Exercices corrigés — Ensembles De Nombres Et Valeur Absolue (2nde)

Compléter par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\).

1. \(-7\ldots\mathbb N\)
2. \(-7\ldots\mathbb Z\)
3. \(3{,}25\ldots\mathbb D\)
4. \(\dfrac29\ldots\mathbb Q\)
5. \(\sqrt{49}\ldots\mathbb N\)
6. \(\sqrt7\ldots\mathbb Q\)
7. \(\mathbb N\ldots\mathbb Z\)
8. \(\mathbb Z\ldots\mathbb D\)
9. \(\mathbb D\ldots\mathbb Q\)
10. \(\mathbb Q\ldots\mathbb R\)
11. \(\mathbb R\ldots\mathbb Q\)
12. \(\mathbb Z\ldots\mathbb Q\)

Simplifier complètement puis donner le plus petit ensemble parmi \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R\).

1. \(A=\dfrac{18}{6}\)
2. \(B=-\sqrt{81}\)
3. \(C=\dfrac{17}{8}\)
4. \(D=\dfrac{7}{12}\)
5. \(E=\sqrt{50}-3\sqrt2\)
6. \(F=\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3}\)
7. \(G=(\sqrt7-\sqrt2)(\sqrt7+\sqrt2)\)
8. \(H=\sqrt{27}-\sqrt{12}\)

Sans poser les divisions, déterminer si chaque fraction représente un nombre décimal. Justifier par le dénominateur irréductible.

1. \(\dfrac7{2^6}\)
2. \(\dfrac{13}{5^8}\)
3. \(\dfrac{17}{2^3\times5^4}\)
4. \(\dfrac{11}{2^2\times3\times5}\)
5. \(\dfrac{23}{7\times5^3}\)
6. \(\dfrac{19}{2^7\times5^{12}}\)
7. \(\dfrac{14}{2^3\times5^2\times7}\)
8. \(\dfrac{21}{2^4\times3\times5^6}\)

Écrire chaque fraction sous la forme \(\dfrac{N}{10^k}\), avec \(N\in\mathbb Z\) et \(k\in\mathbb N\).

1. \(\dfrac3{5^7}\)
2. \(\dfrac6{4^5}\)
3. \(\dfrac7{2^8\times5^{12}}\)
4. \(\dfrac{13}{2^4\times5^9}\)
5. \(\dfrac9{2^{11}\times5^3}\)
6. \(\dfrac{17}{2^6\times5^6}\)

Réduire chaque expression au maximum.

1. \(A=\sqrt{72}-\sqrt{32}+\sqrt8\)
2. \(B=3\sqrt{50}-2\sqrt{18}-\sqrt8\)
3. \(C=\sqrt{108}+\sqrt{75}-\sqrt{12}\)
4. \(D=2\sqrt{147}-3\sqrt{48}\)
5. \(E=\sqrt{200}-\sqrt{98}-\sqrt8\)
6. \(F=5\sqrt{27}-2\sqrt{75}+\sqrt{12}\)

Montrer que chaque nombre est rationnel et déterminer sa fraction irréductible.

1. \(A=0{,}\overline3\)
2. \(B=2{,}\overline{34}\)
3. \(C=1{,}\overline{27}\)
4. \(D=5{,}\overline{123}\)
5. \(E=0{,}\overline{81}\)
6. \(F=7{,}\overline6\)

Transformer chaque développement décimal périodique en fraction irréductible.

1. \(A=4{,}2\overline{35}\)
2. \(B=21{,}3\overline{45}\)
3. \(C=0{,}12\overline7\)
4. \(D=5{,}08\overline{38}\)
5. \(E=3{,}17\overline{24}\)
6. \(F=7{,}003\overline{12}\)

Donner un exemple pour chaque condition et justifier en une phrase.

1. \(x\in\mathbb Z\setminus\mathbb N\)
2. \(x\in\mathbb D\setminus\mathbb Z\)
3. \(x\in\mathbb Q\setminus\mathbb D\)
4. \(x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\)
5. \(x\in\mathbb Q\setminus\mathbb D\) et \(2\lt x\lt3\)
6. \(x\notin\mathbb Q\) mais \(x^2\in\mathbb N\)
7. \(x\notin\mathbb Q\) et \(x+\sqrt2\in\mathbb Q\)
8. Trouver deux irrationnels non nuls dont le produit est rationnel.

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifier par une propriété ou un contre-exemple.

1. Tout nombre décimal est rationnel.
2. Tout nombre rationnel est décimal.
3. Si \(x\notin\mathbb Q\), alors \(x+1\notin\mathbb Q\).
4. Si \(x^2\in\mathbb Q\), alors \(x\in\mathbb Q\).
5. Le produit de deux irrationnels est toujours irrationnel.
6. Le quotient de deux irrationnels non nuls est toujours rationnel.
7. Une fraction irréductible est décimale si son dénominateur n'a que 2 et 5 comme facteurs premiers.
8. Tout développement décimal périodique représente un rationnel.

Pour les questions 1 à 6, expliquer l'erreur puis corriger. À la question 7, rédiger une démonstration par l'absurde.

1. \(\sqrt{12}=\sqrt9+\sqrt3\)
2. \(\sqrt2+\sqrt8=\sqrt{10}\)
3. \((\sqrt3+\sqrt2)^2=5\)
4. \(\sqrt{(-5)^2}=-5\)
5. \(2^{-3}=-8\)
6. \(\dfrac16\in\mathbb D\)
7. Démontrer par l'absurde que \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), en supposant \(\sqrt2=\dfrac pq\) avec \(p,q\in\mathbb N^*\) premiers entre eux.

Développer puis simplifier exactement.

1. \(A=(\sqrt5+\sqrt3)^2\)
2. \(B=(2\sqrt3-\sqrt6)^2\)
3. \(C=(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)\)
4. \(D=(3\sqrt2-2\sqrt6)^2\)
5. \(E=(\sqrt{12}+\sqrt{27})^2\)
6. \(F=(2\sqrt5-\sqrt{20})^2\)

Simplifier complètement.

1. \(A=\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt2}\)
2. \(B=\dfrac{\sqrt{75}+\sqrt{12}}{\sqrt3}\)
3. \(C=\dfrac{\sqrt{98}-\sqrt8}{\sqrt2}\)
4. \(D=\dfrac{\sqrt{45}-\sqrt{20}}{\sqrt5}\)
5. \(E=\dfrac{\sqrt{192}}{\sqrt3}\)
6. \(F=\dfrac{\sqrt{162}+\sqrt{32}}{\sqrt2}\)

Écrire chaque nombre sans racine au dénominateur.

1. \(\dfrac1{\sqrt2}\)
2. \(\dfrac3{\sqrt5}\)
3. \(\dfrac5{2\sqrt3}\)
4. \(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt7}\)
5. \(\dfrac4{\sqrt6}\)
6. \(\dfrac{3\sqrt5}{\sqrt2}\)

Rationaliser le dénominateur puis simplifier.

1. \(A=\dfrac1{2-\sqrt3}\)
2. \(B=\dfrac2{\sqrt5-1}\)
3. \(C=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\)
4. \(D=\dfrac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2}\)
5. \(E=\dfrac1{\sqrt6-\sqrt5}\)
6. \(F=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt2}{2\sqrt3-\sqrt2}\)

Simplifier sans développer les grandes puissances.

1. \(A=\dfrac{2^{52}+2^{50}}{5\times2^{49}}\)
2. \(B=\dfrac{3^{41}-3^{39}}{8\times3^{39}}\)
3. \(C=\dfrac{5^{32}+4\times5^{31}}{5^{31}}\)
4. \(D=\dfrac{7^{25}-7^{24}}{6\times7^{24}}\)
5. \(E=\dfrac{11^{18}+10\times11^{17}}{21\times11^{17}}\)
6. \(F=\dfrac{2^{101}+8^{33}}{10}\)

Pour \(n\in\mathbb N\), simplifier chaque expression.

1. \(A_n=\dfrac{2^{n+2}+2^{n+1}}{3\times2^n}\)
2. \(B_n=\dfrac{5^{n+2}-5^{n+1}}{4\times5^n}\)
3. \(C_n=\dfrac{9^{n+1}+9^n}{3^{2n+1}-3^{2n}}\)
4. \(D_n=\dfrac{4^{n+1}+2^{2n+1}}{3\times2^{2n}}\)
5. \(E_n=\dfrac{8^{n+1}-2^{3n}}{7\times2^{3n}}\)
6. \(F_n=\dfrac{16^{n+1}-4^{2n}}{15\times2^{4n}}\)

Simplifier sans calculatrice puis donner le plus petit ensemble.

1. \(A=\dfrac{2^7\times2^{-3}}{2^2}\)
2. \(B=\dfrac{(3^2)^4}{3^5}\)
3. \(C=5^{-2}\times25^2\)
4. \(D=10^7\times10^{-11}\)
5. \(E=\dfrac{(2^{-3})^2}{4^{-2}}\)
6. \(F=\dfrac{9^3\times3^{-4}}{27}\)

Comparer les nombres sans utiliser d'approximation décimale. Justifier.

1. \(\sqrt7\) et \(\dfrac83\)
2. \(3\sqrt2\) et \(\sqrt{19}\)
3. \(\sqrt5\) et \(\dfrac73\)
4. \(\sqrt{45}\) et \(2\sqrt{11}\)
5. \(\dfrac5{\sqrt2}\) et \(\sqrt{13}\)
6. \(\sqrt3+\sqrt2\) et \(3\)

Compléter le tableau. Pour chaque ligne, donner la notation d'intervalle, les inégalités correspondantes, une représentation sur une droite graduée et une phrase descriptive.

Compléter le tableau. Pour chaque ligne, calculer \(I\cup J\) et \(I\cap J\), puis représenter les ensembles obtenus sur une droite réelle.

1. Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes et donner les solutions sous forme d'intervalles.

1. \(5x+3\lt2x-6\)
2. \(\dfrac32x+\dfrac34\le4x+\dfrac{13}{4}\)
3. \(-3\lt2x-1\le5\)
4. \(3\le-4x+2\lt5\)

2. Résoudre dans \(\mathbb R\) les systèmes suivants et donner les solutions sous forme d'intervalles.

1. \(x\lt7\) et \(x\gt0\)
2. \(x\gt-3\) et \(x\gt2\)
3. \(-2\le x\lt5\) et \(2\le x\le4\)
4. \(-3\lt x\lt6\) et \(-7\le x\le3\)
5. \(-3x+1\lt-5+x\) et \(4x-2\lt2x+3\)

3. Résoudre dans \(\mathbb R\) les conditions suivantes avec « ou » et donner les solutions sous forme d'intervalles.

1. \(x\gt2\) ou \(x\le5\)
2. \(x\le-3\) ou \(x\gt2\)
3. \(2\lt x\lt5\) ou \(x\le4\)
4. \(-3\lt x\lt0\) ou \(-7\le x\le10\)
5. \(-3x+1\lt-5+x\) ou \(4x-2\le2x+3\)

On considère \(A=]-\infty;2]\), \(B=[-3;6[\) et \(C=]1;8]\). Déterminer :

1. \(A\cap B\)
2. \(B\cap C\)
3. \(A\cup C\)
4. \((A\cap B)\cup C\)
5. \(B\cap(A\cup C)\)
6. \(\mathbb R\setminus B\)
7. \((A\cup B)\cap C\)
8. \((B\setminus A)\cup(A\cap C)\)

On considère \(I_m=[m-2;m+3]\). Déterminer les valeurs réelles de \(m\) telles que :

1. \(0\in I_m\)
2. \(5\in I_m\)
3. \(I_m\subset[-4;8]\)
4. \([1;4]\subset I_m\)
5. \(I_m\cap[0;2]\ne\varnothing\)
6. \(I_m\cap]-\infty;1[=\varnothing\)

Écrire chaque intervalle sous la forme \( |x-a|\le r \) ou \( |x-a|\lt r \).

1. \(x\in[-4;6]\)
2. \(x\in]-3;7[\)
3. \(x\in[2;10]\)
4. \(x\in]-8;2[\)
5. \(x\in\left[-\dfrac32;\dfrac92\right]\)
6. \(x\in\left]-\dfrac54;\dfrac{11}{4}\right[\)

Résoudre dans \(\mathbb R\) et donner l'ensemble des solutions.

1. \(|x-4|=3\)
2. \(|2x+1|=5\)
3. \(|2x-3|=|x+4|\)
4. \(|3x+1|=2x+5\)
5. \(|x-3|\le4\)
6. \(|x+5|\lt2\)
7. \(|x-2|\ge5\)
8. \(|2x+1|\ge|x-5|\)

On considère les points \(A(-3)\), \(B(5)\) et \(C(\sqrt5)\). Répondre sans calculatrice.

1. Calculer la distance \(AB\).
2. Écrire puis simplifier la distance \(AC\).
3. Comparer \(AC\) et \(BC\).
4. Déterminer l'abscisse du milieu de \([AB]\).
5. Déterminer les points situés à distance 4 de \(A\).
6. Résoudre \(|x+2|=|x-6|\).
7. Résoudre \(\left|x-\dfrac14\right|=\left|x+\dfrac32\right|\).
8. Déterminer les réels plus proches de \(\dfrac52\) que de \(-\dfrac73\).

Sans calculatrice, encadrer d'abord entre deux entiers consécutifs puis entre deux dixièmes consécutifs.

1. \(\sqrt7\)
2. \(\sqrt{11}\)
3. \(\sqrt{19}\)
4. \(\sqrt{37}\)
5. \(\sqrt{52}\)
6. \(\sqrt{85}\)

1. Encadrements au centième. Déterminer deux centièmes consécutifs \(a\) et \(b\) tels que \(a\lt\sqrt n\lt b\), en justifiant par comparaison des carrés.

1. \(n=2\)
2. \(n=5\)
3. \(n=13\)
4. \(n=29\)

2. Opérations sur les encadrements. On sait que \(1{,}41\lt\sqrt2\lt1{,}42\) et \(1{,}73\lt\sqrt3\lt1{,}74\). En déduire un encadrement de :

1. \(\sqrt2+\sqrt3\)
2. \(2\sqrt3-\sqrt2\)
3. \(7-2\sqrt2-\sqrt3\)

Une pièce doit avoir une longueur de 25 mm avec une tolérance de 0,15 mm.

1. Traduire cette condition par une valeur absolue.
2. Donner l'intervalle correspondant à la première contrainte.

Une deuxième contrainte impose \( |x-25{,}1|\le0{,}08 \).

3. Donner l'intervalle correspondant à la deuxième contrainte.
4. Déterminer les longueurs satisfaisant simultanément les deux contraintes.
5. Calculer l'amplitude de l'intervalle final.
6. Déterminer son centre et son rayon.
7. Écrire l'intervalle final à l'aide d'une valeur absolue.

Résoudre en détaillant les transformations et en donnant le plus petit ensemble lorsque cela est demandé.

1. Montrer que \(x=12{,}347272727\ldots\) est rationnel puis déterminer sa fraction irréductible.
2. Sans effectuer la division, montrer que \(y=\dfrac{23}{2^{17}\times5^{38}}\) est décimal et l'écrire sous la forme \(N/10^k\).
3. Simplifier \(P=\dfrac{2^{101}+8^{33}}{10}\) puis le classer.
4. Simplifier puis classer \(R=\dfrac{\sqrt{200}-\sqrt{98}-\sqrt8}{\sqrt2}\).
5. On pose \(A=\{t\in\mathbb R\mid |t-2|\le5\}\). Écrire \(A\) sous forme d'intervalle.
6. Avec \(B=]-\infty;0[\cup]4;+\infty[\), calculer \(A\cap B\) puis \(\mathbb R\setminus(A\cap B)\).
7. Déterminer les réels \(m\) tels que \([m-1;m+1]\subset A\).
8. Déterminer les \(t\in A\) tels que \(|t-4|\ge2\), puis écrire la réponse comme réunion d'intervalles.