Cours — Ensembles de nombres & valeur absolue
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ • droite réelle • intervalles • union/intersection • valeur absolue • distance • encadrements.
Ensembles ℕ ℤ ℚ ℝ
Droite réelle
Intervalles
∪ / ∩
Valeur absolue
Distance
Encadrements
Exemples-types
À connaître (réflexes)
- \(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R\)
- \([a;b]\iff a\le x\le b\), \(\;]a;b[\iff a
- \(|x|=\begin{cases}x & \text{si } x\ge 0\\-x & \text{si } x<0\end{cases}\)
- \(d(a;b)=|a-b|\) (distance sur la droite réelle)
- \(|x-a|\le r \iff x\in[a-r;a+r]\)
- \(|x-a|\ge r \iff x\in]-\infty;a-r]\cup[a+r;+\infty[\)
Pièges fréquents
- \(\pm\infty\) : extrémités toujours ouvertes (\(]-\infty;a[\), \([a;+\infty[\)).
- \(|x-a|\ge r\) donne une union de deux intervalles (pas un seul).
- \(|u|=k\) : si \(k<0\), aucune solution.
- \(\mathbb Q\) : fraction \(\frac pq\) avec \(q\ne 0\). Décimal fini/périodique ⇒ rationnel.
1) Ensembles de nombres : \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R\)
| Ensemble | Définition | Exemples |
|---|---|---|
| \(\mathbb N\) | Nombres naturels : \(0,1,2,3,\dots\) | \(12\in\mathbb N\). (Ici, on inclut \(0\).) |
| \(\mathbb Z\) | Nombres entiers relatifs : \(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\) | \(-7\in\mathbb Z\) mais \(-7\notin\mathbb N\). |
| \(\mathbb Q\) | Nombres rationnels : \(\frac pq\) avec \(p\in\mathbb Z\), \(q\in\mathbb Z\setminus\{0\}\) | \(0{,}125=\frac18\in\mathbb Q\). \(0{,}\overline{3}=\frac13\in\mathbb Q\). |
| \(\mathbb R\) | Nombres réels (tous les nombres de la droite réelle) | \(\sqrt2\in\mathbb R\) et \(\sqrt2\notin\mathbb Q\). |
Notations d’appartenance
- \(x\in A\) : “\(x\) appartient à \(A\)”.
- \(x\notin A\) : “\(x\) n’appartient pas à \(A\)”.
- \(A\subset B\) : “tout élément de \(A\) est dans \(B\)”.
\[
\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R
\]
🧠 Exemple (classer des nombres)
- \(-5\in\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\)
- \(\frac{7}{3}\in\mathbb Q\subset\mathbb R\)
- \(0{,}\overline{12}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}\in\mathbb Q\)
- \(\sqrt5\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\)
2) Droite réelle : ordre et comparaison
Comparer
- \(a
- \(a\le b\) signifie : \(a
Opérations sur une inégalité
- Si \(a
- Si \(a
- Si \(a
- Si \(a
Piège (multiplication par un négatif)
\[
-2<5 \quad\Rightarrow\quad (-3)\times(-2) > (-3)\times 5
\]
3) Intervalles de \(\mathbb R\)
| Écriture | Inégalités équivalentes | Lecture |
|---|---|---|
| \([a;b]\) | \(a\le x\le b\) | de \(a\) à \(b\) avec les bornes |
| \(]a;b[\) | \(a| entre \(a\) et \(b\) sans les bornes |
|
| \([a;b[\) | \(a\le x| avec \(a\), sans \(b\) |
|
| \(]a;b]\) | \(a| sans \(a\), avec \(b\) |
|
| \(]-\infty;a[\) | \(x| tous les réels strictement inférieurs à \(a\) |
|
| \(]-\infty;a]\) | \(x\le a\) | tous les réels inférieurs ou égaux à \(a\) |
| \([a;+\infty[\) | \(x\ge a\) | tous les réels supérieurs ou égaux à \(a\) |
| \(]a;+\infty[\) | \(x>a\) | tous les réels strictement supérieurs à \(a\) |
Astuce “crochet”
- \([ \;\) ou \(\; ]\) : borne incluse.
- \(] \;\) ou \(\; [\) : borne non incluse.
- Avec \(\pm\infty\), c’est toujours ouvert.
4) Union \(\cup\) et intersection \(\cap\)
Définitions
\[
x\in A\cup B \iff (x\in A)\ \text{ou}\ (x\in B)
\]
\[
x\in A\cap B \iff (x\in A)\ \text{et}\ (x\in B)
\]
Réflexes sur les intervalles
- Intersection : partie commune → bornes “les plus serrées”.
- Union : on réunit → si ça se recouvre, on fusionne ; sinon on garde “\(\cup\)”.
✅ Exemples rapides
- \([1;4]\cap[3;7]=[3;4]\)
- \([1;4]\cup[3;7]=[1;7]\)
- \([1;2]\cap[3;4]=\varnothing\)
- \([1;2]\cup[3;4]=[1;2]\cup[3;4]\) (pas de fusion)
5) Valeur absolue : définition et sens
Définition
\[
|x|=\begin{cases}
x & \text{si } x\ge 0\\
-x & \text{si } x<0
\end{cases}
\]
- \(|x|\ge 0\) toujours.
- \(|x|=0 \iff x=0\).
- \(|-x|=|x|\).
Interprétation
- \(|x|\) = distance de \(x\) à \(0\) sur la droite réelle.
- \(|x-a|\) = distance entre \(x\) et \(a\).
Propriétés utiles
- \(|xy|=|x|\cdot|y|\)
- \(\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}\) (si \(y\ne 0\))
- \(|x+y|\le |x|+|y|\) (inégalité triangulaire)
- \(\big||x|-|y|\big|\le |x-y|\)
6) Distance sur la droite réelle
Définition
\[
d(a;b)=|a-b|
\]
- \(d(a;b)\ge 0\), \(d(a;b)=0 \iff a=b\)
- \(d(a;b)=d(b;a)\)
Exemples
- \(d(2;7)=|2-7|=5\)
- \(d(-3;4)=|-3-4|=7\)
- \(d(x;5)=|x-5|\)
Traduction “distance”
- \(|x-a|\le r\) : \(x\) est à une distance au plus \(r\) de \(a\) (zone autour de \(a\)).
- \(|x-a|\ge r\) : \(x\) est à une distance au moins \(r\) de \(a\) (en dehors).
7) Encadrements avec la valeur absolue
Formes standards
\[
|x-a|\le r \iff a-r\le x\le a+r
\]
\[
|x-a|< r \iff a-r< x< a+r
\]
\[
|x-a|\ge r \iff x\le a-r\ \text{ou}\ x\ge a+r
\]
En intervalles (notation FR)
- \(|x-a|\le r \iff x\in[a-r;a+r]\)
- \(|x-a|< r \iff x\in]a-r;a+r[\)
- \(|x-a|\ge r \iff x\in]-\infty;a-r]\cup[a+r;+\infty[\)
Méthode ultra fiable
- Transformer \(|u|\le r\) en double inégalité : \(-r\le u\le r\).
- Isoler \(x\) en appliquant les mêmes opérations aux 3 membres (attention au signe si on divise par un négatif).
🧩 Exemple guidé — \(|2x+1|<5\)
\[
|2x+1|<5 \iff -5<2x+1<5
\]
\[
\iff -6<2x<4 \iff -3
8) Exemples-types (à refaire)
Type A — \(|x-a|\le r\)
\[
|x-4|\le 3 \iff 1\le x\le 7 \iff x\in[1;7]
\]
Type B — \(|x-a|\ge r\)
\[
|x+2|\ge 4 \iff x\le -6\ \text{ou}\ x\ge 2
\]
\[
\iff x\in]-\infty;-6]\cup[2;+\infty[
\]
Équations avec valeur absolue
- Si \(k<0\), \(|u|=k\) n’a pas de solution.
- Si \(k\ge 0\), \(|u|=k \iff u=k\ \text{ou}\ u=-k\).
\[
|x-1|=3 \iff x=4\ \text{ou}\ x=-2
\]
Synthèse (1 minute)
Ensembles / intervalles
- \(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R\)
- \([a;b]\iff a\le x\le b\), \(\;]a;b[\iff a
- \(A\cup B\) : “ou” • \(A\cap B\) : “et”
Valeur absolue / distance
- \(|x|\) = distance \((x;0)\)
- \(d(a;b)=|a-b|\)
- \(|x-a|\le r \iff x\in[a-r;a+r]\)
- \(|x-a|\ge r \iff x\in]-\infty;a-r]\cup[a+r;+\infty[\)