(a) \(A=\frac{5}{6}-\left(\frac{7}{9}-\frac{1}{3}\right)\)

Dans la parenthèse : \(\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\), donc \(\frac{7}{9}-\frac{3}{9}=\frac{4}{9}\).
Alors \(A=\frac{5}{6}-\frac{4}{9}\). PPCM(6,9)=18 : \(\frac{5}{6}=\frac{15}{18}\), \(\frac{4}{9}=\frac{8}{18}\).
\[ A=\frac{15}{18}-\frac{8}{18}=\frac{7}{18}. \]

(b) \(B=\frac{3}{4}-\frac{5}{8}\times\left(\frac{12}{5}-\frac{3}{2}\right)\)

Parenthèse : \(\frac{12}{5}-\frac{3}{2}=\frac{24}{10}-\frac{15}{10}=\frac{9}{10}\).
Produit : \(\frac{5}{8}\times\frac{9}{10}=\frac{45}{80}=\frac{9}{16}\).
Donc \(B=\frac{3}{4}-\frac{9}{16}=\frac{12}{16}-\frac{9}{16}=\frac{3}{16}.\)

(c) \(C=2-\left(\frac{7}{3}-\frac{5}{6}\right)\div\left(\frac{5}{2}\right)\)

Parenthèse : \(\frac{7}{3}=\frac{14}{6}\), donc \(\frac{14}{6}-\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\).
Division : \(\frac{3}{2}\div\frac{5}{2}=\frac{3}{2}\times\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).
Donc \(C=2-\frac{3}{5}=\frac{10}{5}-\frac{3}{5}=\frac{7}{5}.\)

(d) \(D=\left(-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\right)\times\left(\frac{9}{4}-\frac{3}{2}\right)\)

1ère parenthèse : \(-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}\), donc \(-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\).
2ème parenthèse : \(\frac{3}{2}=\frac{6}{4}\), donc \(\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}\).
Produit : \(D=\frac{1}{6}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}.\)

Réponses : (a) \(\frac{7}{18}\), (b) \(\frac{3}{16}\), (c) \(\frac{7}{5}\), (d) \(\frac{1}{8}\).

(a) \(A=\left(3-\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

\(3-\frac{5}{2}=\frac{6}{2}-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\). Donc \(A=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\). (Ici le piège est de simplifier d’abord la parenthèse.)

(b) \(B=\frac{7}{3}-\left[2-\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)\right]\)

\(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Donc le crochet : \(2-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\).
Alors \(B=\frac{7}{3}-\frac{5}{3}=\frac{2}{3}.\)

(c) \(C=\left(\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\right)\div\left(\frac{3}{10}\right)\)

Somme : \(\frac{4}{5}+\frac{1}{2}=\frac{8}{10}+\frac{5}{10}=\frac{13}{10}\).
Division : \(\frac{13}{10}\div\frac{3}{10}=\frac{13}{10}\times\frac{10}{3}=\frac{13}{3}.\)

(d) \(D=\frac{5}{12}+\frac{7}{18}-\frac{11}{24}\)

PPCM = 72 : \(\frac{5}{12}=\frac{30}{72}\), \(\frac{7}{18}=\frac{28}{72}\), \(\frac{11}{24}=\frac{33}{72}\).
\[ D=\frac{30}{72}+\frac{28}{72}-\frac{33}{72}=\frac{25}{72}. \]

Réponses : (a) \(0\), (b) \(\frac{2}{3}\), (c) \(\frac{13}{3}\), (d) \(\frac{25}{72}\).

(a) \(A=\dfrac{2^7\cdot2^{-3}}{2^2}\)

Numérateur : \(2^7\cdot2^{-3}=2^{7-3}=2^4\).
Donc \(A=\frac{2^4}{2^2}=2^{4-2}=2^2=4\).

(b) \(B=\dfrac{5^{-2}\cdot25^3}{125}\)

\(25^3=(5^2)^3=5^6\) et \(125=5^3\).
Numérateur : \(5^{-2}\cdot5^6=5^4\).
Donc \(B=\frac{5^4}{5^3}=5^{1}=5\).

(c) \(C=\dfrac{(3^2)^4}{3^5\cdot9}\)

\((3^2)^4=3^{8}\) et \(9=3^2\).
Dénominateur : \(3^5\cdot3^2=3^7\).
Donc \(C=\frac{3^8}{3^7}=3\).

(d) \(D=\left(\dfrac{2^3\cdot5^2}{10^2}\right)^{-1}\)

\(10^2=(2\cdot5)^2=2^2\cdot5^2\).
Donc la fraction : \(\frac{2^3\cdot5^2}{2^2\cdot5^2}=2^{3-2}\cdot5^{2-2}=2\).
Puis \(D=(2)^{-1}=\frac{1}{2}\).

Réponses : (a) \(4\), (b) \(5\), (c) \(3\), (d) \(\frac{1}{2}\).

(a) \(0{,}00000436\)

On décale la virgule de 6 rangs vers la droite pour obtenir \(4{,}36\). Donc \[ 0{,}00000436 = 4{,}36\times10^{-6}. \]

(b) \(72\,500\,000\)

On décale la virgule pour obtenir \(7{,}25\) (7 rangs vers la gauche), donc \[ 72\,500\,000=7{,}25\times10^{7}. \]

(c) \(0{,}058\times10^6\)

\(0{,}058=5{,}8\times10^{-2}\). Donc \[ 0{,}058\times10^6 = (5{,}8\times10^{-2})\times10^6=5{,}8\times10^{4}. \]

(d) \(4{,}2\times10^{-3}\times3\times10^{5}\)

Coefficients : \(4{,}2\times3=12{,}6\). Puissances : \(10^{-3}\cdot10^{5}=10^{2}\).
Donc \(12{,}6\times10^{2}=1{,}26\times10^{3}\) (on remet \(a\) entre 1 et 10).

Réponses : (a) \(4{,}36\times10^{-6}\), (b) \(7{,}25\times10^{7}\), (c) \(5{,}8\times10^{4}\), (d) \(1{,}26\times10^{3}\).

(a) \(\sqrt{200}-\sqrt{50}+\sqrt{8}\)

\(\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt{2}\).
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\).
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\).
Donc \(10\sqrt2-5\sqrt2+2\sqrt2=7\sqrt2\).

(b) \(\sqrt{18}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{144}=12\).

(c) \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\)

Rationalisation : \[ \frac{5}{\sqrt3}=\frac{5}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}. \]

(d) \(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}}\)

\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3\), \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3\).
Donc \(\frac{2\sqrt3}{3\sqrt3}=\frac{2}{3}\) (on simplifie par \(\sqrt3\)).

Réponses : (a) \(7\sqrt2\), (b) \(12\), (c) \(\frac{5\sqrt3}{3}\), (d) \(\frac{2}{3}\).

(a) \(36<45<49\) donc \(6<\sqrt{45}<7\).

(b) \(\frac{9}{2}=4{,}5\). Comparons les carrés : \((4{,}5)^2=20{,}25\).
Or \(19<20{,}25\) donc \(\sqrt{19}<4{,}5=\frac{9}{2}\).

(c) On sait \(1{,}41^2=1{,}9881\) et \(1{,}42^2=2{,}0164\).
Comme \(1{,}9881<2<2{,}0164\), on a \(1{,}41<\sqrt2<1{,}42\).

(d) \(7^2=49\) et \(50>49\) donc \(\sqrt{50}>7\).
De plus \(8^2=64\) et \(50<64\), donc \(\sqrt{50}<8\).
Finalement : \(7<\sqrt{50}<8\).

Réponses : (a) \(6<\sqrt{45}<7\) ; (b) \(\sqrt{19}<\frac{9}{2}\) ; (c) \(1{,}41<\sqrt2<1{,}42\) ; (d) \(7<\sqrt{50}<8\).

(a) \(A=\frac{7}{9}+\frac{5}{6}\)

PPCM(9,6)=18 : \(\frac{7}{9}=\frac{14}{18}\), \(\frac{5}{6}=\frac{15}{18}\).
Exact : \(A=\frac{29}{18}\).
Approché : \(\frac{29}{18}=1{,}611111\ldots\) donc au millième : \(1{,}611\).

(b) \(B=\sqrt{5}+\sqrt{20}\)

\(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5\). Donc exact : \(B=3\sqrt5\).
Approché : \(\sqrt5\approx2{,}236\) donc \(3\sqrt5\approx6{,}708\) (au centième).

(c) \(C=\frac{3}{\sqrt2}\)

Rationalisation : \(\frac{3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}\). Exact : \(\frac{3\sqrt2}{2}\).
Approché : \(\sqrt2\approx1{,}414\) donc \(\frac{3\sqrt2}{2}\approx\frac{3\times1{,}414}{2}=2{,}121\) au centième : \(2{,}12\).

(d) \(D=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\)

PPCM(3,6,12)=12 : \(\frac{1}{3}=\frac{4}{12}\), \(\frac{1}{6}=\frac{2}{12}\), \(\frac{1}{12}=\frac{1}{12}\).
Exact : \(D=\frac{7}{12}\). Décimal : \(0{,}583333\ldots\).

Réponses : (a) \(\frac{29}{18}\approx1{,}611\) ; (b) \(3\sqrt5\approx6{,}71\) ; (c) \(\frac{3\sqrt2}{2}\approx2{,}12\) ; (d) \(\frac{7}{12}\approx0{,}5833\ldots\).

(a) \(84\,735\) : somme chiffres \(8+4+7+3+5=27\). Or \(27\) est multiple de \(9\).
Donc \(84\,735\) est divisible par \(9\).

(b) \(513\,216\). Écrivons les chiffres : 5 1 3 2 1 6.
Rangs impairs (1,3,5) : \(5+3+1=9\). Rangs pairs (2,4,6) : \(1+2+6=9\).
Différence : \(9-9=0\), multiple de 11. Donc divisible par \(11\).

(c) \(7\,560\) : les 3 derniers chiffres 560. Or \(560=8\times70\). Donc divisible par 8.

(d) \(140\,625\) : les 3 derniers chiffres 625. Or \(625=125\times5\). Donc divisible par 125.

Réponses : (a) oui (9) ; (b) oui (11) ; (c) oui (8) ; (d) oui (125).

(a) \(756\)

\(756\) est pair : \(756=2\times378=2^2\times189\).
\(189\) est divisible par 3 (1+8+9=18) : \(189=3\times63=3^2\times21=3^3\times7\).
Donc \(756=2^2\cdot3^3\cdot7\).

(b) \(1485\)

Se termine par 5 : \(1485=5\times297\).
\(297\) divisible par 3 : \(297=3\times99=3^2\times33=3^3\times11\).
Donc \(1485=3^3\cdot5\cdot11\).

(c) \(2520\)

\(2520=252\times10=(2^2\times3^2\times7)\times(2\times5)\).
Donc \(2520=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\).

(d) \(693\)

Somme chiffres 6+9+3=18 donc divisible par 9 : \(693=9\times77=3^2\times7\times11\).
Donc \(693=3^2\cdot7\cdot11\).

Réponses : (a) \(2^2\cdot3^3\cdot7\) ; (b) \(3^3\cdot5\cdot11\) ; (c) \(2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\) ; (d) \(3^2\cdot7\cdot11\).

(a) PGCD(1764; 882)

\(1764=882\times2+0\). Donc \(\mathrm{PGCD}(1764;882)=882\).

(b) PGCD(2457; 1323)

\(2457=1323\times1+1134\)
\(1323=1134\times1+189\)
\(1134=189\times6+0\)
Donc \(\mathrm{PGCD}(2457;1323)=189\).

(c) PGCD(4620; 1848)

\(4620=1848\times2+924\)
\(1848=924\times2+0\)
Donc \(\mathrm{PGCD}(4620;1848)=924\).

(d) PGCD(9999; 3663)

\(9999=3663\times2+2673\)
\(3663=2673\times1+990\)
\(2673=990\times2+693\)
\(990=693\times1+297\)
\(693=297\times2+99\)
\(297=99\times3+0\)
Donc \(\mathrm{PGCD}(9999;3663)=99\).

Réponses : (a) 882 ; (b) 189 ; (c) 924 ; (d) 99.

(a) \(\frac{18}{-24}=-\frac{18}{24}\). PGCD(18,24)=6, donc \(-\frac{18\div6}{24\div6}=-\frac{3}{4}\).

(b) PGCD(42,63)=21, donc \(\frac{-42}{63}=-\frac{2}{3}\).

(c) \(\frac{105}{-140}=-\frac{105}{140}\). PGCD(105,140)=35, donc \(-\frac{3}{4}\).

(d) \(\frac{-84}{-126}=\frac{84}{126}\). PGCD(84,126)=42, donc \(\frac{2}{3}\).

Réponses : (a) \(-\frac{3}{4}\), (b) \(-\frac{2}{3}\), (c) \(-\frac{3}{4}\), (d) \(\frac{2}{3}\).

(a) \(\frac{8^5}{2^{11}}=\frac{(2^3)^5}{2^{11}}=\frac{2^{15}}{2^{11}}=2^4=16\).

(b) \(\frac{27^3}{3^7}=\frac{(3^3)^3}{3^7}=\frac{3^9}{3^7}=3^2=9\).

(c) \(\frac{16\cdot2^{-3}}{4^{-2}}=\frac{2^4\cdot2^{-3}}{(2^2)^{-2}}=\frac{2^{1}}{2^{-4}}=2^{1-(-4)}=2^5=32\).

(d) \(\frac{(5^3)^2}{25\cdot5^4}=\frac{5^6}{5^2\cdot5^4}=\frac{5^6}{5^6}=1\).

Réponses : (a) 16 ; (b) 9 ; (c) 32 ; (d) 1.

(a) \(\sqrt{48}=4\sqrt3\), \(\sqrt{75}=5\sqrt3\), \(\sqrt{27}=3\sqrt3\).
Donc \(4\sqrt3+5\sqrt3-3\sqrt3=6\sqrt3\).

(b) \(\sqrt{32}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{576}=24\).

(c) \(\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\sqrt{49}=7\).

(d) \(\sqrt{20}=2\sqrt5\), donc \(\sqrt5-\sqrt{20}=\sqrt5-2\sqrt5=-\sqrt5\).
Alors \(( -\sqrt5)^2=5\).

Réponses : (a) \(6\sqrt3\), (b) 24, (c) 7, (d) 5.

(a) PGCD(294,840)=42 (car 294=42×7, 840=42×20). Donc \(\frac{294}{840}=\frac{7}{20}\).

(b) Euclide : 1512-1260=252, et 1260=252×5. Donc PGCD=252. Ainsi \(\frac{1260}{1512}=\frac{5}{6}\).

(c) 3003=3×1001=3×7×11×13. 2145 divisible par 3 (2+1+4+5=12) : 2145=3×715=3×5×11×13. Donc PGCD = 3×11×13=429.
\(\frac{2145}{3003}=\frac{2145\div429}{3003\div429}=\frac{5}{7}\).

(d) PGCD(3456,2592)=864 (car 3456=864×4, 2592=864×3). Donc \(\frac{3456}{2592}=\frac{4}{3}\).

Réponses : (a) \(\frac{7}{20}\), (b) \(\frac{5}{6}\), (c) \(\frac{5}{7}\), (d) \(\frac{4}{3}\).

(a) 36=\(2^2\cdot3^2\), 84=\(2^2\cdot3\cdot7\). Donc PPCM=\(2^2\cdot3^2\cdot7=252\).

(b) 45=\(3^2\cdot5\), 60=\(2^2\cdot3\cdot5\). PPCM=\(2^2\cdot3^2\cdot5=180\).

(c) Le plus petit multiple commun de 18 et 24 est leur PPCM : 18=\(2\cdot3^2\), 24=\(2^3\cdot3\). PPCM=\(2^3\cdot3^2=72\). Donc \(n=72\).

(d) 28=\(2^2\cdot7\), 35=\(5\cdot7\). PPCM=\(2^2\cdot5\cdot7=140\) minutes = 2h20.
Donc elles re-sonnent ensemble à 10h20.

Réponses : (a) 252 ; (b) 180 ; (c) 72 ; (d) 10h20.

(a) \(3^4=81\). \(2^5=32\). Donc \(2^5\times3=96\). Ainsi \(A=81-96=-15\).

(b) \((2^3)^2=2^6=64\). \(4^3=(2^2)^3=2^6=64\). Donc \(B=0\).

(c) \(\frac{5^6}{25^2\cdot5}=\frac{5^6}{(5^2)^2\cdot5}=\frac{5^6}{5^4\cdot5}=\frac{5^6}{5^5}=5\).

(d) \(\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}\). Puis \(\frac{27}{8}\times\frac{4}{9}=\frac{27\cdot4}{8\cdot9}=\frac{108}{72}=\frac{3}{2}\).

Réponses : (a) -15 ; (b) 0 ; (c) 5 ; (d) \(\frac{3}{2}\).

(a) \(221\). On teste 13 : \(13\times17=221\). Donc pas premier : \(221=13\cdot17\).

(b) \(289=17^2\). Donc pas premier : \(289=17\cdot17\).

(c) \(391\). Test 17 : \(17\times23=391\). Donc \(391=17\cdot23\).

(d) \(437\). Test 19 : \(19\times23=437\). Donc \(437=19\cdot23\).

Réponses : (a) \(13\cdot17\), (b) \(17^2\), (c) \(17\cdot23\), (d) \(19\cdot23\).

(a) \(\frac{1}{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}{7}\).

(b) \(\frac{4}{2\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\).

(c) \(\frac{3}{\sqrt2+1}\cdot\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}=\frac{3(\sqrt2-1)}{2-1}=3(\sqrt2-1)=3\sqrt2-3\).

(d) \(\frac{5}{\sqrt3-\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}=\frac{5(\sqrt3+\sqrt2)}{3-2}=5\sqrt3+5\sqrt2\).

Réponses : (a) \(\frac{\sqrt7}{7}\), (b) \(\frac{2\sqrt5}{5}\), (c) \(3\sqrt2-3\), (d) \(5\sqrt3+5\sqrt2\).

(a) \(\frac{17}{6}=2+\frac{5}{6}=2{,}8333\ldots\) donc \(2{,}8<\frac{17}{6}<2{,}9\).

(b) \(\frac{29}{12}=2+\frac{5}{12}=2{,}4166\ldots\) donc \(2{,}4<\frac{29}{12}<2{,}5\).

(c) \(\frac{41}{9}=4+\frac{5}{9}=4{,}555\ldots\) donc \(4{,}5<\frac{41}{9}<4{,}6\).

(d) \(\frac{73}{16}=4+\frac{9}{16}=4{,}5625\) donc \(4{,}5<\frac{73}{16}<4{,}6\).

Réponses : (a) \(2{,}8<\cdot<2{,}9\) ; (b) \(2{,}4<\cdot<2{,}5\) ; (c) \(4{,}5<\cdot<4{,}6\) ; (d) \(4{,}5<\cdot<4{,}6\).

(a) Euclide : 840=756×1+84 ; 756=84×9+0 → PGCD=84.

(b) 18=2·3², 30=2·3·5 → PPCM=2·3²·5=90.

(c) \(\frac{840}{756}=\frac{840\div84}{756\div84}=\frac{10}{9}\).

(d) Dénominateur 90 : \(\frac{5}{18}=\frac{25}{90}\), \(\frac{7}{30}=\frac{21}{90}\). Somme = \(\frac{46}{90}=\frac{23}{45}\).

Réponses : (a) 84 ; (b) 90 ; (c) \(\frac{10}{9}\) ; (d) \(\frac{23}{45}\).

(a) Numérateur : \(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}\).
Donc \(A=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{1}{10}\times\frac{10}{7}=\frac{1}{7}\).

(b) \(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}\).
Donc \(B=\frac{1}{\frac{17}{12}}=\frac{12}{17}\).

(c) \(C=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{25}{18}}=\frac{5}{6}\times\frac{18}{25}=\frac{5\times3}{25}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\).

(d) \(\frac{7}{3}-\frac{5}{2}=\frac{14}{6}-\frac{15}{6}=-\frac{1}{6}\).
Puis \(D=-\frac{1}{6}\div\frac{1}{6}=-\frac{1}{6}\times6=-1\).

Réponses : (a) \(\frac{1}{7}\), (b) \(\frac{12}{17}\), (c) \(\frac{3}{5}\), (d) -1.

(a) \(\sqrt{2^6}=2^{6/2}=2^3=8\).

(b) \(\sqrt{3^4\cdot12}=\sqrt{3^4\cdot4\cdot3}=\sqrt{4\cdot3^5}=2\sqrt{3^4\cdot3}=2\cdot3^2\sqrt3=18\sqrt3\).

(c) \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\). Et \(\sqrt{2^3}=\sqrt8=2\sqrt2\). Donc \(C=\frac{6\sqrt2}{2\sqrt2}=3\).

(d) \((\sqrt8)^4=(8)^{2}=64\) (car \((\sqrt a)^2=a\)).

Réponses : (a) 8 ; (b) \(18\sqrt3\) ; (c) 3 ; (d) 64.

(a) \(360=36\cdot10=(2^2\cdot3^2)\cdot(2\cdot5)=2^3\cdot3^2\cdot5\).

(b) Nombre de diviseurs de \(360\) : \((3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot3\cdot2=24\).

(c) \(840=84\cdot10=(2^2\cdot3\cdot7)\cdot(2\cdot5)=2^3\cdot3\cdot5\cdot7\).
Nombre de diviseurs : \((3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=4\cdot2\cdot2\cdot2=32\).

(d) PPCM(360,840) :
360=\(2^3\cdot3^2\cdot5\), 840=\(2^3\cdot3\cdot5\cdot7\).
PPCM=\(2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=8\cdot9\cdot5\cdot7=2520\).

Réponses : (a) \(2^3\cdot3^2\cdot5\) ; (b) 24 ; (c) \(2^3\cdot3\cdot5\cdot7\), 32 ; (d) 2520.

(a) Nombre maximal de sachets = \(\mathrm{PGCD}(924,693)\).
Euclide : 924=693×1+231 ; 693=231×3+0 → PGCD=231. Donc 231 sachets.

(b) Par sachet : bonbons \(924\div231=4\) ; chocolats \(693\div231=3\). Donc 4 bonbons et 3 chocolats.

(c) \(\mathrm{PGCD}(1260,1512)=252\). Donc 252 paquets. Par paquet : \(1260\div252=5\) crayons et \(1512\div252=6\) gommes.

(d) Le PGCD donne le plus grand nombre d’unités identiques possible qui “divise” exactement chaque quantité, donc permet un partage sans reste.

Réponses : (a) 231 ; (b) 4 et 3 ; (c) 252 paquets : 5 crayons, 6 gommes ; (d) justification PGCD.

(a) \(\frac{3}{2}-\frac{5}{6}=\frac{9}{6}-\frac{5}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).
Puis \(\frac{2}{3}\times\frac{9}{4}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}\).
Donc \(A=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{9}{6}-\frac{2}{6}=\frac{7}{6}\).

(b) \(B=\frac{2^9\cdot5^4}{10^6}=\frac{2^9\cdot5^4}{2^6\cdot5^6}=2^{3}\cdot5^{-2}=8\cdot\frac{1}{25}=\frac{8}{25}\).

(c) \(\sqrt{243}=\sqrt{81\cdot3}=9\sqrt3\). \(\sqrt{48}=4\sqrt3\). \(\sqrt{12}=2\sqrt3\).
Donc \(C=9\sqrt3-4\sqrt3+2\sqrt3=7\sqrt3\).

(d) PGCD(756,1485) : 756=\(2^2\cdot3^3\cdot7\), 1485=\(3^3\cdot5\cdot11\).
Facteur commun : \(3^3\) donc PGCD=27.
PPCM(18,30)=90 (vu plus haut).
Donc \(D=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}\).

Réponses : (a) \(\frac{7}{6}\), (b) \(\frac{8}{25}\), (c) \(7\sqrt3\), (d) \(\frac{3}{10}\).