Exercices corrigés — Calcul Numérique Et Arithmétique (2nde)

a) Méthode : simplifier séparément le numérateur et le dénominateur. Calcul : le numérateur vaut \(\dfrac52+1=\dfrac72\). Le dénominateur vaut \(2+\dfrac12+\dfrac23=\dfrac{19}{6}\). Donc \(\dfrac72\div\dfrac{19}{6}=\dfrac{21}{19}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{21}{19}}\).

b) Méthode : réduire chaque ligne au même dénominateur. Calcul : le numérateur vaut \(-\dfrac13\) et le dénominateur vaut \(3\). Le quotient est donc \(-\dfrac13\div3=-\dfrac19\). Conclusion : \(\boxed{-\dfrac19}\).

c) Pour Q31, le numérateur vaut \(\dfrac72\) et le dénominateur \(\dfrac{19}{6}\). Donc \(\dfrac72\div\dfrac{19}{6}=\dfrac72\times\dfrac6{19}=\dfrac{21}{19}\).

d) Les parenthèses fixent la structure. Par exemple \((a\div b)\div c\neq a\div(b\div c)\) en général. On calcule donc les sous-expressions internes, puis les quotients successifs.

a) Méthode : écrire tous les termes avec la même puissance de \(10\). Calcul : \(21\times10^{-4}=2{,}1\times10^{-3}\) et \(0{,}0001=0{,}1\times10^{-3}\). Donc \((2{,}1-1{,}1-0{,}1)\times10^{-3}=0{,}9\times10^{-3}=9\times10^{-4}\). Conclusion : \(\boxed{9\times10^{-4}}\).

b) Méthode : traiter séparément les coefficients et les puissances de \(10\). Calcul : le numérateur vaut \(18\times8\times10^5=144\times10^5\). Le dénominateur vaut \(9\times10^8\times10^{-2}=9\times10^6\). Le quotient vaut \(16\times10^{-1}=\dfrac85\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac85}\).

c) On obtient d’abord \(0{,}9\times10^{-3}\). Comme le coefficient doit appartenir à \([1;10[\), on écrit \(9\times10^{-4}\).

d) Le numérateur est de l’ordre de \(10^6\) et le dénominateur de l’ordre de \(10^6\) : le quotient doit être de l’ordre de \(1\). Le résultat exact \(\dfrac85=1{,}6\) confirme cette estimation.

a) Méthode : simplifier les facteurs communs puis regrouper les puissances de \(10\). Calcul : après simplification de \(21\), \(7\), \(6{,}3\), \(0{,}3\) et \(25\), le coefficient vaut \(4\), tandis que l’exposant total vaut \(7\). Conclusion : \(\boxed{4\times10^7}\).

b) Méthode : développer les puissances de produits. Calcul : le numérateur vaut \(27\times10^{-6}\times625\times10^8\), le dénominateur \(150\times10^{10}\). Après simplification, on obtient \(\dfrac98\times10^{-6}=\dfrac{9}{8\,000\,000}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{9}{8\,000\,000}}\).

c) Dans Q35, on simplifie notamment les facteurs \(21\), \(7\), \(6{,}3\), \(0{,}3\) et \(25\). Dans Q38, on simplifie \(25\) et on regroupe les puissances avant de calculer.

d) Q35 vaut \(4\times10^7\). Q38 vaut \(\dfrac{9}{8\,000\,000}=1{,}125\times10^{-6}\). Le premier est donc plus de \(10^{13}\) fois plus grand.

a) Méthode : écrire les décimaux comme puissances de \(10\). Calcul : \((10^{-1})^5=10^{-5}\), \((-10^{-3})^{-2}=10^6\), \((10^{-2})^2=10^{-4}\). Le produit vaut \(10^{-5+6-4}=10^{-3}\). Conclusion : \(\boxed{10^{-3}}\).

b) Méthode : tout écrire avec les bases premières \(2\), \(3\), \(5\). Calcul : le numérateur est \(5^4\times3^4\times2^{-2}\), le dénominateur \(3^6\times2^9\times5\). Le quotient est \(5^3\times2^{-11}\times3^{-2}=\dfrac{125}{18432}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{125}{18432}}\).

c) Comme \(10^{-3}=\dfrac1{10^3}\), le résultat est \(\boxed{\dfrac1{1000}}\).

d) Dans Q37, le seul facteur de base négative est \((-3)^{-2}=\dfrac1{9}>0\). Tous les autres facteurs sont positifs : le résultat est donc positif, ce que confirme \(\dfrac{125}{18432}\).

a) Méthode : décomposer \(12=2^2\times3\). Calcul : le numérateur devient \(2^4\times3^{-1}\), le dénominateur \(2^{12}\times7^{17}\). Le quotient vaut \(2^{-8}3^{-1}7^{-17}\), soit \(\dfrac{1}{2^8\times3\times7^{17}}\). Conclusion : forme simplifiée obtenue.

b) Méthode : écrire \((-9)^2=3^4\) et \(25=5^2\). Calcul : le numérateur devient \(2^8\times3^{-2}\times5^2\), le dénominateur \(-2^4\times5^3\). Après simplification, on obtient \(-\dfrac{2^4}{3^2\times5}=-\dfrac{16}{45}\). Conclusion : \(\boxed{-\dfrac{16}{45}}\).

c) La forme à exposants positifs est \(\boxed{\dfrac1{2^8\times3\times7^{17}}}\).

d) Le numérateur est positif. Au dénominateur, \((-5)^3<0\), tandis que \((-2)^4>0\). Le quotient est donc négatif ; le calcul donne \(-\dfrac{16}{45}\).

a) Méthode : regrouper les exposants de chaque lettre. Calcul : le numérateur vaut \(a^{-1}b^5c^6\) et le dénominateur \(b^5a^{-10}\). Donc le quotient vaut \(a^{-1-(-10)}c^6=a^9c^6\). Conclusion : \(\boxed{a^9c^6}\).

b) Méthode : soustraire les exposants lettre par lettre. Calcul : \(a^{8-10}b^{6-8}c^{4-6}=a^{-2}b^{-2}c^{-2}\). Avec des exposants positifs, cela donne \(\dfrac{1}{a^2b^2c^2}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{1}{a^2b^2c^2}}\).

c) Il faut au minimum \(a\neq0\), \(b\neq0\), \(c\neq0\), car des puissances négatives et des divisions apparaissent.

d) Le produit vaut \(a^9c^6\times\dfrac1{a^2b^2c^2}=\boxed{\dfrac{a^7c^4}{b^2}}\).

a) Méthode : reconnaître deux carrés. Calcul : \(3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2\) et \(3+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2\). Les deux quantités sous racine sont positives, donc \(X=(\sqrt2-1)-(\sqrt2+1)=-2\). Conclusion : \(\boxed{-2}\).

b) Méthode : comparer les carrés, les deux membres étant positifs. Calcul : \((2+\sqrt5)^2=9+4\sqrt5\). Par conséquent, \(2+\sqrt5\) est bien la racine carrée positive de \(9+4\sqrt5\). Conclusion : vrai.

c) On a \(3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2\ge0\) et \(3+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2>0\).

d) Le produit vaut \(\sqrt{(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)}=\sqrt{9-8}=\boxed1\).

a) Méthode : multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt2\). Calcul : \(\dfrac{(\sqrt5-\sqrt3)\sqrt2}{2\sqrt2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt6}{4}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt6}{4}}\).

b) Méthode : écrire chaque radical comme un multiple de \(\sqrt{21}\). Calcul : \(\sqrt{\dfrac73}=\dfrac{\sqrt{21}}3\), \(3\sqrt{\dfrac{28}{27}}=\dfrac{2\sqrt{21}}3\), et \(4\sqrt{\dfrac7{12}}=\dfrac{2\sqrt{21}}3\). Il reste \(\dfrac{\sqrt{21}}3\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{\sqrt{21}}3}\).

c) Méthode : extraire les carrés parfaits. Calcul : \(\sqrt{192}=8\sqrt3\), \(\sqrt{75}=5\sqrt3\), \(\sqrt{27}=3\sqrt3\). Donc \(8\sqrt3-5\sqrt3+3\sqrt3=6\sqrt3\). Conclusion : \(\boxed{6\sqrt3}\).

d) On factorise chaque radicande en « carré parfait \(\times\) partie sans carré ». Deux termes ne s’additionnent directement que s’ils deviennent des multiples du même radical.

a) Méthode : calculer le carré. Calcul : \(\varphi^2=\dfrac{(1+\sqrt5)^2}{4}=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}=\varphi+1\). Conclusion : vrai.

b) Méthode : utiliser \(\varphi^2=\varphi+1\). Calcul : \(\varphi^3=\varphi(\varphi+1)=\varphi^2+\varphi=(\varphi+1)+\varphi=2\varphi+1\). Conclusion : \(\boxed{2\varphi+1}\).

c) Méthode : partir de \(\varphi^2=\varphi+1\). Calcul : en divisant par \(\varphi\ne0\), on obtient \(\varphi=1+\dfrac1\varphi\), donc \(\dfrac1\varphi=\varphi-1\). Conclusion : \(\boxed{\varphi-1}\).

d) \(\varphi^4=\varphi(2\varphi+1)=2\varphi^2+\varphi=2(\varphi+1)+\varphi=\boxed{3\varphi+2}\).

a) Méthode : choisir le dénominateur commun \(15\). Calcul : \(2=\dfrac{30}{15}\), \(\dfrac15=\dfrac3{15}\), \(\dfrac23=\dfrac{10}{15}\). Ainsi \(\dfrac{30+3-10}{15}=\dfrac{23}{15}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{23}{15}}\).

b) Méthode : calculer chaque parenthèse. Calcul : \(\dfrac15+\dfrac23=\dfrac{13}{15}\) et \(\dfrac13-\dfrac14=\dfrac1{12}\). Le produit vaut \(\dfrac{13}{180}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{13}{180}}\).

c) On calcule \(\dfrac{13}{180}\div\dfrac{23}{15}=\dfrac{13}{180}\times\dfrac{15}{23}=\boxed{\dfrac{13}{276}}\).

d) Une simplification préalable réduit les nombres manipulés, limite les erreurs et donne directement une fraction plus proche de la forme irréductible.

a) Méthode : remplacer \(x\) par \(-\dfrac12\). Calcul : \(4(-\dfrac18)-2(\dfrac14)-\dfrac12+3=-\dfrac12-\dfrac12-\dfrac12+3=\dfrac32\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac32}\).

b) Méthode : utiliser l’identité \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\). Pour \(x\ne1\), le facteur \(x-1\) est non nul et le quotient se simplifie en \(1\). Conclusion : vrai.

c) Pour \(x=2\), \(\dfrac{2^3-1}{(2-1)(2^2+2+1)}=\dfrac7{1\times7}=1\).

d) À \(x=1\), le dénominateur initial contient le facteur \(x-1=0\). L’expression n’est donc pas définie, même si sa forme simplifiée est la constante \(1\).

a) Méthode : utiliser le diamètre, pas le rayon. Calcul : un diamètre vaut \(1{,}96\times10^{-10}\) m. Le quotient \(\dfrac{10^{-3}}{1{,}96\times10^{-10}}\approx5\,102\,040{,}816\). On ne peut placer que des sphères entières. Conclusion : \(\boxed{5\,102\,040}\) sphères.

b) Le diamètre vaut \(1{,}96\times10^{-10}\ \mathrm m\) et \(2{,}5\ \mathrm{cm}=2{,}5\times10^{-2}\ \mathrm m\). Le quotient vaut environ \(127\,551\,020{,}4\), donc au maximum \(\boxed{127\,551\,020}\) sphères entières.

c) Deux centres de sphères tangentes sont séparés d’un diamètre. La longueur « consommée » par chaque sphère alignée est donc \(2r\), pas \(r\).

d) \(10^{-3}/(2\times10^{-10})\) est de l’ordre de \(5\times10^6\). Le résultat précis \(5\,102\,040\) est cohérent.

a) Méthode : un multiple de \(18\) est divisible par \(2\) et par \(9\). Le dernier chiffre \(6\) assure la divisibilité par \(2\). La somme des chiffres vaut \(15+a\), qui doit être un multiple de \(9\). Seul \(a=3\) donne \(18\). Conclusion : option B.

b) Méthode : développer. Calcul : \((2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1)\). Parmi deux entiers consécutifs, l’un est pair, donc \(n(n+1)=2k\). L’expression vaut alors \(8k\). Conclusion : vrai.

c) Le dernier chiffre \(4\) assure la divisibilité par \(2\). La somme des chiffres vaut \(18+b\), multiple de \(9\) pour \(b=0\) ou \(b=9\). Les deux chiffres conviennent.

d) \((2k+1)^2=4k(k+1)+1\). Comme \(k(k+1)\) est pair, \(4k(k+1)\) est multiple de \(8\). Le reste est donc \(1\).

a) Méthode : tester les multiples de \(12\) dans l’ordre. Calcul : \(12+1=13\) n’est pas multiple de \(5\), tandis que \(24+1=25\) l’est. Conclusion : \(\boxed{24}\).

b) Les multiples de \(18\) sont \(18,36,54,72,90,\ldots\). On obtient \(19,37,55,73,91\) après ajout de \(1\). Le premier multiple de \(7\) est \(91\), donc \(\boxed{N=90}\).

c) \(90=18\times5\) et \(90+1=91=7\times13\). Les deux contraintes sont vérifiées.

d) On parcourt uniquement la suite des multiples du premier diviseur, puis on teste la seconde condition. Cela réduit fortement le nombre d’essais.

a) Méthode : calculer d’abord les puissances. Calcul : \((-2)^3\times5=-40\), \(3^2\times2^4=9\times16=144\), et \(5\times2^2=20\). Donc \(-40+144-20=84\). Conclusion : \(\boxed{84}\).

b) Méthode : écrire tout comme puissance de \(2\). Calcul : \(2^{-3}=\dfrac4{32}\), \(4^{-2}=2^{-4}=\dfrac2{32}\), donc le numérateur vaut \(\dfrac6{32}\). Le dénominateur vaut \(\dfrac1{32}\). Le quotient est \(6\). Conclusion : \(\boxed{6}\).

c) \(2^{-3}+4^{-2}=2^{-3}+2^{-4}=2^{-4}(2+1)=3\times2^{-4}\). En divisant par \(2^{-5}\), on obtient \(3\times2^{1}=6\).

d) Pièges : confondre \((-2)^3\) avec \(-2^3\) sans lire les parenthèses ; effectuer une addition avant une puissance ; oublier que \(3^2\times2^4\) est un produit de deux puissances calculées séparément.

a) Méthode : convertir les décimaux en fractions ou en notation scientifique, puis simplifier. Calcul : le numérateur vaut \(6{,}084\times10^6\) et le dénominateur \(6{,}084\times10^{-3}\). Le quotient vaut donc \(10^9\). Conclusion : \(\boxed{10^9}\).

b) Méthode : développer les puissances de produits. Calcul : le coefficient vaut \(\dfrac{4^2\times5^3}{2}=1000\), et l’exposant de \(10\) vaut \(-6+12-2-5=-1\). Donc \(1000\times10^{-1}=100=1\times10^2\). Conclusion : \(\boxed{1\times10^2}\).

c) \(\dfrac{10^9}{10^2}=\boxed{10^7}\).

d) Le numérateur de Q61 est de l’ordre de \(10^6\) et le dénominateur de l’ordre de \(10^{-3}\). Leur quotient est donc de l’ordre de \(10^9\), ce qui confirme l’exposant final.

a) Méthode : écrire les décimaux sous forme fractionnaire. Calcul : le numérateur vaut \(-8{,}88=-\dfrac{222}{25}\) et le dénominateur \(0{,}123=\dfrac{123}{1000}\). Le quotient vaut \(-\dfrac{222}{25}\times\dfrac{1000}{123}=-\dfrac{2960}{41}\). Conclusion : \(\boxed{-\dfrac{2960}{41}}\).

b) Méthode : calculer chaque quotient intermédiaire. Calcul : \(\dfrac34-\dfrac56=-\dfrac1{12}\), \(\dfrac78-\dfrac23=\dfrac5{24}\), donc le premier quotient vaut \(-\dfrac25\). Le second vaut \(\dfrac{5/6}{7/12}=\dfrac{10}{7}\). Enfin \(-\dfrac25\div\dfrac{10}{7}=-\dfrac7{25}\). Conclusion : \(\boxed{-\dfrac7{25}}\).

c) \(0{,}123=\dfrac{123}{1000}\). Le numérateur vaut \(-\dfrac{222}{25}\), donc le quotient est \(-\dfrac{222}{25}\times\dfrac{1000}{123}=-\dfrac{2960}{41}\).

d) Le premier quotient de Q63 est négatif car \(\dfrac34-\dfrac56<0\) alors que \(\dfrac78-\dfrac23>0\). Le second quotient est positif. Le quotient final est donc négatif.

a) Méthode : additionner les exposants au numérateur puis soustraire ceux du dénominateur. Calcul : pour \(a\), \(-6+15-2=7\). Pour \(b\), \(8-3-5=0\). L’expression vaut donc \(a^7b^0=a^7\). Conclusion : \(\boxed{a^7}\).

b) Méthode : développer la puissance puis soustraire les exposants. Calcul : le numérateur vaut \(a^{-4}b^6\). Ainsi \(a^{-4-(-5)}b^{6-1}=ab^5\). Conclusion : \(\boxed{ab^5}\).

c) Méthode : transformer les exposants négatifs. Calcul : \(2^3\times3^{-2}=\dfrac89\), donc son inverse vaut \(\dfrac98\). De plus \(6^{-2}=\dfrac1{36}\). Le quotient vaut \(\dfrac98\times36=\dfrac{81}{2}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{81}{2}}\).

d) Q65 donne \(a^7\) et Q85 donne \(ab^5\). Leur produit vaut \(\boxed{a^8b^5}\).

a) Méthode : noter la somme \(S>0\) et calculer \(S^2\). Calcul : \(S^2=24+2\sqrt{(12-3\sqrt7)(12+3\sqrt7)}=24+2\sqrt{144-63}=24+18=42\). Comme \(S>0\), \(S=\sqrt{42}\). Conclusion : \(\boxed{\sqrt{42}}\).

b) Méthode : reconnaître deux carrés. Calcul : \(5+2\sqrt6=(\sqrt3+\sqrt2)^2\) et \(5-2\sqrt6=(\sqrt3-\sqrt2)^2\). Les racines sont donc \(\sqrt3+\sqrt2\) et \(\sqrt3-\sqrt2\). Leur différence vaut \(2\sqrt2\). Conclusion : \(\boxed{2\sqrt2}\).

c) \((\sqrt3+\sqrt2)^2=3+2+2\sqrt6=5+2\sqrt6\).

d) Le résultat annoncé est \(\sqrt{42}\). Son carré vaut \(42\), exactement la valeur obtenue en calculant le carré de la somme initiale ; comme les deux quantités sont positives, la vérification est complète.

a) Méthode : écrire \(13\pm4\sqrt{10}\) sous forme de carrés. Calcul : \(13\pm4\sqrt{10}=(\sqrt8\pm\sqrt5)^2\). Comme \(\sqrt8>\sqrt5\), les racines valent \(\sqrt8+\sqrt5\) et \(\sqrt8-\sqrt5\). La somme vaut \(2\sqrt8=4\sqrt2\). Conclusion : \(\boxed{4\sqrt2}\).

b) Méthode : utiliser les mêmes carrés que dans la somme associée. Calcul : les deux racines valent \(\sqrt8+\sqrt5\) et \(\sqrt8-\sqrt5\). Leur différence vaut \(2\sqrt5\). Conclusion : \(\boxed{2\sqrt5}\).

c) Si \(U+V=4\sqrt2\) et \(U-V=2\sqrt5\), alors \(U=2\sqrt2+\sqrt5\) et \(V=2\sqrt2-\sqrt5\).

d) \(UV=\sqrt{(13+4\sqrt{10})(13-4\sqrt{10})}=\sqrt{169-160}=\boxed3\).

a) Méthode : calculer d’abord les carrés conjugués. Calcul : \((\sqrt3\pm\sqrt2)^2=5\pm2\sqrt6\). Ainsi la somme demandée vaut \((5+2\sqrt6)^2+(5-2\sqrt6)^2=2(25+24)=98\). Conclusion : \(\boxed{98}\).

b) Méthode : mettre au même dénominateur. Calcul : le numérateur vaut \((\sqrt5+2)-(\sqrt5-2)=4\), et le dénominateur vaut \((\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1\). Conclusion : \(\boxed{4}\).

c) Méthode : réunir les fractions. Calcul : le numérateur vaut \(2\sqrt3\), et le dénominateur \((\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2=1\). Conclusion : \(\boxed{2\sqrt3}\).

d) Multiplier par le conjugué transforme un dénominateur contenant une somme ou différence de racines en une différence de carrés, souvent entière. C’est la raison pour laquelle les dénominateurs deviennent ici égaux à \(1\).

a) Méthode : calculer les deux fractions du numérateur. Calcul : \(\dfrac1{1-1/2}=2\) et \(\dfrac1{1+1/2}=\dfrac23\). Le numérateur vaut \(\dfrac43\), puis \(\dfrac43\div\dfrac13=4\). Conclusion : \(\boxed{4}\).

b) Méthode : partir de la fraction la plus intérieure. Calcul : \(3+\dfrac14=\dfrac{13}{4}\), donc \(\dfrac1{13/4}=\dfrac4{13}\). Puis \(2+\dfrac4{13}=\dfrac{30}{13}\), dont l’inverse est \(\dfrac{13}{30}\). Conclusion : \(\boxed{\dfrac{13}{30}}\).

c) \(2+\dfrac13=\dfrac73\), donc \(\dfrac1{7/3}=\dfrac37\). Puis \(1+\dfrac37=\dfrac{10}{7}\), dont l’inverse vaut \(\boxed{\dfrac7{10}}\).

d) On part du bloc le plus intérieur, on obtient une fraction irréductible, puis on remonte niveau par niveau. On ne distribue jamais un inverse sur une somme.

a) Méthode : encadrer \(10^6\) par deux puissances consécutives de \(2\). Calcul : \(2^{19}=524\,288\le10^6\) et \(2^{20}=1\,048\,576>10^6\). Conclusion : \(\boxed{20}\).

b) Méthode : les deux nombres sont positifs, on compare leurs carrés. Calcul : \(A^2=9+2\sqrt{14}\) et \(B^2=9+6\sqrt2\). Or \(2\sqrt{14}<6\sqrt2\) car \(56<72\). Donc \(A^2<B^2\), puis \(A<B\). Conclusion : option A.

c) \(3^{10}=59\,049\le10^5\) et \(3^{11}=177\,147>10^5\). Donc \(\boxed{n=11}\).

d) Les deux nombres \(A\) et \(B\) sont des sommes de racines positives, donc \(A>0\) et \(B>0\). La fonction carré est croissante sur \([0,+\infty[\), donc comparer \(A^2\) et \(B^2\) suffit.

a) Méthode : noter ces entiers \(n-1\), \(n\), \(n+1\). Calcul : leur somme vaut \(3n\), qui est un multiple de \(3\). Conclusion : vrai.

b) Méthode : parmi trois entiers consécutifs, l’un est multiple de \(3\) et au moins l’un est pair. Le produit contient donc un facteur \(3\) et un facteur \(2\). Il est ainsi divisible par \(6\). Conclusion : vrai.

c) Les cinq entiers \(n-2,n-1,n,n+1,n+2\) ont pour somme \(5n\), donc la somme est multiple de \(5\).

d) Parmi quatre entiers consécutifs, l’un est multiple de \(4\), un autre est pair, et l’un des quatre est multiple de \(3\). Le produit contient donc \(4\times2\times3=24\).

a) Méthode : écrire \(n=2k+1\). Alors \(n^2-1=(n-1)(n+1)\) est le produit de deux entiers pairs consécutifs parmi lesquels l’un est multiple de \(4\), donc \(n^2-1\) est divisible par \(8\). De plus \(n^2+1\) est pair. Ainsi \(n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)\) est divisible par \(16\). Conclusion : vrai.

b) Méthode : décomposer \(540\) en facteurs premiers. Calcul : \(540=2^2\times3^3\times5\). Pour obtenir des exposants pairs, il faut multiplier par \(3\times5=15\). Alors \(540\times15=2^2\times3^4\times5^2=90^2\). Conclusion : \(\boxed{15}\).

c) \(756=2^2\times3^3\times7\). Il faut multiplier par \(3\times7=21\). Alors \(756\times21=2^2\times3^4\times7^2=126^2\). Donc \(\boxed{m=21}\).

d) Un entier strictement positif est un carré parfait si et seulement si tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs.

a) Méthode : calculer le PPCM. Calcul : \(18=2\times3^2\) et \(24=2^3\times3\). Le PPCM prend les plus grands exposants : \(2^3\times3^2=72\). Conclusion : \(\boxed{72}\).

b) Méthode : calculer le PGCD de \(252\) et \(198\). Calcul : \(252-198=54\), \(198=3\times54+36\), \(54=1\times36+18\), et \(36=2\times18\). Le PGCD est \(18\). Conclusion : \(\boxed{18}\) lots, chacun avec \(14\) cartes rouges et \(11\) bleues.

c) \(756=630+126\) et \(630=5\times126\). Donc \(\boxed{\operatorname{PGCD}(756,630)=126}\).

d) \(72=2^3\times3^2\) et \(90=2\times3^2\times5\). Donc \(\operatorname{PPCM}=2^3\times3^2\times5=\boxed{360}\).

a) Méthode : effectuer la division euclidienne de \(1000\) par \(37\). Calcul : \(37\times27=999\) et \(37\times28=1036>1000\). Conclusion : le plus grand multiple demandé est \(\boxed{999}\).

b) Méthode : examiner les multiples positifs de \(14\) dans l’ordre. Calcul : \(14,28,42,56,70,84,98\) donnent respectivement \(15,29,43,57,71,85,99\) après ajout de \(1\). Le premier de ces nombres divisible par \(9\) est \(99\). Conclusion : \(N=\boxed{98}\).

c) \(43\times46=1978\le2000\) et \(43\times47=2021>2000\). Le plus grand multiple est \(\boxed{1978}\).

d) Les multiples de \(18\) donnent \(19,37,55,73,91,\ldots\) après ajout de \(1\). Le premier multiple de \(7\) est \(91\), donc \(\boxed{N=90}\).

a) Méthode : calculer le nombre de secondes dans une année. Calcul : \(365\times24\times3600=31\,536\,000=3{,}1536\times10^7\) s. La distance vaut \((3\times10^8)(3{,}1536\times10^7)=9{,}4608\times10^{15}\) m. Conclusion : \(\boxed{9{,}4608\times10^{15}\ \mathrm m}\).

b) Méthode : convertir dans la même unité. Calcul : \(70\ \mu\mathrm m=70\times10^{-6}\) m et \(0{,}2\ \mathrm{nm}=0{,}2\times10^{-9}\) m. Le rapport vaut \(\dfrac{70\times10^{-6}}{0{,}2\times10^{-9}}=350\times10^3=350\,000\). Conclusion : \(\boxed{350\,000}\).

c) \(9{,}4608\times10^{15}\ \mathrm m=\boxed{9{,}4608\times10^{12}\ \mathrm{km}}\).

d) \(350\,000=3{,}5\times10^5\). L’épaisseur du cheveu correspond donc à quelques centaines de milliers de diamètres atomiques, ordre de grandeur \(10^5\).

a) Méthode : utiliser la relation \(\varphi^2=\varphi+1\) de façon récurrente. Calcul : \(\varphi^3=2\varphi+1\), \(\varphi^4=3\varphi+2\), puis \(\varphi^5=5\varphi+3\). Conclusion : \(\boxed{5\varphi+3}\).

b) Méthode : multiplier l’expression de \(\varphi^5\) par \(\varphi\). Calcul : \(\varphi^6=\varphi(5\varphi+3)=5\varphi^2+3\varphi=5(\varphi+1)+3\varphi=8\varphi+5\). Conclusion : \(\boxed{8\varphi+5}\).

c) \(\varphi^4=\varphi(2\varphi+1)=3\varphi+2\).

d) On obtient successivement \(\varphi^2=1\varphi+1\), \(\varphi^3=2\varphi+1\), \(\varphi^4=3\varphi+2\), \(\varphi^5=5\varphi+3\), \(\varphi^6=8\varphi+5\). Chaque nouveau coefficient est la somme des deux précédents.

a) Le numérateur vaut \(-\dfrac1{12}\) et le dénominateur \(\dfrac5{24}\). Donc \(A=-\dfrac1{12}\times\dfrac{24}{5}=\boxed{-\dfrac25}\).

b) \(B=\sqrt{169-160}=\boxed3\).

c) \(450=2\times3^2\times5^2\). Seul l’exposant de \(2\) est impair, donc il suffit de multiplier par \(2\) : \(450\times2=900=30^2\). Ainsi \(\boxed{m=2}\).

d) \(2^3\times5^{-2}=\dfrac8{25}\), donc son inverse vaut \(\dfrac{25}{8}\). Puis \(10^{-2}=\dfrac1{100}\), donc \(D=\dfrac{25}{8}\times100=\boxed{\dfrac{625}{2}}\).