Calcul Numerique Arithmetique

Fiche ultra-synthèse — Calcul numérique & arithmétique (2nde)

Priorités • puissances • racines • exact/approché • divisibilité • premiers • PGCD. Objectif : zéro faute + méthodes rapides (niveau solide / 2nde+).

Essentiel Méthodes Pièges Mini-tests Checklist

Essentiel (à savoir par cœur)

1 Priorités opératoires

Ordre : Parenthèses → Puissances / √ → × / ÷ → + / −

Exemple : \(12-3\times(2+5)^2 = 12-3\times 49 = 12-147 = -135\).

Piège : \(-2^2=-4\) mais \(( -2 )^2=4\).

2 Puissances

Règle	Remarque
\(a^m a^n=a^{m+n}\)	même base
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)	\(a\neq 0\)
\((a^m)^n=a^{mn}\)	—
\(a^0=1\)	\(a\neq 0\)
\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)	\(a\neq 0\)

Exemple : \(2^3\times 2^5=2^8=256\).
Exemple : \(\dfrac{3^7}{3^2}=3^5=243\).

Faux : \(a^m+a^n=a^{m+n}\). (Ex : \(2^3+2^3=16\) mais \(2^6=64\)).

3 Racine carrée

Simplifier : si \(a=k^2\times m\) alors \(\sqrt a=k\sqrt m\).

\(\sqrt{72}=6\sqrt2\), \(\sqrt{200}=10\sqrt2\), \(\sqrt{45}=3\sqrt5\).

À ne pas faire : \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt a+\sqrt b\).
Important : \(\sqrt{a^2}=|a|\).

4 Exact / Approché

Exact : fractions, \(\sqrt{}\), puissances (jusqu’au bout).
Approché : décimal + arrondi à la fin.

Exemple : \(2\sqrt2 \approx 2\times 1{,}414 = 2{,}828 \approx 2{,}83\) (au centième).

Encadrement : si \(1{,}41<\sqrt2<1{,}42\) alors \(7{,}05<5\sqrt2<7{,}10\).

Méthodes (procédures rapides 20/20)

A Simplifier une racine

Repérer un carré parfait : \(a=k^2\times m\).
Sortir \(k\) : \(\sqrt{k^2m}=k\sqrt m\).
Approcher à la fin si demandé.

\(\sqrt{98}=\sqrt{49\times 2}=7\sqrt2\).

B Critères de divisibilité

Diviseur	Critère
2	chiffre des unités pair
3	somme des chiffres multiple de 3
5	finit par 0 ou 5
9	somme des chiffres multiple de 9
10	finit par 0
4	les 2 derniers chiffres forment un multiple de 4

Pour 18 : divisible par 2 et par 9.

C Décomposition en facteurs premiers

Diviser par \(2\) tant que possible.
Puis \(3\), puis \(5\), puis \(7\), etc.
Écrire \(n=2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}\dots\).

\(360=2^3\times 3^2\times 5\).

D PGCD

Euclide : \(a=bq+r\) puis \(\mathrm{PGCD}(a,b)=\mathrm{PGCD}(b,r)\) jusqu’à \(r=0\).

\(252=198+54\)
\(198=3\times 54+36\)
\(54=36+18\)
\(36=2\times 18+0\Rightarrow \mathrm{PGCD}=18\)

(Bonus) \( \mathrm{PPCM}(a,b)=\dfrac{ab}{\mathrm{PGCD}(a,b)}\) si \(a,b>0\).

Pièges classiques (à éviter)

1 Signe “−”

\(-3^2=-(3^2)=-9\) mais \(( -3 )^2=9\).

2 Puissances

\(2^3+2^3=2\times 2^3\) (pas \(2^6\)).
\((2+3)^2 \neq 2^2+3^2\).

3 Racines

\(\sqrt{a+b}\neq \sqrt a+\sqrt b\).
\(\sqrt{a^2}=|a|\) (attention si \(a<0\)).

Arrondis : ne pas arrondir au milieu d’un calcul. On garde l’exact, puis on arrondit à la fin (centième, millième…).

Mini-tests (30 secondes chacun) — corrigés

Q1 Priorités

Calculer \(12-2^3\times(5-1)\).

Corrigé : \(2^3=8\), \(5-1=4\), \(12-8\times 4=12-32=-20\).

Q2 Puissances

Simplifier \(\dfrac{3^4\times 3^{-2}}{3}\).

Corrigé : \(3^{4-2}/3=3^2/3=3\).

Q3 Racines

Simplifier \(\sqrt{98}\).

Corrigé : \(\sqrt{49\times 2}=7\sqrt2\).

Q4 Encadrement

Encadrer \(\sqrt{90}\) par deux entiers.

Corrigé : \(81<90<100\Rightarrow 9<\sqrt{90}<10\).

Q5 Divisibilité

Dire si \(513\) est divisible par \(3\) et par \(9\).

Corrigé : somme \(=5+1+3=9\) ⇒ divisible par 3 et par 9.

Q6 PGCD

Calculer \(\mathrm{PGCD}(84,60)\).

Corrigé : \(84=2^2\cdot 3\cdot 7\), \(60=2^2\cdot 3\cdot 5\) ⇒ PGCD \(=2^2\cdot 3=12\).

Checklist (avant contrôle)

Je sais faire

Appliquer les priorités sans sauter d’étapes.
Utiliser \(a^0\), \(a^{-n}\) et les règles produit/quotient.
Simplifier \(\sqrt{a}\) en sortant un carré parfait.
Distinguer exact / approché et arrondir proprement (à la fin).
Tester la divisibilité (2,3,5,9,10,4) rapidement.
Décomposer un entier en facteurs premiers.
Calculer un PGCD (facteurs ou Euclide).

Réflexes 20/20

1) Exact d’abord, calculatrice ensuite.
2) Une ligne = une étape (priorités / Euclide) = points faciles.
3) Pour encadrer : répondre en inégalité ou en intervalle \([a ; b]\).

À bannir : \(\sqrt{a+b}\), “\(a^m+a^n=a^{m+n}\)”, arrondis au milieu, oublier les parenthèses.