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Fiche ultra-synthèse — Variables aléatoires
Loi de probabilité • espérance • Bernoulli • interprétation
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Variable aléatoire
Elle associe un nombre à chaque issue d’une expérience aléatoire.
2 Loi de probabilité
On liste les valeurs possibles de \(X\) et leurs probabilités.
Toujours vérifier :
\[
\sum P(X=x_i)=1
\]
3 Espérance
\[
E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n
\]
4 Bernoulli
Si \(X\) vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, avec succès de probabilité \(p\), alors :
\[
E(X)=p
\]
Méthodes rapides
A Construire une loi
- Choisir ce que représente \(X\).
- Lister les valeurs possibles.
- Associer les probabilités.
- Vérifier que la somme vaut 1.
B Calculer l’espérance
- Recopier la loi proprement.
- Multiplier chaque valeur par sa probabilité.
- Faire la somme.
- Interpréter le résultat.
\[
\text{Exemple : } X\in\{0,2,5\},\ P=(0,3;0,4;0,3)
\]
\[
E(X)=0\times0,3+2\times0,4+5\times0,3=2,3
\]
Pièges fréquents
1 Oublier la somme
Une loi n’est valable que si les probabilités totalisent 1.
2 Confondre moyenne et valeur réelle
L’espérance peut être 2,3 même si la variable ne prend jamais la valeur 2,3.
3 Oublier le signe
Si une valeur est négative, elle reste négative dans le calcul de \(E(X)\).
Mini-tests corrigés
Q1 Loi
\(0,2+0,5+0,3=?\)
Corrigé : \(1\)
Q2 Espérance
\(X\in\{0,1\}\), \(P(1)=0,7\). Calculer \(E(X)\).
Corrigé : Bernoulli, donc \(E(X)=0,7\).
Q3 Calcul
\(X\in\{1,3\}\) avec \(P=(0,4;0,6)\). Calculer \(E(X)\).
Corrigé : \(1\times0,4+3\times0,6=2,2\).
Checklist “copie parfaite”
- J’ai bien défini la variable aléatoire.
- J’ai construit la loi dans un tableau propre.
- J’ai vérifié que la somme des probabilités vaut 1.
- J’ai calculé l’espérance sans erreur de signe.
- J’ai interprété le résultat dans le contexte.