Exercices corrigés — Dérivation Et Applications (1ère STMG)

La fonction est constante.

Donc : \[ \boxed{f'(x)=0} \]

On sait que : \[ (x)'=1 \]

Donc : \[ \boxed{f'(x)=1} \]

\[ (x^2)'=2x \]

Donc : \[ \boxed{f'(x)=2x} \]

\[ (x^3)'=3x^2 \]

Donc : \[ \boxed{f'(x)=3x^2} \]

\[ f'(x)=5\times(2x)=10x \]

Donc : \[ \boxed{f'(x)=10x} \]

\[ f'(x)=(x^2)'+(x)'=2x+1 \]

Donc : \[ \boxed{f'(x)=2x+1} \]

\[ f'(x)=6x-4 \]

car : \[ (3x^2)'=6x,\quad (-4x)'=-4,\quad (2)'=0 \]

Donc : \[ \boxed{f'(x)=6x-4} \]

On a : \[ f'(x)=2x \]

Donc : \[ f'(3)=2\times3=6 \]

Réponse : \[ \boxed{f'(3)=6} \]

\[ f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2 \]

L’équation est donc : \[ y=f'(1)(x-1)+f(1) \] soit \[ y=2(x-1)+1=2x-1 \]

Réponse : \[ \boxed{y=2x-1} \]

\[ f'(x)=2x-4 \]

On résout : \[ 2x-4=0 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \]

Donc : \[ \boxed{x=2} \]

Si \(f'(x)>0\) sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.

\[ \boxed{\text{La fonction est croissante}} \]

(a) \[ f'(x)=2x-2 \]

(b) \[ 2x-2=0 \iff x=1 \]

(c) Si \(x<1\), alors \(2x-2<0\), donc \(f\) est décroissante. Si \(x>1\), alors \(2x-2>0\), donc \(f\) est croissante.

Conclusion : \[ \boxed{f\text{ est décroissante puis croissante, avec minimum en }x=1} \]