Quiz — Dérivation et applications

20 exercices solides — nombre dérivé, dérivées usuelles, tangentes, variations, extrema et applications économiques.

Quiz — Dérivation et applications

20 exercices solides — nombre dérivé, dérivées usuelles, tangentes, variations, extrema et applications économiques.

Q1. Pour une fonction \(f\), le nombre dérivé \(f'(a)\) représente : Non vérifié

l’image de \(a\) par \(f\) le coefficient directeur de la tangente à la courbe en \(a\) l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des ordonnées la valeur minimale de la fonction

Indice

Penser à l’interprétation graphique du nombre dérivé.

Correction

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\).

Q2. La dérivée de \(f(x)=3x^2-5x+7\) est : Non vérifié

\(6x-5\) \(3x-5\) \(6x+7\) \(6x+2\)

Indice

Dériver terme à terme.

Correction

On a \((3x^2)'=6x\), \((-5x)'=-5\) et \(7'=0\). Donc \(f'(x)=6x-5\).

Q3. Soit \(f(x)=-2x^2+8x+1\). Le signe de \(f'(x)\) est positif lorsque : Non vérifié

\(x<2\) \(x>2\) \(x<4\) \(x>4\)

Indice

Calculer \(f'(x)\), puis résoudre \(f'(x)>0\).

Correction

\(f'(x)=-4x+8\). On résout \(-4x+8>0\), donc \(x<2\).

Q4. Pour \(f(x)=x^2-6x+4\), la fonction est décroissante sur : Non vérifié

\(]-\infty;3]\) \([3;+\infty[\) \(\mathbb{R}\) \([0;+\infty[\)

Indice

Étudier le signe de \(f'(x)=2x-6\).

Correction

\(f'(x)=2x-6=2(x-3)\). Elle est négative pour \(x<3\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;3]\).

Q5. L’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) est : Non vérifié

\(y=f(a)(x-a)+f'(a)\) \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) \(y=f'(x)(x-a)+f(a)\) \(y=ax+f(a)\)

Indice

La pente est \(f'(a)\) et le point est \((a;f(a))\).

Correction

La formule correcte est \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

Q6. Soit \(f(x)=x^2+2x\). La tangente en \(x=1\) a pour coefficient directeur : Non vérifié

2 3 4 5

Indice

Calculer \(f'(1)\).

Correction

\(f'(x)=2x+2\), donc \(f'(1)=4\).

Q7. Une fonction a pour dérivée \(f'(x)=3x-12\). Elle admet un extremum pour : Non vérifié

\(x=3\) \(x=4\) \(x=12\) \(x=-4\)

Indice

Chercher quand la dérivée s’annule.

Correction

\(3x-12=0\), donc \(x=4\). C’est le point où la dérivée change potentiellement de signe.

Q8. Si \(f'(x)\) passe de positif à négatif en \(x=a\), alors \(f\) admet généralement en \(a\) : Non vérifié

un minimum local un maximum local une tangente verticale aucun extremum

Indice

La fonction monte puis descend.

Correction

Si \(f'\) est positive avant \(a\) puis négative après \(a\), alors \(f\) croît puis décroît : elle admet un maximum local en \(a\).

Q9. Pour \(C(q)=-q^2+20q+50\), la recette/coût est maximal lorsque : Non vérifié

\(q=5\) \(q=10\) \(q=20\) \(q=50\)

Indice

Utiliser la dérivée ou l’axe de symétrie de la parabole.

Correction

\(C'(q)=-2q+20\). On résout \(C'(q)=0\), donc \(q=10\). Comme le coefficient de \(q^2\) est négatif, c’est un maximum.

Q10. Si \(f'(x)=0\) sur tout un intervalle, alors \(f\) est : Non vérifié

croissante strictement décroissante strictement constante sur cet intervalle toujours positive

Indice

Une pente nulle partout signifie une courbe horizontale.

Correction

Si la dérivée est nulle sur un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle.

Q11. Pour \(f(x)=2x^2-8x+1\), quelles affirmations sont vraies ? Non vérifié

\(f'(x)=4x-8\) \(f'(2)=0\) \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;2]\) \(f\) est croissante sur \(]-\infty;2]\)

Indice

Étudier le signe de \(4x-8\).

Correction

\(f'(x)=4x-8=4(x-2)\). Elle est négative avant 2, nulle en 2, positive après 2. Donc les trois premières affirmations sont vraies.

Q12. Pour une tangente au point d’abscisse \(a\), quelles affirmations sont vraies ? Non vérifié

Elle passe par \((a;f(a))\) Son coefficient directeur est \(f'(a)\) Son équation peut s’écrire \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) Elle passe toujours par l’origine

Indice

Utiliser la définition géométrique de la tangente.

Correction

La tangente au point d’abscisse \(a\) passe par le point de la courbe \((a;f(a))\) et a pour pente \(f'(a)\). Elle ne passe pas toujours par l’origine.

Q13. Soit \(f'(x)=(x-1)(x-4)\). Quelles affirmations sont vraies ? Non vérifié

\(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;1[\) \(f'(x)<0\) sur \(]1;4[\) \(f'(x)>0\) sur \(]4;+\infty[\) \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;1[\)

Indice

Faire le tableau de signes d’un produit de deux facteurs.

Correction

Le produit \((x-1)(x-4)\) est positif avant 1, négatif entre 1 et 4, positif après 4. Donc \(f\) croît, puis décroît, puis croît.

Q14. Quelles fonctions ont pour dérivée \(2x+3\) ? Non vérifié

\(x^2+3x+5\) \(x^2+3x-7\) \(2x^2+3x\) \(x^2+3\)

Indice

Deux fonctions qui diffèrent d’une constante ont la même dérivée.

Correction

La dérivée de \(x^2+3x+C\) est \(2x+3\), quelle que soit la constante \(C\).

Q15. Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x)=5x^2-4x+9\). Non vérifié

Indice

Dériver terme à terme.

Correction

\(f'(x)=10x-4\).

Q16. Pour \(f(x)=x^2-4x+7\), calculer \(f'(2)\). Non vérifié

Indice

D’abord calculer \(f'(x)\).

Correction

\(f'(x)=2x-4\), donc \(f'(2)=0\).

Q17. Pour \(f(x)=x^2-2x+3\), donner l’équation de la tangente en \(a=1\). Non vérifié

Indice

Calculer \(f(1)\) et \(f'(1)\).

Correction

\(f(1)=1-2+3=2\) et \(f'(x)=2x-2\), donc \(f'(1)=0\). La tangente est horizontale et son équation est \(y=2\).

Q18. Résoudre \(2x-6=0\). Non vérifié

Indice

Isoler \(x\).

Correction

\(2x-6=0\iff 2x=6\iff x=3\).

Q19. Pour \(B(q)=-q^2+12q-20\), quelle valeur de \(q\) maximise \(B\) ? Non vérifié

Indice

Résoudre \(B'(q)=0\).

Correction

\(B'(q)=-2q+12\). Donc \(B'(q)=0\iff q=6\). Comme le coefficient de \(q^2\) est négatif, c’est un maximum.

Q20. Si \(f'(x)=4x-12\), donner l’abscisse où la tangente est horizontale. Non vérifié

Indice

Une tangente horizontale correspond à \(f'(x)=0\).

Correction

\(4x-12=0\iff x=3\).

Quiz de maths 1ère STMG : Dérivation Et Applications

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