Fiche de révision — Ensembles de nombres & valeur absolue
Ultra-synthèse : définitions + formules + méthodes + pièges (niveau 2nde).
ℕ ℤ ℚ ℝ
Intervalles
∪ / ∩
|x| & distance
Encadrements
1) Ensembles \(\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R\)
\[
\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R
\]
| Ensemble | Définition | Exemples |
|---|---|---|
| \(\mathbb N\) | \(0,1,2,3,\dots\) | \(15\in\mathbb N\) |
| \(\mathbb Z\) | \(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\) | \(-6\in\mathbb Z\), mais \(-6\notin\mathbb N\) |
| \(\mathbb Q\) | \(\frac pq\) avec \(p\in\mathbb Z\), \(q\in\mathbb Z\setminus\{0\}\) | \(0{,}125=\frac18\in\mathbb Q\), \(0{,}\overline{3}=\frac13\in\mathbb Q\) |
| \(\mathbb R\) | tous les réels (droite réelle) | \(\sqrt2\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\) |
Notation
- \(x\in A\) : appartient • \(x\notin A\) : n’appartient pas
- \(A\subset B\) : inclusion • \(A\setminus B\) : “dans \(A\) mais pas dans \(B\)”
2) Intervalles (notation FR : \([a;b]\))
| Intervalle | Inégalités équivalentes | Lecture |
|---|---|---|
| \([a;b]\) | \(a\le x\le b\) | avec \(a\) et \(b\) |
| \(]a;b[\) | \(a| sans \(a\) ni \(b\) |
|
| \([a;b[\) | \(a\le x| avec \(a\), sans \(b\) |
|
| \(]a;b]\) | \(a| sans \(a\), avec \(b\) |
|
| \(]-\infty;a[\) | \(x| inférieurs à \(a\) |
|
| \([a;+\infty[\) | \(x\ge a\) | supérieurs ou égaux à \(a\) |
Règle \(\pm\infty\)
- On ne met jamais \(\pm\infty\) “fermé” : c’est toujours ouvert.
- Ex : \(]-\infty;3[\) et \([2;+\infty[\).
3) Union \(\cup\) et intersection \(\cap\)
Définitions
\[
x\in A\cup B \iff (x\in A)\ \text{ou}\ (x\in B)
\]
\[
x\in A\cap B \iff (x\in A)\ \text{et}\ (x\in B)
\]
Réflexes
- Intersection : garder la partie commune.
- Union : réunir ; si ça se recouvre → on fusionne.
Exemples
- \([1;4]\cap[3;7]=[3;4]\)
- \([1;4]\cup[3;7]=[1;7]\)
- \([1;2]\cap[3;4]=\varnothing\)
- \([1;2]\cup[3;4]=[1;2]\cup[3;4]\)
4) Valeur absolue \(|x|\) : définition & propriétés
Définition
\[
|x|=\begin{cases}
x & \text{si } x\ge 0\\
-x & \text{si } x<0
\end{cases}
\]
- \(|x|\ge 0\) • \(|x|=0\iff x=0\)
- \(|-x|=|x|\)
Propriétés
- \(|xy|=|x||y|\)
- \(\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}\) (si \(y\ne 0\))
- \(|x+y|\le |x|+|y|\)
Sens (à retenir)
- \(|x|\) = distance entre \(x\) et \(0\).
- \(|x-a|\) = distance entre \(x\) et \(a\).
5) Distance & encadrements (formules clés)
Distance sur \(\mathbb R\)
\[
d(a;b)=|a-b|
\]
- \(d(a;b)\ge 0\), \(d(a;b)=0\iff a=b\)
- \(d(a;b)=d(b;a)\)
Encadrements (traductions)
\[
|x-a|\le r \iff a-r\le x\le a+r
\]
\[
|x-a|< r \iff a-r< x< a+r
\]
\[
|x-a|\ge r \iff x\le a-r\ \text{ou}\ x\ge a+r
\]
En intervalles (direct)
- \(|x-a|\le r \iff x\in[a-r;a+r]\)
- \(|x-a|< r \iff x\in]a-r;a+r[\)
- \(|x-a|\ge r \iff x\in]-\infty;a-r]\cup[a+r;+\infty[\)
Équation \(|u|=k\)
- Si \(k<0\) : aucune solution.
- Si \(k\ge 0\) : \(|u|=k \iff u=k\ \text{ou}\ u=-k\).
Mini entraînement (2 minutes)
À faire
- Écrire sous forme d’intervalle : \(2\le x<6\).
- Résoudre : \(|x-3|\le 2\).
- Calculer : \(d(-4;5)\).
- Donner \([1;4]\cap]-\infty;2]\).
Réponses
\[
2\le x<6 \iff x\in[2;6[
\]
\[
|x-3|\le 2 \iff 1\le x\le 5 \iff x\in[1;5]
\]
\[
d(-4;5)=|-4-5|=9
\]
\[
[1;4]\cap]-\infty;2]=[1;2]
\]