Variables Aleatoires Simples
1ERE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Variables aléatoires simples
Variable aléatoire discrète • loi de probabilité • tableau de loi • espérance • interprétation d’une espérance
1) Définition d’une variable aléatoire
Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.
On la note souvent \(X\).
À chaque résultat possible de l’expérience, la variable \(X\) attribue une valeur numérique.
Exemple
On lance une pièce.
On peut définir la variable aléatoire \(X\) par :
- \(X=1\) si on obtient pile,
- \(X=0\) si on obtient face.
Autre exemple
On lance un dé équilibré et on note le nombre obtenu.
Alors \(X\) peut prendre les valeurs :
\[
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6.
\]
Une variable aléatoire n’est pas « aléatoire » parce qu’elle change sans règle : elle dépend des issues d’une expérience aléatoire bien définie.
2) Loi de probabilité
La loi de probabilité d’une variable aléatoire donne :
- les valeurs que peut prendre la variable,
- la probabilité associée à chacune de ces valeurs.
Si \(X\) peut prendre les valeurs \(x_1,\dots,x_n\), alors :
\[
P(X=x_1)+P(X=x_2)+\cdots+P(X=x_n)=1.
\]
Exemple simple
On lance une pièce équilibrée et on définit :
- \(X=1\) si pile,
- \(X=0\) si face.
3) Tableau de loi
On présente souvent la loi de probabilité dans un tableau.
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Ici, la variable aléatoire \(X\) peut prendre trois valeurs :
\[
0,\ 1,\ 2.
\]
On vérifie que :
\[
0{,}2+0{,}5+0{,}3=1.
\]
Le tableau peut donc bien représenter une loi de probabilité.
4) Espérance d’une variable aléatoire
L’espérance d’une variable aléatoire est la moyenne pondérée de ses valeurs par leurs probabilités.
Si \(X\) prend les valeurs \(x_1,\dots,x_n\), alors :
\[
E(X)=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+\cdots+x_nP(X=x_n).
\]
Idée
L’espérance correspond à la valeur moyenne obtenue lorsque l’expérience est répétée un très grand nombre de fois.
Important
L’espérance n’est pas forcément une valeur que la variable peut réellement prendre.
Exemple
Pour la loi :
\[
\begin{array}{c|ccc}
x_i & 0 & 1 & 2\\
\hline
P(X=x_i) & 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3
\end{array}
\]
on a :
\[
E(X)=0\times 0{,}2+1\times 0{,}5+2\times 0{,}3.
\]
Donc :
\[
E(X)=0+0{,}5+0{,}6=1{,}1.
\]
5) Calculer une loi et une espérance
Prenons un exemple concret.
Exemple : gain sur un jeu
On lance une pièce équilibrée :
- si on obtient pile, on gagne 4 € ;
- si on obtient face, on gagne 0 €.
| \(x_i\) | 0 | 4 |
|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,5 | 0,5 |
L’espérance vaut :
\[
E(X)=0\times 0{,}5+4\times 0{,}5=2.
\]
En moyenne, ce jeu rapporte 2 € par partie.
6) Interpréter l’espérance
L’espérance sert souvent à interpréter une situation économique ou probabiliste :
- gain moyen d’un jeu,
- coût moyen,
- bénéfice moyen,
- nombre moyen attendu dans une situation aléatoire.
Dire que \(E(X)=2{,}4\) ne signifie pas que l’on obtiendra forcément 2,4 dans la réalité.
Cela signifie qu’à long terme, la moyenne des résultats se rapproche de 2,4.
Exemple d’interprétation
Si une variable aléatoire \(X\) représente un gain en euros et que :
\[
E(X)=1{,}8,
\]
alors on dit que le gain moyen espéré par partie est de 1,8 €.
7) Méthode type
Pour traiter un exercice sur les variables aléatoires simples :
- identifier clairement l’expérience aléatoire ;
- définir la variable aléatoire \(X\) ;
- déterminer toutes les valeurs possibles de \(X\) ;
- calculer les probabilités associées ;
- présenter la loi dans un tableau ;
- vérifier que la somme des probabilités vaut 1 ;
- calculer l’espérance \(E(X)\) ;
- interpréter le résultat dans le contexte.
Réflexe important : une variable aléatoire porte presque toujours sur un gain, un coût, un score, un nombre d’objets ou un résultat numérique.
8) Formulaire
\[
\sum P(X=x_i)=1
\]
\[
E(X)=\sum x_i\,P(X=x_i)
\]
\[
\text{L’espérance est une moyenne pondérée}
\]
\[
\text{Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue}
\]