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Cours — Variables aléatoires
Variable aléatoire • loi de probabilité • espérance mathématique • épreuve de Bernoulli • interprétation dans un contexte concret.
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
- définir une variable aléatoire dans une expérience simple ;
- construire sa loi de probabilité ;
- vérifier que la somme des probabilités vaut 1 ;
- calculer une espérance ;
- interpréter le résultat dans un contexte concret ;
- reconnaître et utiliser une loi de Bernoulli.
À quoi ça sert ?
Les variables aléatoires servent à modéliser des situations où un résultat numérique dépend du hasard :
gain dans un jeu, nombre de pièces défectueuses, nombre de succès, coût moyen, rendement moyen, etc.
Idée-clé : une variable aléatoire ne décrit pas “un seul résultat”, mais un ensemble de résultats possibles avec leur probabilité.
2) Définition d’une variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) associe à chaque issue d’une expérience aléatoire un nombre réel.
Exemple 1
On lance une pièce.
On note :
On note :
- \(X=1\) si on obtient pile,
- \(X=0\) si on obtient face.
Exemple 2
Dans un contrôle qualité, on prélève un objet :
- \(X=1\) si l’objet est défectueux,
- \(X=0\) sinon.
Attention : une variable aléatoire n’est pas “une inconnue” comme en algèbre.
C’est une grandeur numérique liée au hasard.
3) Loi de probabilité
La loi de probabilité d’une variable aléatoire donne :
- les valeurs possibles prises par la variable ;
- la probabilité associée à chacune de ces valeurs.
Présentation dans un tableau
| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_n\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_n\) |
Une loi de probabilité doit toujours vérifier :
\[
p_1+p_2+\cdots+p_n=1.
\]
Exemple complet
On considère un jeu où le gain \(X\) peut prendre les valeurs :
\[
-2,\ 0,\ 5
\]
avec les probabilités :
\[
0{,}2,\ 0{,}5,\ 0{,}3.
\]
La loi est :
Vérification :
\[
0{,}2+0{,}5+0{,}3=1.
\]
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(5\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}5\) | \(0{,}3\) |
4) Espérance mathématique
L’espérance d’une variable aléatoire \(X\), notée \(E(X)\), est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités.
Formule générale
\[
E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n
\]
Exemple
Reprenons la variable :
\[
X\in\{-2,\ 0,\ 5\}
\]
avec :
\[
P(X=-2)=0{,}2,\quad P(X=0)=0{,}5,\quad P(X=5)=0{,}3.
\]
Alors :
\[
E(X)=(-2)\times0{,}2+0\times0{,}5+5\times0{,}3
\]
\[
E(X)=-0{,}4+0+1{,}5=1{,}1.
\]
On obtient :
\[
\boxed{E(X)=1{,}1}
\]
L’espérance n’est pas forcément une valeur réellement prise par la variable.
C’est une valeur moyenne théorique.
5) Épreuve et loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues :
- succès, de probabilité \(p\),
- échec, de probabilité \(1-p\).
Variable associée
On associe généralement la variable :
- \(X=1\) en cas de succès,
- \(X=0\) en cas d’échec.
Loi
| \(x\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(1-p\) | \(p\) |
Pour une loi de Bernoulli de paramètre \(p\),
\[
E(X)=p.
\]
Exemple
Une machine fabrique une pièce correcte avec probabilité \(0{,}92\).
On note \(X=1\) si la pièce est correcte, \(X=0\) sinon.
On a alors une Bernoulli de paramètre :
\[
p=0{,}92.
\]
Donc :
\[
E(X)=0{,}92.
\]
6) Méthode type Bac
Pour construire une loi
- définir clairement la variable \(X\) ;
- lister ses valeurs possibles ;
- déterminer chaque probabilité ;
- vérifier que la somme vaut 1.
Pour calculer l’espérance
- recopier le tableau correctement ;
- multiplier chaque valeur par sa probabilité ;
- additionner ;
- interpréter le résultat dans le contexte.
Conseil de rédaction : dans une copie, il faut toujours écrire la loi avant de calculer l’espérance.
7) Interprétation de l’espérance
L’espérance représente la valeur moyenne que l’on peut prévoir sur un très grand nombre de répétitions.
Dans un jeu
Si \(E(X)\) est positive, le jeu est globalement favorable au joueur à long terme.
Dans une production
L’espérance peut donner le nombre moyen attendu de pièces conformes, de défauts, ou de gains.
Attention : “en moyenne” ne veut pas dire “à chaque fois”.
8) Formulaire
Loi de probabilité
\[
P(X=x_1)+P(X=x_2)+\cdots+P(X=x_n)=1
\]
Espérance
\[
E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n
\]
Bernoulli
\[
P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p
\]
\[
E(X)=p
\]