Suites Numeriques
1ERE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Suites numériques
Définition • calcul de termes • suites définies explicitement ou par récurrence • variations simples • applications en contexte
1) Définition d’une suite numérique
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres :
\[
u_0,\ u_1,\ u_2,\ u_3,\dots
\]
Chaque nombre est appelé un terme de la suite.
Une suite est donc une fonction particulière dont la variable est un entier naturel \(n\).
À chaque entier \(n\), on associe un nombre \(u_n\).
Exemple
La suite définie par :
\[
u_n=2n+1
\]
donne :
\[
u_0=1,\quad u_1=3,\quad u_2=5,\quad u_3=7.
\]
2) Notations
Notation générale
On note souvent une suite :
\[
(u_n)
\]
et son terme de rang \(n\) :
\[
u_n.
\]
Rang
Le rang indique la place du terme dans la suite.
Il peut commencer à \(0\) ou à \(1\) selon l’énoncé.
Il faut toujours faire attention au premier rang : \(u_0\) ou \(u_1\).
3) Suite définie par une expression explicite
Une suite est définie explicitement quand on peut calculer directement \(u_n\) à partir de \(n\).
Exemple :
\[
u_n=3n-2
\]
Calcul d’un terme
Pour calculer \(u_5\), on remplace \(n\) par \(5\) :
\[
u_5=3\times 5-2=13.
\]
Calcul de plusieurs termes
\[
u_0=-2,\quad u_1=1,\quad u_2=4,\quad u_3=7.
\]
4) Suite définie par récurrence
Une suite est définie par récurrence lorsqu’on donne :
- un premier terme,
- une formule permettant de calculer le terme suivant.
Exemple :
\[
u_0=4 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+3
\]
Calcul des premiers termes
On part de :
\[
u_0=4
\]
puis :
\[
u_1=u_0+3=7
\]
\[
u_2=u_1+3=10
\]
\[
u_3=u_2+3=13.
\]
Dans une définition par récurrence, on ne peut pas calculer directement \(u_{10}\) sans passer par les termes précédents, sauf si on connaît une formule explicite.
5) Sens de variation d’une suite
Suite croissante
La suite \((u_n)\) est croissante si :
\[
u_{n+1}\ge u_n
\]
pour tout \(n\).
Suite décroissante
La suite \((u_n)\) est décroissante si :
\[
u_{n+1}\le u_n
\]
pour tout \(n\).
Exemple
Si :
\[
u_{n+1}=u_n+2
\]
alors on ajoute toujours \(2\), donc la suite augmente à chaque étape.
Elle est donc croissante.
6) Applications simples
Les suites servent à modéliser des évolutions répétées :
Exemple économique
Un capital augmente chaque année d’un même montant.
On peut modéliser cette évolution par une suite définie par récurrence.
Exemple de population
Une population gagne un certain nombre d’individus chaque année.
Les effectifs successifs forment une suite.
Une suite permet de représenter l’évolution d’une grandeur au fil du temps.
7) Formulaire
\[
u_n = \text{expression en fonction de } n
\]
\[
u_{n+1} = \text{expression en fonction de } u_n
\]
\[
\text{suite croissante } \iff u_{n+1}\ge u_n
\]
\[
\text{suite décroissante } \iff u_{n+1}\le u_n
\]