1. \(0\) : c’est un entier naturel (on admet \(0\in\mathbb{N}\)).
   Donc le plus petit ensemble est \(\mathbb{N}\).
   Et comme \(0=\frac{0}{1}\), il est rationnel.
2. \(7\) : entier naturel ⇒ \(7\in\mathbb{N}\).
   Aussi \(7=\frac{7}{1}\) ⇒ rationnel.
3. \(-12\) : ce n’est pas naturel (car négatif) mais c’est un entier ⇒ \(-12\in\mathbb{Z}\).
   Et \(-12=\frac{-12}{1}\) ⇒ rationnel.
4. \(\frac{-5}{3}\) : c’est une fraction d’entiers, donc un rationnel ⇒ \(\in\mathbb{Q}\).
   Ce n’est pas entier car 3 ne divise pas 5.
5. \(1,25\) : décimal fini ⇒ rationnel.
   Conversion : \(1,25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\). Donc \(1,25\in\mathbb{Q}\).
6. \(\sqrt{49}\) : on calcule : \(\sqrt{49}=7\).
   Donc c’est dans \(\mathbb{N}\) et c’est rationnel.
7. \(\sqrt{2}\) : ce n’est pas une fraction d’entiers (irrationnel).
   Donc \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\).
8. \(\pi\) : nombre irrationnel.
   Donc \(\pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\).
9. \(-\sqrt{9}\) : \(\sqrt{9}=3\) donc \(-\sqrt{9}=-3\).
   Donc \(-3\in\mathbb{Z}\) (et rationnel).
10. \(\frac{22}{7}\) : fraction d’entiers ⇒ \(\in\mathbb{Q}\).
    Donc rationnel (même si c’est une approximation de \(\pi\), ce n’est pas \(\pi\)).

Étape 1 — Mettre sous une forme comparable.

• \(-\frac{7}{4}=-1,75\).
• \(\frac{1}{3}\approx 0,333...\).
• \(\sqrt{2}\approx 1,414\) et \(\sqrt{3}\approx 1,732\).

Étape 2 — Comparer les nombres négatifs.

Plus un nombre est négatif, plus il est petit.
On compare : \(-2\), \(-1,8\), \(-1,75\).
Donc \(-2 < -1,8 < -1,75\).

Étape 3 — Comparer les positifs.

\(0,3 < 0,333...\), donc \(0,3 < \frac{1}{3}\).
Puis \(\frac{1}{3} < \sqrt{2} < \sqrt{3}\).

Ordre croissant final :
\(-2 < -1,8 < -\frac{7}{4} < 0,3 < \frac{1}{3} < \sqrt{2} < \sqrt{3}\).

1) \(-3\le x<5\)

Borne gauche incluse (\(\le\)) → crochet ; borne droite exclue (\(<\)) → crochet ouvert.
Donc : \([-3 ; 5[\).

2) \(x>2\)

Tous les réels strictement supérieurs à 2 : \(]2 ; +\infty[\).

3) \(|x|<4\)

\(|x|\) est la distance à 0. Dire \(|x|<4\) signifie : “distance à 0 strictement inférieure à 4”.
Donc \(-4

4) \(|x-1|\ge 2\)

\(|x-1|\) est la distance entre \(x\) et 1.
Dire “distance ≥ 2” signifie : être à gauche de \(1-2\) ou à droite de \(1+2\).
Donc \(x\le -1\) ou \(x\ge 3\).
Ensemble : \(]-\infty ; -1] \cup [3 ; +\infty[\).

1) Intersection \([ -5 ; 2 ] \cap [ -1 ; 7 ]\)

Être dans le 1er intervalle impose \(-5\le x\le 2\).
Être dans le 2e impose \(-1\le x\le 7\).
Pour être dans les deux : il faut respecter les deux contraintes :
- borne gauche = la plus grande des deux : \(\max(-5,-1)=-1\)
- borne droite = la plus petite : \(\min(2,7)=2\)
Donc \([ -1 ; 2 ]\).

2) Union \([ -5 ; 2 ] \cup [ -1 ; 7 ]\)

Les intervalles se recouvrent (car \(-1\in[-5;2]\)).
L’union va du plus petit début au plus grand fin :
\([ -5 ; 7 ]\).

3) Intersection \(] -\infty ; 3[ \cap [ -2 ; +\infty[\)

1er : \(x<3\). 2e : \(x\ge -2\).
Donc ensemble commun : \(-2\le x<3\) soit \([ -2 ; 3[\).

4) Union \(] -\infty ; 3[ \cup [ -2 ; +\infty[\)

Le 1er couvre tout ce qui est < 3, le 2e couvre tout ce qui est ≥ -2.
Ensemble total : on couvre tous les réels, donc \(\mathbb{R}\) (ou \(]-\infty ; +\infty[\)).

1. Vrai. Tout naturel (0,1,2,3,…) est un entier. Donc \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
2. Faux. Par exemple \(-1\in\mathbb{Z}\) mais \(-1\notin\mathbb{N}\). Donc \(\mathbb{Z}\) n’est pas inclus dans \(\mathbb{N}\).
3. Faux. \(\frac{7}{2}=3,5\). Ce n’est pas un entier. Donc \(\frac{7}{2}\notin\mathbb{Z}\).
4. Vrai. \(]-\infty;-5]\) contient tous les réels \(x\) tels que \(x\le -5\). Or \(-5\le -5\), donc \(-5\) appartient.
5. Faux. \(]0;1[\) contient les réels strictement entre 0 et 1. Comme 0 n’est pas strictement supérieur à 0, il n’appartient pas.
6. Vrai. \(\sqrt{9}=3\) et \(3\in\mathbb{N}\).

Rappel. \(|a|\) est la distance de \(a\) à 0, donc :

• si \(a\ge 0\) alors \(|a|=a\)
• si \(a<0\) alors \(|a|=-a\)

1) \(|-12|\)

\(-12\) est négatif, donc \(|-12|=-(-12)=12\).

2) \(|4-11|\)

On calcule d’abord l’intérieur : \(4-11=-7\).
Puis \(|-7|=7\).

3) \(|-3,7|\)

\(-3,7\) est négatif donc \(|-3,7|=3,7\).

4) \(|2x|\) en fonction de \(|x|\)

Propriété : \(|ab|=|a|\cdot|b|\).
Donc \(|2x|=|2|\cdot|x|=2|x|\).

5) \(|x-5|\) pour \(x=2\) puis \(x=9\)

- Si \(x=2\) : \(|2-5|=|-3|=3\).
- Si \(x=9\) : \(|9-5|=|4|=4\).

1) \(d(-6,2)\)

\(d(-6,2)=|-6-2|=|-8|=8\).
Interprétation : entre -6 et 2 il y a 8 unités.

2) \(d(x,3)=5\)

\(d(x,3)=|x-3|\). Donc l’équation devient \(|x-3|=5\).
Deux cas :

• \(x-3=5\Rightarrow x=8\)
• \(x-3=-5\Rightarrow x=-2\)

Donc les solutions sont \(\{-2;8\}\).

3) \(d(x,-1)\le 4\)

\(d(x,-1)=|x-(-1)|=|x+1|\). On résout \(|x+1|\le 4\).
Propriété : \(|u|\le a \iff -a\le u\le a\).
Donc \(-4\le x+1\le 4\).
On soustrait 1 : \(-5\le x\le 3\).
Solutions : \([-5 ; 3]\).

1) \(|x-4|<2\)

\(|x-4|<2 \iff -2 < x-4 < 2\).
On ajoute 4 aux 3 membres : \(2 < x < 6\).
Donc solution : \(]2 ; 6[\).

2) \(|2x+1|\ge 3\)

\(|2x+1|\ge 3 \iff 2x+1\le -3\) ou \(2x+1\ge 3\).

Cas A : \(2x+1\le -3\) ⇒ \(2x\le -4\) ⇒ \(x\le -2\).
Cas B : \(2x+1\ge 3\) ⇒ \(2x\ge 2\) ⇒ \(x\ge 1\).

Donc solution : \(]-\infty ; -2] \cup [1 ; +\infty[\).

3) \(|x+2|\le 5\)

\(|x+2|\le 5 \iff -5\le x+2\le 5\).
On soustrait 2 : \(-7\le x\le 3\).
Solution : \([-7 ; 3]\).

1) Encadrer \(\sqrt{20}\)

On cherche deux carrés parfaits autour de 20 :
\(4^2=16\) et \(5^2=25\).
Comme \(16<20<25\), on en déduit : \(4<\sqrt{20}<5\).

2) Encadrer \(\sqrt{50}\) à 0,1 près

On teste des dixièmes autour de 7 :
\(7,0^2=49\).
\(7,1^2=50,41\) (car \(7,1^2=(71/10)^2=5041/100=50,41\)).
Or \(49<50<50,41\).
Donc \(7,0<\sqrt{50}<7,1\).

3) Encadrer \(|x-3|\) si \(x\in[1 ; 4]\)

On raisonne en distance : \(|x-3|\) est la distance de \(x\) au point 3.
Sur l’intervalle \([1 ; 4]\), le point le plus proche de 3 est \(x=3\) (distance 0).
Les points les plus éloignés sont les extrémités :
- pour \(x=1\) : \(|1-3|=2\)
- pour \(x=4\) : \(|4-3|=1\)
La distance maximale est donc 2 et la minimale est 0.
Donc \(|x-3|\in[0 ; 2]\).

1) \(|x-2|\le 5\)

\(|x-2|\le 5 \iff -5\le x-2\le 5\).
On ajoute 2 : \(-3\le x\le 7\).
Donc \(S_1=[-3 ; 7]\).

2) \(|x+1|>3\)

\(|x+1|>3 \iff x+1<-3\) ou \(x+1>3\).
- \(x+1<-3\Rightarrow x<-4\).
- \(x+1>3\Rightarrow x>2\).
Donc \(S_2=]-\infty ; -4[ \cup ]2 ; +\infty[\).

3) \(|2x-4|<6\)

\(|2x-4|<6\iff -6<2x-4<6\).
On ajoute 4 : \(-2<2x<10\).
On divise par 2 (positif, donc le sens ne change pas) : \(-1 Donc \(S_3=]-1 ; 5[\).

4) Calcul de \(S=S_1\cap S_3\)

\(S_1=[-3 ; 7]\) et \(S_3=]-1 ; 5[\).
L’intersection = ce qui est dans les deux.
Tout élément de \(]-1 ; 5[\) est bien entre -3 et 7, donc la partie commune est exactement :
\(S=]-1 ; 5[\).

5) Calcul de \(T=S_2\cup S_3\)

\(S_2=]-\infty ; -4[ \cup ]2 ; +\infty[\) et \(S_3=]-1 ; 5[\).
On fait l’union :
- la partie \(]-\infty ; -4[\) reste séparée (car il y a un “trou” entre -4 et -1).
- \(]2 ; +\infty[\) union \(]-1 ; 5[\) donne \(]-1 ; +\infty[\) (car \(]-1 ; 5[\) recouvre déjà jusqu’à 5 et l’autre continue au-delà de 2).
Donc \(T=]-\infty ; -4[ \cup ]-1 ; +\infty[\).