Exercices corrigés — Suites numériques (1ère STMG)

\(u(0)=2\), \(u(1)=5\), \(u(5)=17\) et \(u(12)=38\). Le point de rang \(5\) est donc \(A(5;17)\). Comme \(3n+2\) augmente lorsque \(n\) augmente, la suite est croissante.

\(v(0)=50\), \(v(3)=38\) et \(v(10)=10\). La quantité diminue de \(4\) unités par étape. On a \(v(12)=2\geq0\) et \(v(13)=-2<0\). Le dernier rang convenable est donc \(\boxed{12}\).

\(u(1)=12\), \(u(2)=17\), \(u(3)=22\), \(u(4)=27\). On ajoute \(5\) à chaque étape. La suite est donc arithmétique de raison \(\boxed{5}\).

\(v(1)=72\), \(v(2)=64{,}8\), \(v(3)=58{,}32\). Le coefficient multiplicateur \(0{,}9\) correspond à une diminution de \(10\,\%\) par étape. Comme \(0<0{,}9<1\) et que les termes sont positifs, la suite est décroissante.

Les écarts valent toujours \(3\). La suite est arithmétique de raison \(3\), avec \(u(0)=4\). Ainsi \(\boxed{u(n)=4+3n}\).

Les points \((0;4)\), \((1;7)\), \((2;10)\), \((3;13)\) et \((4;16)\) sont alignés, ce qui est cohérent avec le modèle arithmétique.

La récurrence est \(u(n+1)=u(n)+7\). Le terme explicite est \(\boxed{u(n)=12+7n}\).

Alors \(u(n+1)-u(n)=[12+7(n+1)]-(12+7n)=7\), ce qui démontre à partir de l’expression explicite que la suite est arithmétique de raison \(7\).

Enfin \(u(20)=12+140=\boxed{152}\). Comme \(r=7>0\), la suite est strictement croissante.

\(u(2)=42\), \(u(3)=39\), \(u(4)=36\). Puis \(u(n)=45-3(n-1)=48-3n\). Ainsi \(u(10)=18\). Enfin \(48-3n=0\), donc \(\boxed{n=16}\).

\(u(1)=208\), \(u(2)=216{,}32\), \(u(3)=224{,}9728\). La récurrence est \(u(n+1)=1{,}04u(n)\). Le terme explicite est \(\boxed{u(n)=200\times1{,}04^n}\).

À partir de cette expression, \(u(n+1)=200\times1{,}04^{n+1}=1{,}04\times[200\times1{,}04^n]=1{,}04u(n)\). Cela confirme que la suite est géométrique de raison \(1{,}04\).

Comme \(q>1\), la suite est strictement croissante.

La raison est \(q=0{,}85\), soit une baisse de \(15\,\%\) par étape. \(\boxed{v(n)=500\times0{,}85^n}\). Enfin \(v(4)=500\times0{,}85^4\approx\boxed{261{,}00}\). La suite est décroissante.

A est arithmétique de raison \(3\). B est géométrique de raison \(2\). C n’est ni arithmétique ni géométrique. D est géométrique de raison \(0{,}9\).

\(C(0)=2500\), \(C(1)=2680\), \(C(2)=2860\). La suite est arithmétique de raison \(180\). Ainsi \(\boxed{C(n)=2500+180n}\) et \(C(5)=\boxed{3400\text{ €}}\).

Le coefficient est \(1{,}03\). Donc \(C(n+1)=1{,}03C(n)\), avec \(C(0)=4000\), puis \(\boxed{C(n)=4000\times1{,}03^n}\). Ainsi \(C(4)\approx\boxed{4502{,}04\text{ €}}\).

\(A(0)=1250\) et \(A(n+1)=1{,}08A(n)\). La suite est géométrique de raison \(1{,}08\), donc \(\boxed{A(n)=1250\times1{,}08^n}\). On obtient \(A(6)\approx\boxed{1984}\) abonnés.

Le coefficient est \(0{,}82\), donc \(\boxed{V(n)=24000\times0{,}82^n}\). \(V(3)\approx\boxed{13233\text{ €}}\). Puis \(V(3)\approx13233>12000\) et \(V(4)\approx10851<12000\). Le seuil est franchi à partir de \(\boxed{4\text{ ans}}\).

\(S(0)=800\) et \(S(n+1)=S(n)-35\). Donc \(\boxed{S(n)=800-35n}\). \(S(12)=380\). Or \(S(14)=310\) et \(S(15)=275\). Le stock devient inférieur à \(300\) à la \(\boxed{15^\text{e}}\) semaine.

1. \(B(0)=600\), \(B(1)=1200\), \(B(2)=2400\) et \(B(3)=4800\).

2. La suite est géométrique de raison \(2\), donc \(\boxed{B(n)=600\times2^n}\).

3. Quinze heures correspondent à \(5\) périodes de \(3\) heures : \(B(5)=600\times2^5=\boxed{19200}\).

4. \(B(4)=9600<10000\) et \(B(5)=19200>10000\). Le seuil est donc dépassé après \(\boxed{15\text{ h}}\).

A est arithmétique de raison \(80\), B est géométrique de raison \(1{,}06\). \(A(10)=1800\) et \(B(10)\approx1791\). Puis \(A(11)=1880\) et \(B(11)\approx1898\). Les calculs des rangs précédents montrent que le premier dépassement a lieu au rang \(\boxed{11}\).

\(a\) est arithmétique de raison \(3\). Ses points sont alignés sur une droite. \(b\) est géométrique de raison \(1{,}5\). Son nuage de points présente une croissance exponentielle : les points ne sont pas alignés.

1. Les termes sont \(1,2,5,10,17\).

2. Les différences sont \(1,3,5,7\) : elles ne sont pas constantes, donc la suite n’est pas arithmétique.

3. Les quotients commencent par \(2\) puis \(5/2\) : ils ne sont pas constants, donc la suite n’est pas géométrique.

4. \(w(n+1)-w(n)=(n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1>0\) pour tout \(n\in\mathbb N\). La suite est donc strictement croissante.

En A3 : =A2+1. En B3 : =B2*1,025 (ou la syntaxe locale équivalente). Recopier ensuite les deux formules vers le bas. Le modèle est \(\boxed{u(n)=1200\times1{,}025^n}\), donc \(u(12)\approx\boxed{1613{,}87}\).

def terme(u0, r, n):
    u = u0
    for k in range(n):
        u = u + r
    return u

Le programme calcule le terme de rang \(n\) d’une suite arithmétique de premier terme \(u(0)=u0\) et de raison \(r\). Ici \(u(8)=75+8\times12=\boxed{171}\). Le terme explicite est \(u(n)=u0+nr\).

1. La boucle doit continuer tant que le seuil n’est pas franchi : while u >= 800:.

2. À chaque itération, on remplace \(u\) par \(0{,}97u\) et on augmente le compteur \(n\) de \(1\). On obtient \(u(7)\approx807{,}98\), puis \(u(8)\approx783{,}74\).

3. Le premier rang tel que \(u(n)<800\) est donc \(\boxed{8}\).

Les termes sont \(150,170,190,210,230,250\). Leur somme vaut \(\boxed{1200\text{ €}}\). Un algorithme peut initialiser s=0, puis ajouter successivement chaque terme à s dans une boucle.

Les valeurs sont \(200\), \(220\), \(242\), \(266{,}2\) et \(292{,}82\). Le total vaut \(\boxed{1221{,}02}\). Dans un tableur, une colonne génère les termes par multiplication par \(1{,}10\), puis une cellule utilise la somme de la plage.

\(57-37=20\) sur \(5\) pas, donc \(r=4\). Puis \(u(0)=37-4\times4=21\). Ainsi \(\boxed{u(n)=21+4n}\). Vérification : \(u(9)=21+36=57\).

\(576=72q^3\), donc \(q^3=8\) et, comme \(q>0\), \(\boxed{q=2}\). Puis \(u(2)=u(0)\times2^2\), donc \(u(0)=72/4=18\). Finalement \(\boxed{u(n)=18\times2^n}\).

\(\boxed{A(n)=3000+150n}\) est un modèle linéaire discret. \(\boxed{B(n)=3000\times1{,}05^n}\) est un modèle exponentiel discret. \(A(10)=4500\) et \(B(10)\approx4887\). Au bout de dix mois, le scénario B prévoit environ \(387\) clients de plus.

1. \(A(n)=1800+60n\) et \(B(n)=1800\times1{,}03^n\).

2. \(A(5)=2100\) et \(B(5)\approx2086{,}69\).

3. \(B(7)\approx2213{,}77<A(7)=2220\), puis \(B(8)\approx2280{,}19>A(8)=2280\). Le premier dépassement se produit donc au rang \(\boxed{8}\).

\(u\) est arithmétique de raison \(40\), \(v\) est géométrique de raison \(1{,}07\). On obtient notamment \(u(4)=660\), \(v(4)\approx655{,}40\), puis \(u(5)=700\), \(v(5)\approx701{,}28\). Le premier dépassement se produit donc au rang \(\boxed{5}\).

\(u(0)=120\) et \(u(n+1)=1{,}10u(n)\), donc \(\boxed{u(n)=120\times1{,}10^n}\). On obtient \(u(6)\approx212{,}59\), soit environ \(\boxed{213}\) commandes. \(u(5)\approx193{,}26<200\) et \(u(6)>200\) : premier dépassement au mois \(\boxed{6}\). Enfin \(u(0)+\cdots+u(6)\approx\boxed{1138{,}46}\), soit environ \(1138\) commandes.