Exercice 1 — Réduction d’expressions (niveau 2nde)
Réduire chaque expression et préciser le coefficient de \(x\) et le terme constant.
- a) \(E(x) = 5x - 2(3x - 4) + 7\)
- b) \(F(x) = 4 - (2x - 1) + 3x\)
- c) \(G(x) = 3(2x - 5) - (x - 2)\)
- d) \(H(x) = -2(3x + 1) + 5(x - 4)\)
Exercice 2 — Développement (distributivité et double distributivité)
Développer et réduire :
- a) \(2(3x - 5)\)
- b) \(-3(2x + 1) + 4(x - 2)\)
- c) \((2x - 3)(x + 5)\)
- d) \((3x - 4)(2x + 1)\)
- e) \((x - 3)(x - 7)\)
Exercice 3 — Développement avec identités remarquables
Développer et réduire en reconnaissant une identité remarquable :
- a) \((x + 5)^2\)
- b) \((2x - 7)^2\)
- c) \((3x + 2)(3x - 2)\)
- d) \((4x - 1)^2\)
- e) \((a - 3b)^2\)
Exercice 4 — Factorisation par mise en évidence
Factoriser :
- a) \(6x^2 - 9x\)
- b) \(8a^3 - 12a^2\)
- c) \(10x^2 + 15x\)
- d) \(7y - 14\)
- e) \(5x^3 - 20x^2\)
Exercice 5 — Factorisation avec identités remarquables
Factoriser les expressions suivantes :
- a) \(x^2 + 10x + 25\)
- b) \(9x^2 - 30x + 25\)
- c) \(16x^2 - 9\)
- d) \(4a^2 - 12a + 9\)
- e) \(25x^2 - 1\)
Exercice 6 — Factorisation de trinommes (regroupement)
Factoriser en regroupant judicieusement les termes :
- a) \(2x^2 + x - 3\)
- b) \(3x^2 - 5x - 2\)
- c) \(6x^2 + 7x - 3\)
- d) \(4x^2 - x - 3\)
Indication : écrire \(bx\) comme somme de deux termes pour retrouver une mise en évidence.
Exercice 7 — Équations et équation produit nul
Résoudre les équations suivantes en factorisant d’abord le membre de gauche :
- a) \(x^2 - 9 = 0\)
- b) \(x^2 + 8x + 16 = 0\)
- c) \(2x^2 + x - 3 = 0\)
- d) \(9x^2 - 30x + 25 = 0\)
Exercice 8 — Vérifier une égalité algébrique
Montrer, par un calcul littéral (sans valeurs numériques), que les égalités suivantes sont vraies pour tout réel \(x\) pour lequel elles ont un sens :
- a) \((x + 2)^2 - (x - 2)^2 = 8x\)
- b) \((2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\)
- c) \((x + 1)(x - 1) = x^2 - 1\)
Exercice 9 — Problème géométrique avec calcul littéral
On considère un rectangle de longueur \(L = x + 3\) et de largeur \(\ell = x - 1\) (en cm).
- Exprimer l’aire \(A(x)\) du rectangle en fonction de \(x\).
- Développer et réduire \(A(x)\).
- Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on une aire de \(40\ \text{cm}^2\) ?
Exercice 10 — Calcul numérique avec identités remarquables
Calculer rapidement, sans calculatrice, en expliquant la méthode utilisée :
- a) \(101^2 - 99^2\)
- b) \(19^2\)
- c) \(203 \times 197\)
- d) \(49^2 - 1\)