Quiz — Ensembles de nombres et valeur absolue
20 questions — \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\), intervalles, union/intersection, complémentaire, valeur absolue, distance, encadrements.
Niveau : 18–20/20
2nde
Quiz — Ensembles de nombres et valeur absolue
20 questions — \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\), intervalles, union/intersection, complémentaire, valeur absolue, distance, encadrements.
Q1. Quel ensemble contient \(\sqrt2\) ?
Non vérifié
Indice
Un rationnel s’écrit \(\frac{p}{q}\) avec \(p,q\in\mathbb{Z}\).
Correction
On sait que \(\sqrt2\) est irrationnel (preuve classique par l’absurde). Donc \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\) mais \(\sqrt2\in\mathbb{R}\). Conclusion : \(\sqrt2\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\).
Q2. Avec la convention lycée \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\), quelle proposition est vraie ?
Non vérifié
Indice
Ici, \(\mathbb{N}\) commence à 0.
Correction
\(\mathbb{N}\) contient uniquement des entiers naturels \(0,1,2,\dots\). Donc \(0\in\mathbb{N}\) et les autres propositions sont fausses.
Q3. Calculer : \([ -2 ; 4]\cap]1 ; 6[\).
Non vérifié
Indice
Intersection : satisfaire les deux conditions en même temps.
Correction
\([ -2 ; 4]\) impose \(-2\le x\le4\) et \(]1 ; 6[\) impose \(1
Q4. Calculer : \(]-\infty ; 2]\cup[5 ; +\infty[\).
Non vérifié
Indice
Les deux morceaux sont séparés : il y a un “trou”.
Correction
Le premier intervalle s’arrête à 2, le second commence à 5 : on ne peut pas fusionner en un seul intervalle car \(]2 ; 5[\) n’est pas inclus. La forme correcte reste \(]-\infty ; 2]\cup[5 ; +\infty[\).
Q5. Dans \(\mathbb{R}\), le complémentaire de \([2 ; 5[\) est :
Non vérifié
Indice
2 est inclus dans \([2;5[\), mais 5 ne l’est pas.
Correction
On retire les \(x\) tels que \(2\le x<5\). Il reste \(x<2\) ou \(x\ge5\). Donc \(]-\infty ; 2[\cup[5 ; +\infty[\).
Q6. Résoudre \(|x-3|=2\).
Non vérifié
Indice
Deux cas : \(x-3=2\) ou \(x-3=-2\).
Correction
\(|x-3|=2\iff x-3=2\) ou \(x-3=-2\). Donc \(x=5\) ou \(x=1\). Ensemble : \(\{1 ; 5\}\).
Q7. Résoudre \(|x+1|\le3\).
Non vérifié
Indice
Traduire en double inégalité : \(-3\le x+1\le3\).
Correction
\(|x+1|\le3\iff -3\le x+1\le3\iff -4\le x\le2\). Donc \([-4 ; 2]\).
Q8. Calculer la distance entre \(-2\) et \(5\).
Non vérifié
Indice
Distance sur \(\mathbb{R}\) : \(|a-b|\).
Correction
Distance : \(d(-2,5)=|-2-5|=|-7|=7\).
Q9. Résoudre \(|x-4|<0{,}5\).
Non vérifié
Indice
Ici c’est strict : les bornes ne sont pas incluses.
Correction
\(|x-4|<0{,}5\iff -0{,}5
Q10. Si \(x\in[1 ; 4]\), alors \(|x-2|\) appartient à :
Non vérifié
Indice
Pense “distance à 2” quand \(x\) parcourt \([1 ; 4]\).
Correction
Minimum à \(x=2\) : \(|x-2|=0\). Maximum à \(x=4\) : \(|4-2|=2\). Donc \(|x-2|\in[0 ; 2]\).
Q11. Quelles affirmations sont vraies ?
Non vérifié
Indice
\(0{,}125=\frac18\) et \(-\sqrt{16}=-4\).
Correction
Vrai : \(\sqrt9=3\in\mathbb{N}\), \(-\sqrt{16}=-4\in\mathbb{Z}\), \(0{,}125=\frac18\in\mathbb{Q}\). Faux : \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\).
Q12. Quelles écritures décrivent exactement \(]-\infty ; 2[\cup[5 ; +\infty[\) ?
Non vérifié
Indice
Attention aux bornes : 2 exclu, 5 inclus.
Correction
La description correcte est \(x<2\) ou \(x\ge5\). Équivalent : \(\mathbb{R}\setminus[2 ; 5[\). Les autres ont une borne fausse.
Q13. Soit \(A=[-3 ; 2]\) et \(B=]0 ; 5]\). Quelles propositions sont vraies ?
Non vérifié
Indice
Intersection = commun ; union = tout (les intervalles se recouvrent).
Correction
Intersection : \([-3;2]\) et \(]0;5]\) → \(]0 ; 2]\). Union : recouvrement sur \(]0;2]\) ⇒ un seul intervalle \([-3 ; 5]\).
Q14. Quelles égalités sont vraies pour tout réel \(x,y\) ?
Non vérifié
Indice
\(|x+y|\le|x|+|y|\) : c’est une inégalité, pas une égalité générale.
Correction
Vrai : \(|x|=\sqrt{x^2}\), \(|x-3|=|3-x|\), \(|-x|=|x|\). Faux en général : \(|x+y|=|x|+|y|\) (vrai seulement dans certains cas).
Q15. Donner \(\mathbb{N}\cap]-\infty ; 0[\).
Non vérifié
Indice
\(\mathbb{N}\) (convention lycée) contient 0 mais aucun négatif.
Correction
Aucun naturel strictement négatif ⇒ intersection vide : \(\varnothing\).
Q16. Résoudre \(|x-2|=5\). (réponse sous forme d’ensemble)
Non vérifié
Indice
Deux cas : \(x-2=5\) ou \(x-2=-5\).
Correction
\(|x-2|=5\iff x=7\) ou \(x=-3\). Donc \(\{-3 ; 7\}\).
Q17. Résoudre \(|x+4|<3\). (réponse en intervalle)
Non vérifié
Indice
Traduire : \(-3
Correction
\(-3
Q18. Résoudre \(|x-1|\le2\). (réponse en intervalle)
Non vérifié
Indice
Traduire : \(-2\le x-1\le2\).
Correction
\(-2\le x-1\le2\iff -1\le x\le3\). Donc \([-1 ; 3]\).
Q19. Calculer \(d\left(\frac32; -\frac52\right)\).
Non vérifié
Indice
Distance : \(|a-b|\).
Correction
\(\left|\frac32-\left(-\frac52\right)\right|=\left|\frac{3+5}{2}\right|=\left|\frac82\right|=4\).
Q20. Donner le milieu \(M\) de \(A(1; -2; 3)\) et \(B(5; 4; -1)\).
Non vérifié
Indice
Moyenne coordonnée par coordonnée.
Correction
Milieu : \(M\left(\frac{1+5}{2};\frac{-2+4}{2};\frac{3+(-1)}{2}\right)=(3;1;1)\).
Clavier