✏️ Exercices — Variables aléatoires simples
Thèmes : variable aléatoire discrète • loi de probabilité • tableau de loi • espérance • interprétation.
Objectif : savoir construire une loi de probabilité simple, calculer une espérance et interpréter le résultat.
Exercice 1 — Variable aléatoire sur une pièce
1ère STMGOn lance une pièce équilibrée.
On définit la variable aléatoire \(X\) par :
- \(X=1\) si on obtient pile,
- \(X=0\) si on obtient face.
Donner la loi de probabilité de \(X\).
Exercice 2 — Variable aléatoire sur un dé
1ère STMGOn lance un dé équilibré et on note \(X\) le nombre obtenu.
Quelles sont les valeurs possibles de \(X\) ?
Exercice 3 — Somme des probabilités
1ère STMGOn donne la loi suivante :
\[ \begin{array}{c|ccc} x_i & 0 & 2 & 5 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}5 \end{array} \]
Vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité.
Exercice 4 — Calculer une espérance simple
1ère STMGOn donne la loi :
\[ \begin{array}{c|ccc} x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \end{array} \]
Calculer \(E(X)\).
Exercice 5 — Espérance d’un dé
1ère STMGOn lance un dé équilibré et on note \(X\) le nombre obtenu.
Calculer \(E(X)\).
Exercice 6 — Jeu à deux issues
1ère STMGOn joue à un jeu :
- on gagne 10 € avec la probabilité 0,3 ;
- on gagne 0 € avec la probabilité 0,7.
On note \(X\) le gain en euros. Donner la loi de \(X\).
Exercice 7 — Espérance d’un jeu
1ère STMGOn reprend le jeu précédent :
- 10 € avec la probabilité 0,3 ;
- 0 € avec la probabilité 0,7.
Calculer l’espérance du gain.
Exercice 8 — Variable aléatoire et tableau
1ère STMGOn donne la loi de \(X\) :
| \(x_i\) | 1 | 4 | 7 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Calculer \(E(X)\).
Exercice 9 — Compléter une probabilité manquante
1ère STMGOn donne la loi suivante :
| \(x_i\) | 0 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,2 | 0,5 | ? |
Compléter la probabilité manquante.
Exercice 10 — Interpréter une espérance
1ère STMGUne variable aléatoire \(X\) modélise le bénéfice d’une vente en euros.
On sait que :
\[ E(X)=12{,}5 \]
Interpréter ce résultat.
Exercice 11 — Loi d’un score
1ère STMGUn quiz donne :
- 0 point avec la probabilité 0,2 ;
- 1 point avec la probabilité 0,5 ;
- 2 points avec la probabilité 0,3.
Calculer le score moyen espéré.
Exercice 12 — Exercice complet
1ère STMGOn considère un jeu où le gain \(X\) en euros est défini ainsi :
- on gagne 0 € avec la probabilité 0,4 ;
- on gagne 5 € avec la probabilité 0,4 ;
- on gagne 10 € avec la probabilité 0,2.
- (a) Donner la loi de probabilité de \(X\).
- (b) Vérifier que c’est bien une loi de probabilité.
- (c) Calculer \(E(X)\).
- (d) Interpréter le résultat.