolue et distance

Exercice 10 — Intervalle centré et valeur absolue

Exercice 11 — Valeur absolue vers intervalle

Exercice 12 — Extérieur d'un intervalle

Exercice 13 — Supprimer une valeur absolue

Exercice 14 — Équations avec valeur absolue

Exercice 15 — Inéquations avec valeur absolue

Exercice 16 — Deux contraintes de distance

IV – Distance sur la droite réelle

Exercice 17 — Distance entre des points

Exercice 18 — Équidistance

Exercice 19 — Distance maximale

Exercice 20 — Tolérances simultanées

V – Encadrements

Exercice 21 — Encadrer une racine carrée

Exercice 22 — Encadrement au centième

Exercice 23 — Encadrements et opérations

Exercice 24 — Entiers dans des intervalles à bornes irrationnelles

VI – Synthèses avancées

Exercice 25 — Ensembles, intervalle et valeur absolue

Exercice 26 — Intervalle mobile et inclusion

Exercice 27 — Problème de tolérance

Exercice 28 — Grand défi de synthèse

VII – Compléments ciblés Seconde

Exercice 29 — Nombres décimaux, rationnels et irrationalité

Exercice 30 — Défi final : intervalle mobile, séparation et tangence

Exercices corrigés — Ensembles De Nombres Et Valeur Absolue (2nde)

✏️ Exercices — Ensembles de nombres et valeur absolue

I – Ensembles de nombres

Exercice 1 — Simplifier puis classer

Exercice 2 — Rationnel ou irrationnel ?

Exercice 3 — Construire des exemples

Exercice 4 — Vrai ou faux ?

II – Droite réelle, intervalles, union et intersection

Exercice 5 — Compléter les écritures d'un intervalle

Exercice 6 — Union et intersection d'intervalles

Exercice 7 — Inéquations et systèmes d'inéquations

Exercice 8 — Opérations avancées sur les intervalles

Exercice 9 — Intervalle dépendant d'un paramètre

III – Valeur absolue et distance

Exercice 10 — Intervalle centré et valeur absolue

Exercice 11 — Valeur absolue vers intervalle

Exercice 12 — Extérieur d'un intervalle

Exercice 13 — Supprimer une valeur absolue

Exercice 14 — Équations avec valeur absolue

Exercice 15 — Inéquations avec valeur absolue

Exercice 16 — Deux contraintes de distance

IV – Distance sur la droite réelle

Exercice 17 — Distance entre des points

Exercice 18 — Équidistance

Exercice 19 — Distance maximale

Exercice 20 — Tolérances simultanées

V – Encadrements

Exercice 21 — Encadrer une racine carrée

Exercice 22 — Encadrement au centième

Exercice 23 — Encadrements et opérations

Exercice 24 — Entiers dans des intervalles à bornes irrationnelles

VI – Synthèses avancées

Exercice 25 — Ensembles, intervalle et valeur absolue

Exercice 26 — Intervalle mobile et inclusion

Exercice 27 — Problème de tolérance

Exercice 28 — Grand défi de synthèse

VII – Compléments ciblés Seconde

Exercice 29 — Nombres décimaux, rationnels et irrationalité

Exercice 30 — Défi final : intervalle mobile, séparation et tangence

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