Quiz — Calcul numérique et arithmétique

20 questions pièges : priorités opératoires, puissances, racines, exact vs approché, divisibilité, nombres premiers, PGCD/PPCM.

Niveau : 20/20 2nde
Quiz — Calcul numérique et arithmétique

20 questions pièges : priorités opératoires, puissances, racines, exact vs approché, divisibilité, nombres premiers, PGCD/PPCM.

Score : 0 / 20 0 vérifiées
Q1. Calculer : \(-2^4 + 3(-2)^3 - [1-3^2]\). Non vérifié
Indice
Attention : \(-2^4=-(2^4)\) alors que \((-2)^4\) serait positif.
Correction
On calcule bloc par bloc :
\(-2^4=-(2^4)=-16\).
\((-2)^3=-8\) donc \(3(-2)^3=3\times(-8)=-24\).
\([1-3^2]=1-9=-8\).
Donc \(-16-24-(-8)=-40+8=-32\).
Q2. Calculer : \(\left(\dfrac34-\dfrac56\right)\div\left(\dfrac12-\dfrac13\right)\). Non vérifié
Indice
Calcule séparément numérateur et dénominateur, puis divise (multiplie par l’inverse).
Correction
\(\frac34-\frac56=\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=-\frac1{12}\).
\(\frac12-\frac13=\frac16\).
Donc \(\left(-\frac1{12}\right)\div\frac16=\left(-\frac1{12}\right)\times6=-\frac12\).
Q3. Calculer : \(\dfrac{2^{-3}\cdot4^2}{8^{-1}}\). Non vérifié
Indice
Tout mettre en base 2 : \(4=2^2\), \(8=2^3\).
Correction
\(4^2=(2^2)^2=2^4\). Donc le numérateur vaut \(2^{-3}\cdot2^4=2^{1}=2\).
\(8^{-1}=(2^3)^{-1}=2^{-3}=\frac18\).
Donc \(2\div\frac18=2\times8=16\).
Q4. Simplifier : \(\sqrt{432}-3\sqrt{48}+\sqrt{27}\). Non vérifié
Indice
Extraire les carrés parfaits : \(432=144\cdot3\), \(48=16\cdot3\), \(27=9\cdot3\).
Correction
\(\sqrt{432}=\sqrt{144\cdot3}=12\sqrt3\).
\(3\sqrt{48}=3\sqrt{16\cdot3}=3\cdot4\sqrt3=12\sqrt3\).
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3\).
Donc \(12\sqrt3-12\sqrt3+3\sqrt3=3\sqrt3\).
Q5. Quelle expression est une écriture exacte de \(\sqrt{50}\) ? Non vérifié
Indice
Une valeur exacte n’utilise pas d’arrondi décimal.
Correction
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\).
\(7{,}07\) est une approximation ; \([7 ; 8]\) est un encadrement ; \(\frac{25}{\sqrt2}\neq\sqrt{50}\).
Q6. Encadrer \(\sqrt{13}\) par deux centièmes consécutifs \([a ; b]\). Non vérifié
Indice
Comparer \(3{,}60^2\) et \(3{,}61^2\) à 13.
Correction
\(3{,}60^2=12{,}96<13\) et \(3{,}61^2=13{,}0321>13\). Donc \(\sqrt{13}\in[3{,}60 ; 3{,}61]\).
Q7. Si \(N=2^4\cdot3^3\cdot5^2\), combien \(N\) a-t-il de diviseurs positifs ? Non vérifié
Indice
Formule : si \(N=\prod p_i^{a_i}\), alors nb diviseurs = \(\prod(a_i+1)\).
Correction
Nombre de diviseurs : \((4+1)(3+1)(2+1)=5\cdot4\cdot3=60\).
Q8. Lequel de ces nombres est premier ? Non vérifié
Indice
Tester les diviseurs premiers \(\le \sqrt{n}\). Ici \(\sqrt{419}\approx 20{,}4\).
Correction
\(341=11\cdot31\).
\(391=17\cdot23\).
\(451=11\cdot41\).
Pour 419, aucun diviseur premier parmi \(2,3,5,7,11,13,17,19\). Donc 419 est premier.
Q9. Calculer : \(\gcd(84;126)+\mathrm{ppcm}(84;126)\). Non vérifié
Indice
Décompose : \(84=2^2\cdot3\cdot7\), \(126=2\cdot3^2\cdot7\).
Correction
\(\gcd=2\cdot3\cdot7=42\).
\(\mathrm{ppcm}=2^2\cdot3^2\cdot7=252\).
Somme : \(42+252=294\).
Q10. Pour tout entier \(n\), \(n^3-n\) est toujours divisible par : Non vérifié
Indice
Factoriser en produit de trois entiers consécutifs.
Correction
\(n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)\).
Parmi trois consécutifs, un multiple de 3 ; parmi deux consécutifs, un pair. Donc multiple de 6.
Q11. Reste de la division de \(7^{2025}+4^{2025}\) par \(5\) ? Non vérifié
Indice
Modulo 5 : \(7\equiv2\) et \(4\equiv-1\). Période 4.
Correction
\(7^{2025}\equiv2^{2025}\pmod5\). Or \(2^4\equiv1\), donc \(2^{2025}\equiv2^{1}\equiv2\).
\(4^{2025}\equiv(-1)^{2025}\equiv-1\equiv4\).
Somme \(\equiv2+4=6\equiv1\pmod5\).
Q12. Si \(p\) est premier impair, quelle affirmation est toujours vraie ? Non vérifié
Indice
Écris \(p=2k+1\), puis développe \(p^2-1\).
Correction
\(p^2-1=(2k+1)^2-1=4k(k+1)\).
Or \(k(k+1)\) est pair, donc \(k(k+1)=2m\).
Ainsi \(p^2-1=8m\), donc multiple de 8.
Q13. Calculer exactement : \(\dfrac{3^5\cdot9^{-2}}{27^{-1}}\). Non vérifié
Indice
Tout mettre en base 3.
Correction
\(9^{-2}=3^{-4}\), \(27^{-1}=3^{-3}\).
Donc \(\dfrac{3^5\cdot3^{-4}}{3^{-3}}=3^{5-4-(-3)}=3^4=81\).
Q14. Simplifier exactement : \(\dfrac{\sqrt{75}+\sqrt{12}}{\sqrt3}\). Non vérifié
Indice
Écrire \(\sqrt{75}=5\sqrt3\) et \(\sqrt{12}=2\sqrt3\).
Correction
\(\sqrt{75}=5\sqrt3\), \(\sqrt{12}=2\sqrt3\). Numérateur : \(7\sqrt3\).
Donc \(\dfrac{7\sqrt3}{\sqrt3}=7\).
Q15. Donner un encadrement au millième de \(\sqrt7\) sous la forme \([a ; b]\). Non vérifié
Indice
Comparer \(2{,}645^2\) et \(2{,}646^2\) à 7.
Correction
\(2{,}645^2=6{,}996025<7\) et \(2{,}646^2=7{,}001316>7\).
Donc \(\sqrt7\in[2{,}645 ; 2{,}646]\).
Q16. Trouver le plus petit entier \(n>0\) tel que \(540n\) soit un carré parfait. Non vérifié
Indice
Décomposer \(540\) et rendre tous les exposants pairs.
Correction
\(540=2^2\cdot3^3\cdot5\). Pour obtenir un carré parfait il faut des exposants pairs : on multiplie par \(3\cdot5\).
Donc \(n_{min}=15\).
Q17. On écrit \(1260=2^x\cdot3^y\cdot5^z\cdot7\). Donner \((x; y; z)\). Non vérifié
Indice
Commence par \(1260=126\times10\).
Correction
\(1260=(2\cdot3^2\cdot7)(2\cdot5)=2^2\cdot3^2\cdot5^1\cdot7\). Donc \((x; y; z)=(2;2;1)\).
Q18. Sachant \(\gcd(a;b)=18\), \(\mathrm{ppcm}(a;b)=1260\), \(a=180\), calculer \(b\). Non vérifié
Indice
Utiliser \(a\times b=\gcd(a;b)\times\mathrm{ppcm}(a;b)\).
Correction
\(180b=18\times1260=22680\) donc \(b=\dfrac{22680}{180}=126\).
Q19. Reste de la division de \(2^{100}+3^{100}\) par \(5\). Non vérifié
Indice
\(2^4\equiv1\pmod5\) et \(3^4\equiv1\pmod5\).
Correction
\(2^{100}=(2^4)^{25}\equiv1\) et \(3^{100}=(3^4)^{25}\equiv1\).
Somme \(\equiv2\pmod5\). Reste : 2.
Q20. Trouver \(q\) tel que \(111111=37q\). Non vérifié
Indice
Écris \(111111=111\times1001\), et décompose.
Correction
\(111111=(3\times37)(7\times11\times13)=37\times3003\). Donc \(q=3003\).
Clavier