2nde Maths 3 Calcul littéral & identités remarquables

Calcul littéral et identités remarquables

Manipuler des expressions littérales, développer et factoriser, maîtriser les identités remarquables et les utiliser pour calculer efficacement.

2nde Calcul littéral Cours
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1. Expressions algébriques et polynômes

En Seconde, on manipule beaucoup d’expressions algébriques contenant des lettres (variables) comme \(x, a, t\). Exemple : \(E(x) = 3x - 2(x - 5)\).

Une expression comme \[ P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 \] est un polynôme en \(x\). On définit :

  • le degré : ici 3 (à cause du terme \(2x^3\)) ;
  • le coefficient dominant : ici 2 ;
  • les termes : \(2x^3\), \(-5x^2\), \(3x\), \(-1\).

Réduire une expression, c’est regrouper les termes de même nature (même puissance de \(x\)) : \[ 5x - 2x + 3 - 7 = 3x - 4. \]

2. Développer : distributivité et double distributivité

2.1. Distributivité simple

Pour tous réels \(a,b,c\) : \[ a(b + c) = ab + ac,\qquad a(b - c) = ab - ac. \]

Exemple : \[ E(x) = 3x - 2(x - 5) = 3x - 2x + 10 = x + 10. \]

2.2. Double distributivité

Pour développer un produit de binômes : \[ (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd. \]

Exemple : \[ (2x - 3)(x + 5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15. \]

3. Identités remarquables (niveau 2nde)

Les trois identités classiques, à connaître parfaitement :

  • \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
  • \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
  • \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)

On peut les justifier en développant le membre de gauche avec la double distributivité. Exemple pour \((a + b)^2\) :

\[ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2. \]

En Seconde, on les utilise dans les deux sens :

  • pour développer rapidement : \((2x - 5)^2\), \((3x + 1)^2\), \((4x - 3)(4x + 3)\) ;
  • pour factoriser des polynômes : \(x^2 + 6x + 9\), \(9x^2 - 16\), etc.

4. Factorisation : stratégies de 2nde

4.1. Mise en évidence

On met en évidence un facteur commun :

\[ 7x^2 - 14x = 7x(x - 2),\qquad 4a^3 - 6a^2 = 2a^2(2a - 3). \]

4.2. Factorisation par identité remarquable

Lorsque l’expression ressemble à une identité remarquable :

  • \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\)
  • \(9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2\)
  • \(16x^2 - 9 = (4x - 3)(4x + 3)\)

4.3. Factorisation de trinommes du second degré simples

Pour un trinôme \(ax^2 + bx + c\) (avec \(a \neq 0\)), on cherche parfois à l’écrire sous la forme : \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \] quand les racines \(x_1, x_2\) sont simples (entiers ou fractions).

Exemple : \[ 2x^2 + x - 3 = 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 2x(x + 2) - 3(x + 2) = (2x - 3)(x + 2). \]

Cette technique (regrouper les termes deux à deux) est très utilisée en 2nde.

5. Équation produit nul et lien avec la factorisation

La propriété clé : \[ AB = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \text{ ou } B = 0. \]

Quand on a factorisé un polynôme, on peut résoudre une équation du type \(P(x) = 0\).

Exemple : \[ 2x^2 + x - 3 = 0 \iff (2x - 3)(x + 2) = 0 \iff 2x - 3 = 0 \text{ ou } x + 2 = 0 \iff x = \frac{3}{2} \text{ ou } x = -2. \]

En 2nde, on utilise souvent la factorisation pour relier les expressions algébriques aux solutions d’équations ou à l’étude de fonctions.

6. Calcul numérique avec identités remarquables

Les identités remarquables permettent de faire du calcul mental ou semi-mental :

  • \(99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2\times100\times1 + 1 = 9801\).
  • \(51^2 - 49^2 = (51 - 49)(51 + 49) = 2 \times 100 = 200\).
  • \(201 \times 199 = (200 + 1)(200 - 1) = 200^2 - 1 = 39999\).

Ces techniques sont très utiles en contrôle sans calculatrice, ou pour vérifier la cohérence des résultats donnés par la machine.