Exercices corrigés — Ensembles De Nombres Et Valeur Absolue (2nde)
✏️ Exercices — Algorithmique, Scratch & programmes de calcul
Thèmes : Scratch • programmes de calcul • tableur • fonctions • variables • boucles • géométrie algorithmique. Exercices strictement inspirés/adaptés des sujets Brevet APMEP 2024–2025.
Exercice 1 — Programme de calcul avec deux branches
3e BrevetConsigne. On choisit un nombre \(x\). On applique le programme suivant :
- Ajouter 2 puis multiplier le résultat par 4.
- D’un autre côté, multiplier \(x\) par 5 puis soustraire 3.
- Multiplier les deux résultats obtenus.
- Montrer que si \(x=2\), le résultat est \(112\).
- Calculer le résultat si \(x=-3\).
- Exprimer le résultat en fonction de \(x\).
- Trouver les nombres de départ qui donnent \(0\).
- Développer et réduire l’expression obtenue.
Exercice 2 — Scratch — Triangle équilatéral et variable côté
3e BrevetConsigne. Un programme Scratch trace une figure composée de deux triangles équilatéraux. Il utilise une variable appelée côté.
On considère que \(1\) pas représente \(1\) mm.
\[ \begin{array}{r l} 1. & \text{quand le drapeau vert est cliqué}\\ 2. & \text{aller à } x=-180,\ y=-150\\ 3. & \text{s’orienter à }90^\circ\\ 4. & \text{mettre côté à }\ldots\\ 5. & \text{triangle}\\ 6. & \text{tourner de }60^\circ\\ 7. & \text{avancer de }240\\ 8. & \text{mettre côté à }\dfrac{côté}{3}\\ 9. & \text{triangle} \end{array} \]Le bloc triangle répète 3 fois : avancer de \(côté\) pas puis tourner de \(120^\circ\).
- Donner les coordonnées du point de départ du lutin.
- Donner la valeur à saisir ligne 4.
- Expliquer pourquoi on tourne de \(120^\circ\).
- Déterminer la longueur du côté du deuxième triangle.
Exercice 3 — Géométrie associée au programme Scratch
3e BrevetConsigne. Dans la figure associée au programme précédent, les points \(A\), \(C\), \(E\) sont alignés et les points \(B\), \(C\), \(D\) sont alignés.
On sait que :
\[ AB=240\text{ mm} \qquad \text{et} \qquad CE=80\text{ mm} \]Le triangle \(ABC\) est équilatéral.
- Déterminer \(AC\).
- Déterminer le coefficient de réduction entre le grand triangle et le petit triangle.
- Expliquer pourquoi le programme utilise \(côté/3\).
Exercice 4 — Programme de calcul — Produit de deux expressions
3e BrevetConsigne. On choisit un nombre \(x\). On soustrait 2 dans une branche, on ajoute 1 dans une autre branche, puis on multiplie les deux résultats.
- Montrer qu’en choisissant \(5\), le résultat est \(18\).
- Calculer le résultat pour \(x=-\frac32\).
- Montrer que le résultat est \((x-2)(x+1)\).
- Développer et réduire.
- Résoudre \((x-2)(x+1)=0\).
Exercice 5 — Tableur et fonctions
3e BrevetConsigne. On considère les fonctions :
\[ f(x)=(x+2)^2-x \qquad \text{et} \qquad g(x)=7x+4 \]- Calculer \(f(-4)\).
- Déterminer un antécédent de \(3\) par \(g\).
- Donner une formule de tableur pour calculer \(g(x)\) si \(x\) est dans la cellule B1.
- Expliquer comment utiliser un tableur pour chercher les solutions de \(f(x)=g(x)\).
Exercice 6 — Programme \(x^2-3x-4\) et script Scratch
3e BrevetConsigne. On choisit un nombre \(x\), on le met au carré, on soustrait le triple du nombre de départ, puis on soustrait 4.
- Montrer que pour \(x=5\), le résultat est \(6\).
- Exprimer le résultat en fonction de \(x\).
- Vérifier que \(x^2-3x-4=(x+1)(x-4)\).
- Déterminer les nombres qui donnent \(0\).
- Compléter mentalement le script Scratch correspondant.
Exercice 7 — Pentagone régulier avec Scratch
3e BrevetConsigne. On veut compléter un bloc Scratch qui trace un pentagone régulier. La variable longueur représente la longueur du côté.
\[ \begin{array}{l} \text{définir pentagone}\\ \text{stylo en position d’écriture}\\ \text{répéter }\ldots\text{ fois :}\\ \quad \text{avancer de longueur pas}\\ \quad \text{tourner de }\ldots^\circ\\ \text{relever le stylo} \end{array} \]- Combien de fois faut-il répéter ?
- Quel angle de rotation faut-il utiliser ?
- Justifier avec la somme des angles extérieurs.
Exercice 8 — Tableur avec \(f(x)=x^2+10x+16\)
3e BrevetConsigne. On considère la fonction :
\[ f(x)=x^2+10x+16 \]- Vérifier que l’image de \(6\) est \(112\).
- Donner une formule de tableur pour calculer \(f(x)\) si \(x\) est en cellule B1.
- Déterminer un antécédent de \(0\) visible grâce à la factorisation.
Exercice 9 — Tableur avec deux fonctions
3e BrevetConsigne. On considère :
\[ f(x)=x^2-x-6 \qquad \text{et} \qquad g(x)=-2x \]- Montrer que l’image de \(5\) par \(f\) est \(14\).
- Déterminer l’antécédent de \(4\) par \(g\).
- Donner une formule de tableur pour \(f(x)\) si \(x\) est en B1.
- Résoudre \(f(x)=0\).
Exercice 10 — Programme donnant une fonction affine
3e BrevetConsigne. On choisit un nombre \(x\). On le multiplie par \(-2\), on ajoute 4, puis on multiplie le résultat par 4.
- Montrer que si \(x=1\), le résultat est \(8\).
- Calculer le résultat si \(x=-2\).
- Montrer que le résultat s’écrit \(-8x+16\).
- Résoudre \(-8x+16=4\).
Exercice 11 — Programme de Zoé
3e BrevetConsigne. Zoé propose le programme suivant :
\[ \begin{array}{l} \text{Choisir un nombre}\\ \text{Soustraire }4\\ \text{Multiplier par }2\\ \text{Ajouter }8 \end{array} \]- Vérifier que si on choisit \(10\), on obtient \(20\).
- Calculer le résultat pour \(-7\).
- Zoé affirme que le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?
Exercice 12 — Programme Scratch de Fred
3e BrevetConsigne. Fred utilise le programme Scratch suivant :
\[ \begin{array}{l} \text{demander un nombre}\\ \text{mettre résultat à réponse}\times4\\ \text{mettre résultat à résultat}+10\\ \text{mettre résultat à résultat}\times5\\ \text{dire résultat} \end{array} \]- Démontrer que le résultat est \(20x+50\).
- Quel nombre faut-il choisir pour obtenir \(75\) ?
Exercice 13 — Programme \((x+4)(x-2)-x^2\)
3e BrevetConsigne. On choisit un nombre \(x\). On ajoute 4 dans une branche, on soustrait 2 dans l’autre, on multiplie les deux résultats, puis on soustrait le carré du nombre de départ.
- Montrer que si \(x=5\), le résultat est \(2\).
- Écrire l’expression du résultat.
- Montrer qu’elle se réduit à \(2x-8\).
- Trouver le nombre de départ qui donne \(100\).
Exercice 14 — Fonction affine \(f(x)=2x-8\)
3e BrevetConsigne. On considère la fonction :
\[ f(x)=2x-8 \]- Déterminer l’image de \(4\).
- Résoudre \(f(x)=0\).
- Expliquer pourquoi la représentation graphique est une droite croissante.
- Donner l’ordonnée à l’origine.
Exercice 15 — Simulation Scratch de deux dés à 12 faces
3e BrevetConsigne. Un bloc Scratch simule le lancer de deux dés équilibrés à 12 faces. Il doit calculer la somme obtenue.
\[ \begin{array}{l} \text{définir Lancer}\\ \text{mettre Dé 1 à nombre aléatoire entre }1\text{ et }\ldots\\ \text{mettre Dé 2 à nombre aléatoire entre }\ldots\text{ et }12\\ \text{mettre Résultat à }\ldots+\ldots \end{array} \]- Compléter les trois lignes.
- Si Dé 1 vaut \(8\) et Dé 2 vaut \(3\), quel est le résultat ?
- Le programme affiche “Gagné” si \(Résultat>6\). Que se passe-t-il ici ?
Exercice 16 — Hexagone régulier avec Scratch
3e BrevetConsigne. On veut tracer un hexagone régulier de côté \(5\) cm. Le programme prend \(10\) pas pour \(1\) cm.
\[ \begin{array}{l} \text{définir hexagone ABCDEF}\\ \text{stylo en position d’écriture}\\ \text{répéter }\ldots\text{ fois :}\\ \quad \text{avancer de }\ldots\text{ pas}\\ \quad \text{tourner de }\ldots^\circ\\ \text{relever le stylo} \end{array} \]- Compléter le nombre de répétitions.
- Compléter le nombre de pas.
- Compléter l’angle de rotation.
Exercice 17 — Rectangle avec Scratch
3e BrevetConsigne. On veut compléter un bloc Scratch permettant de dessiner un rectangle. Le lutin est orienté vers la droite et \(1\) pas correspond à \(1\) cm.
\[ \begin{array}{l} \text{définir Rectangle}\\ \text{stylo en position d’écriture}\\ \text{répéter }\ldots\text{ fois :}\\ \quad \text{avancer de }60\text{ pas}\\ \quad \text{tourner de }\ldots^\circ\\ \quad \text{avancer de }\ldots\text{ pas}\\ \quad \text{tourner de }90^\circ\\ \text{relever le stylo} \end{array} \]- Combien de répétitions faut-il ?
- Quel angle faut-il mettre à la première rotation ?
- Quelle longueur complète le deuxième déplacement si le rectangle mesure \(60\) cm par \(20\) cm ?
Exercice 18 — Associer scripts Scratch et figures
3e BrevetConsigne. On considère trois scripts qui répètent 3 fois :
- Script 1 : avancer \(100\) pas puis tourner de \(60^\circ\).
- Script 2 : avancer \(100\) pas puis tourner de \(90^\circ\).
- Script 3 : avancer \(100\) pas puis tourner de \(120^\circ\).
- Quel script trace un triangle équilatéral ?
- Quel script produit un tracé avec trois angles droits successifs ?
- Quel script ne ferme pas un triangle équilatéral ?
Exercice 19 — Suite d’instructions Scratch et longueur totale
3e BrevetConsigne. Un script commande la construction d’une figure avec les instructions suivantes :
\[ \begin{array}{l} \text{avancer de }20\text{ pas}\\ \text{tourner de }90^\circ\\ \text{avancer de }40\text{ pas}\\ \text{tourner de }90^\circ\\ \text{avancer de }60\text{ pas}\\ \text{tourner de }90^\circ\\ \text{avancer de }80\text{ pas}\\ \text{tourner de }90^\circ \end{array} \]- Combien de segments sont tracés ?
- Quelle est la longueur totale tracée ?
- Quelle régularité observe-t-on dans les longueurs ?
Exercice 20 — Bloc triangle équilatéral et changement d’échelle
3e BrevetConsigne. On veut créer un bloc triangle qui dessine un triangle équilatéral de côté variable.
\[ \begin{array}{l} \text{définir triangle}\\ \text{stylo en position d’écriture}\\ \text{répéter }\ldots\text{ fois :}\\ \quad \text{avancer de côté pas}\\ \quad \text{tourner de }\ldots^\circ \end{array} \]- Compléter le nombre de répétitions.
- Compléter l’angle de rotation.
- Si \(côté=20\) pas et que \(10\) pas représentent \(1\) cm, quelle est la longueur du côté en cm ?
- Si on remplace ensuite \(côté\) par \(2\times côté\), quelle devient la longueur en pas ?