Derivation Applications
1ERE-STMG • MATHS — Learna
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Cours — Dérivation et applications
Nombre dérivé • tangente • dérivée des fonctions usuelles • dérivation d’une somme et d’un multiple • étude du sens de variation
1) Le nombre dérivé
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), mesure la variation instantanée de la fonction au point d’abscisse \(a\).
En pratique, le nombre dérivé permet de savoir si la courbe :
- monte rapidement,
- descend,
- ou est presque horizontale au voisinage d’un point.
Interprétation
\(f'(a)\) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).
Signe
Si \(f'(a) > 0\), la courbe monte localement.
Si \(f'(a) < 0\), elle descend localement.
Si \(f'(a)=0\), la tangente est horizontale.
Exemple
Pour la fonction
\[
f(x)=x^2,
\]
on a
\[
f'(x)=2x.
\]
Donc :
\[
f'(3)=2\times 3=6.
\]
La tangente à la courbe au point d’abscisse \(3\) a donc pour pente \(6\).
2) Tangente à une courbe
La tangente à une courbe en un point est la droite qui « touche » la courbe en ce point et en donne la direction locale.
Le coefficient directeur de la tangente en \(a\) est précisément le nombre dérivé \(f'(a)\).
Équation
La tangente au point d’abscisse \(a\) a pour équation :
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a).
\]
Point de contact
La tangente passe par le point :
\[
(a ; f(a)).
\]
Exemple d’équation de tangente
Soit
\[
f(x)=x^2.
\]
On cherche la tangente en \(a=1\).
On calcule :
\[
f(1)=1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(1)=2.
\]
Donc l’équation de la tangente est :
\[
y=2(x-1)+1=2x-1.
\]
3) La fonction dérivée
Lorsque l’on associe à chaque \(x\) le nombre dérivé \(f'(x)\), on obtient une nouvelle fonction appelée fonction dérivée de \(f\).
La fonction dérivée donne, pour chaque valeur de \(x\), la pente de la tangente à la courbe.
Par exemple, si :
\[
f(x)=x^2,
\]
alors :
\[
f'(x)=2x.
\]
4) Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^2\) | \(2x\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) |
Il faut connaître ces dérivées par cœur : elles servent de base pour tous les calculs.
5) Règles de dérivation
Multiple d’une fonction
Si
\[
u(x)=k\,f(x),
\]
alors
\[
u'(x)=k\,f'(x).
\]
Somme
Si
\[
u(x)=f(x)+g(x),
\]
alors
\[
u'(x)=f'(x)+g'(x).
\]
Exemple
Soit
\[
f(x)=3x^2+2x-5.
\]
Alors :
\[
f'(x)=3\times 2x+2\times 1-0=6x+2.
\]
6) Dérivée et sens de variation
Le signe de \(f'(x)\) permet d’étudier le sens de variation de \(f\).
Si \(f'(x)>0\)
La fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle considéré.
Si \(f'(x)<0\)
La fonction \(f\) est décroissante sur l’intervalle considéré.
Si \(f'(x)=0\)
On recherche souvent un extremum local ou un changement de variation.
Étudier une fonction revient souvent à :
- calculer sa dérivée,
- étudier le signe de cette dérivée,
- en déduire les variations de la fonction.
7) Méthode d’étude d’une fonction
Pour étudier les variations d’une fonction simple :
- on écrit la fonction \(f(x)\),
- on calcule la dérivée \(f'(x)\),
- on résout \(f'(x)=0\) si nécessaire,
- on étudie le signe de \(f'(x)\),
- on construit le tableau de variation,
- on interprète le résultat.
Exemple complet
Soit
\[
f(x)=x^2-4x+1.
\]
Alors :
\[
f'(x)=2x-4.
\]
On cherche quand la dérivée s’annule :
\[
2x-4=0 \iff x=2.
\]
Donc :
- si \(x<2\), alors \(2x-4<0\), donc \(f\) est décroissante,
- si \(x>2\), alors \(2x-4>0\), donc \(f\) est croissante.
8) Formulaire
\[
f'(a)=\text{coefficient directeur de la tangente en }a
\]
\[
\text{Tangente en }a : \quad y=f'(a)(x-a)+f(a)
\]
\[
(k)'=0
\]
\[
(x)'=1
\]
\[
(x^2)'=2x
\]
\[
(x^3)'=3x^2
\]
\[
(kf)'=k f'
\]
\[
(f+g)'=f'+g'
\]
\[
f'(x)>0 \Rightarrow f\text{ croissante}
\]
\[
f'(x)<0 \Rightarrow f\text{ décroissante}
\]