Fiche de révision — Calcul littéral et identités remarquables (2nde)
Réduction, développement, factorisation, identités remarquables et équation produit nul.
1. Polynômes et réduction
- Un polynôme en \(x\) est une somme de termes du type \(ax^n\) (avec \(n\) entier \(\ge 0\)).
- Le degré est la plus grande puissance de \(x\) présente.
- Réduire une expression = regrouper les termes de même degré : \[ 5x - 2x + 3 - 7 = 3x - 4. \]
2. Développement
- Distributivité : \[ a(b + c) = ab + ac,\quad a(b - c) = ab - ac. \]
- Double distributivité : \[ (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd. \]
- On développe pour enlever les parenthèses et obtenir une somme de termes.
3. Identités remarquables
À connaître et savoir utiliser dans les deux sens :
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)
Utilisations :
- Développer rapidement \((2x - 5)^2\), \((3x + 1)^2\), \((4x - 3)(4x + 3)\).
- Factoriser des trinommes ou des différences de carrés.
- Calculer des carrés de nombres proches de 100 ou des différences de carrés.
4. Factorisation
- Mise en évidence : \[ 6x^2 - 9x = 3x(2x - 3). \]
- Identité remarquable : \[ x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2,\quad 16x^2 - 9 = (4x - 3)(4x + 3). \]
- Regroupement (trinommes) : \[ 2x^2 + x - 3 = 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 2x(x + 2) - 3(x + 2) = (2x - 3)(x + 2). \]
5. Équation produit nul
- Propriété fondamentale : \[ AB = 0 \iff A = 0 \ \text{ou}\ B = 0. \]
- On factorise d’abord, puis on résout chaque facteur égal à 0.
- Exemple : \[ 2x^2 + x - 3 = 0 \iff (2x - 3)(x + 2) = 0 \iff x = \frac{3}{2} \ \text{ou}\ x = -2. \]
6. Stratégie globale en 2nde
- Observer d’abord : mise en évidence ? identité remarquable ? regroupement ?
- Choisir la forme la plus adaptée au problème :
- forme développée pour comparer, additionner, dériver plus tard ;
- forme factorisée pour résoudre une équation ou étudier le signe d’une expression.
- Soigner les signes et la structure des parenthèses.