Calcul Numerique Arithmetique

Cours — Calcul numérique et arithmétique

Priorités opératoires • puissances • racines carrées • calcul exact / approché • divisibilité • nombres premiers • PGCD/PPCM.

Objectifs Priorités Puissances Racines Exact / approché Divisibilité Nombres premiers PGCD / PPCM Formulaire

1) Objectifs et plan de travail

Compétences attendues (2nde)

Appliquer sans erreur les priorités opératoires (parenthèses, puissances, ×/÷, +/−).
Manipuler les puissances (y compris exposants négatifs) et simplifier des expressions.
Simplifier des racines carrées en extrayant un carré parfait; rationaliser un dénominateur simple.
Distinguer calcul exact et calcul approché; arrondir au rang demandé.
Utiliser des critères de divisibilité et raisonner avec la notation \(b\mid a\).
Décomposer un entier en facteurs premiers et utiliser \(PGCD\) (et \(PPCM\)).

Pièges fréquents

\(-3^2 = -9\) alors que \(( -3 )^2 = 9\).
\(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Arrondir trop tôt (→ erreurs cumulées) : on arrondit à la fin.
Oublier le domaine : \(\dfrac{1}{x}\) interdit en \(x=0\), \(\sqrt{x}\) impose \(x\ge 0\).

Réflexe “copie propre” : j’écris les étapes, je justifie les transformations, puis je donne la réponse encadrée.

2) Priorités opératoires

Règle (ordre de calcul)

Priorité	Ce qu’on fait
1 Parenthèses	De l’intérieur vers l’extérieur.
2 Puissances / racines	Calculer \(a^n\), \(\sqrt{a}\), puis simplifier si besoin.
3 × et ÷	De gauche à droite.
4 + et −	De gauche à droite.

Pièges

\( -3^2 = -(3^2) = -9 \)
\( ( -3 )^2 = 9 \)
\( a:b:c \) (division) se lit de gauche à droite : \((a:b):c\).
\(\sqrt{a} = a^{1/2}\) (utile pour relier “racine” et “puissance”).

Exemple 1 — Calcul direct

Calculer \(A = 5 + 3\times 4^2\).

\(4^2=16\).
\(3\times 16=48\).
\(A=5+48=53\).

Résultat : \(\boxed{A=53}\)

Exemple 2 — Parenthèses + puissances

Calculer \(B=(7+5)^2-3\times 2\).

\(7+5=12\), donc \((7+5)^2=12^2=144\).
\(3\times 2=6\).
\(B=144-6=138\).

Résultat : \(\boxed{B=138}\)

3) Puissances

Définition

Pour \(n\in\mathbb{N}\) : \[ a^n=\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}_{n\ \text{facteurs}}. \] Convention : \(a^0=1\) si \(a\neq 0\).

Règles (même base)

\[ a^m\times a^n=a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq 0) \] \[ (a^m)^n=a^{mn} \]

Exposant négatif

Pour \(a\neq 0\) et \(n\in\mathbb{N}\) : \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]

Exemple 3 — Simplification (produit/quotient)

Simplifier \(C=\dfrac{2^5\times 2^3}{2^4}\).

\(2^5\times 2^3=2^{5+3}=2^8\).
\(\dfrac{2^8}{2^4}=2^{8-4}=2^4=16\).

Résultat : \(\boxed{C=16}\)

Attention : en général, \(a^m+a^n\neq a^{m+n}\).

4) Racine carrée

Définition

Pour \(a\ge 0\), \(\sqrt{a}\) est l’unique réel \(\ge 0\) tel que \[ (\sqrt{a})^2=a. \]

Très important : \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Propriétés utiles

\[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\ (a,b\ge 0) \] \[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a\ge 0,\ b>0) \]

Faux : \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Exemple 4 — Simplifier \(\sqrt{50}\)

\(50=25\times 2\).
\(\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{2}=5\sqrt{2}\).

Résultat : \(\boxed{\sqrt{50}=5\sqrt{2}}\)

Exemple 5 — Rationaliser \(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

On multiplie haut et bas par \(\sqrt{2}\).
\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

Résultat : \(\boxed{\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}\)

5) Calcul exact / calcul approché

Calcul exact

On garde une écriture “propre” : \[ 5\sqrt{3}\qquad \frac{7}{12}\qquad 2^{-3} \]

Calcul approché

On donne une valeur décimale utile pour comparer : \[ 5\sqrt{3}\approx 8{,}66 \]

Exemple 6 — Exact puis approché : \(D=\sqrt{72}\)

Exact : \(72=36\times 2\) donc \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\).
Approché : \(\sqrt{2}\approx 1{,}414\) donc \(D\approx 6\times 1{,}414\approx 8{,}484\approx 8{,}48\) (au centième).

Résultats : \(\boxed{D=6\sqrt{2}}\) et \(\boxed{D\approx 8{,}48}\).

Règle : on arrondit au rang demandé en regardant le chiffre suivant. Et surtout : pas d’arrondis au milieu du calcul.

6) Diviseurs et multiples (divisibilité)

Définition

Pour des entiers \(a\) et \(b\) (\(b\neq 0\)) :

\(a\) est multiple de \(b\) s’il existe un entier \(k\) tel que \(a=bk\).
\(b\) divise \(a\) si \(a=bk\) pour un entier \(k\).
Notation : \(b\mid a\).

Critères pratiques

par 2 : chiffre des unités pair
par 5 : termine par 0 ou 5
par 10 : termine par 0
par 3 : somme des chiffres multiple de 3
par 9 : somme des chiffres multiple de 9

Propriété (preuves rapides)

Si \(a\mid b\) et \(a\mid c\), alors \(a\mid (b+c)\) et \(a\mid (b-c)\).

Exemple : si \(3\mid 21\) et \(3\mid 57\), alors \(3\mid (21+57)=78\).

Exemple 7 — Vérifier une divisibilité

Montrer que \(36\) est multiple de \(6\) : \[ 36=6\times 6 \Rightarrow 6\mid 36. \]

Conclusion : \(\boxed{6\mid 36}\).

7) Nombres premiers et décomposition

Définition

Un entier \(p\ge 2\) est premier s’il a exactement deux diviseurs : \(1\) et \(p\).

Exemples : \(2,3,5,7,11,13,17,19,\dots\)

Test “premier” (niveau 2nde)

Pour savoir si \(n\) est premier, il suffit de tester les diviseurs premiers \(\le \sqrt{n}\).

Exemple : \(\sqrt{91}\approx 9{,}5\), on teste \(2,3,5,7\). On trouve \(91=7\times 13\) ⇒ pas premier.

Décomposition en facteurs premiers

Tout entier \(n\ge 2\) s’écrit comme produit de nombres premiers (décomposition unique).

Exemple 8 — Décomposer \(84\)

\(84=2\times 42\)
\(42=2\times 21\)
\(21=3\times 7\)

Donc : \[ \boxed{84=2^2\times 3\times 7}. \]

8) PGCD (et PPCM)

Définition

Le PGCD de deux entiers \(a\) et \(b\) est le plus grand entier qui divise à la fois \(a\) et \(b\).

Méthode 1 — Facteurs premiers

On décompose \(a\) et \(b\), puis on garde les facteurs communs avec le plus petit exposant.

Méthode 2 — Algorithme d’Euclide

On enchaîne \(a=bq+r\), puis on recommence avec \((b,r)\). Quand \(r=0\), le dernier reste non nul est le PGCD.

Exemple 9 — \(PGCD(84,60)\) et simplification

Décompositions : \[ 84=2^2\times 3\times 7 \qquad;\qquad 60=2^2\times 3\times 5 \] Facteurs communs : \(2^2\) et \(3\). Donc : \[ \boxed{PGCD(84,60)=2^2\times 3=12}. \] Alors : \[ \frac{84}{60}=\frac{84\div 12}{60\div 12}=\frac{7}{5}. \]

Résultat : \(\boxed{\frac{84}{60}=\frac{7}{5}}\).

PPCM (bonus utile)

Pour \(a>0\) et \(b>0\) : \[ \boxed{\mathrm{PPCM}(a,b)=\frac{a\times b}{\mathrm{PGCD}(a,b)}}. \] Exemple : \(\mathrm{PPCM}(84,60)=\dfrac{84\times 60}{12}=420\).

Exemple 10 — “Lots identiques” (application PGCD)

On veut faire des lots identiques avec 84 stylos et 60 cahiers.

Nombre maximal de lots : \(PGCD(84,60)=12\).
Stylos par lot : \(\dfrac{84}{12}=7\).
Cahiers par lot : \(\dfrac{60}{12}=5\).

Conclusion : \(\boxed{12\ \text{lots}}\) de \(\boxed{7\ \text{stylos}}\) et \(\boxed{5\ \text{cahiers}}\).

9) Mini-formulaire (à connaître)

Puissances

\[ a^m a^n=a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq 0) \] \[ (a^m)^n=a^{mn} \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ (a\neq 0) \]

Racines

\[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\ (a,b\ge 0) \qquad \sqrt{a^2}=|a| \] \[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (b>0) \]

Divisibilité

\(b\mid a \iff \exists k\in\mathbb{Z},\ a=bk\).

Si \(a\mid b\) et \(a\mid c\) alors \(a\mid(b+c)\) et \(a\mid(b-c)\).

Checklist “copie parfaite”

Je respecte les priorités et j’écris les étapes.
Je sais simplifier des puissances (même base) et gérer les exposants négatifs.
Je sais simplifier une racine (extraction d’un carré parfait) et rationaliser un dénominateur simple.
Je fais le calcul exact d’abord, puis l’approché si demandé (arrondi à la fin).
Je maîtrise les critères de divisibilité et la notation \(b\mid a\).
Je sais décomposer un entier en facteurs premiers.
Je sais calculer un PGCD, simplifier une fraction, et utiliser \(PPCM\) si besoin.

Dernier rappel : notation FR : intervalles \([a ; b]\) (et pas \([a, b]\)).