Suivez votre progression
Connectez-vous pour enregistrer votre progression et vos tentatives de quiz.
Cours — Trigonométrie
Angles orientés • radians • cercle trigonométrique • sinus • cosinus • périodicité • parité • valeurs remarquables
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
- convertir des angles en degrés et en radians ;
- repérer un angle sur le cercle trigonométrique ;
- lire \(\cos x\) et \(\sin x\) sur le cercle ;
- connaître les valeurs remarquables ;
- utiliser la périodicité et la parité ;
- lire et interpréter des courbes trigonométriques simples.
Pourquoi c’est utile ?
La trigonométrie permet de modéliser des phénomènes périodiques :
mouvements circulaires, signaux, oscillations, ondes, variations répétitives.
Idée-clé : le cercle trigonométrique relie les angles aux fonctions sinus et cosinus.
2) Angles et radians
En trigonométrie, on mesure souvent les angles en radians.
Correspondance fondamentale
\[
180^\circ = \pi \text{ rad}
\]
donc :
\[
360^\circ = 2\pi \text{ rad}
\]
Exemples
\[
90^\circ=\frac{\pi}{2},\qquad
60^\circ=\frac{\pi}{3},\qquad
45^\circ=\frac{\pi}{4}
\]
Pour passer des degrés aux radians :
\[
x^\circ=\frac{x\pi}{180}\text{ rad}
\]
3) Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1.
Un angle orienté \(x\) permet de repérer un point \(M\) du cercle.
Les coordonnées de ce point sont :
\[
M(\cos x;\sin x)
\]
Interprétation géométrique
\(\cos x\) est l’abscisse du point \(M\),
\(\sin x\) est son ordonnée.
Sens positif
Les angles sont comptés positivement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
4) Sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus associent à chaque angle réel un nombre réel.
Cosinus
\[
\cos x = \text{abscisse du point du cercle}
\]
Sinus
\[
\sin x = \text{ordonnée du point du cercle}
\]
Pour tout réel \(x\),
\[
-1 \le \cos x \le 1
\qquad \text{et} \qquad
-1 \le \sin x \le 1
\]
5) Valeurs remarquables
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 | -1 |
| \(\sin x\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | 0 |
Il faut connaître ces valeurs remarquables sans calculatrice.
6) Parité et périodicité
Périodicité
Pour tout réel \(x\),
\[
\cos(x+2\pi)=\cos x
\]
\[
\sin(x+2\pi)=\sin x
\]
Parité
\[
\cos(-x)=\cos x
\]
\[
\sin(-x)=-\sin x
\]
Le cosinus est une fonction paire, le sinus est une fonction impaire.
7) Lecture graphique
On peut représenter les fonctions \(x \mapsto \cos x\) et \(x \mapsto \sin x\) par des courbes périodiques.
Courbe du cosinus
Elle commence par 1 en 0 :
\[
\cos(0)=1
\]
Courbe du sinus
Elle commence par 0 en 0 :
\[
\sin(0)=0
\]
À retenir
Sur l’intervalle \([0;2\pi]\), les courbes de \(\sin\) et \(\cos\) se répètent ensuite régulièrement avec période \(2\pi\).
8) Méthode de résolution
Pour calculer une valeur
- repérer l’angle ;
- le replacer sur le cercle trigonométrique ;
- utiliser une valeur remarquable si possible ;
- sinon exploiter parité ou périodicité.
Pour simplifier
- réduire modulo \(2\pi\) ;
- utiliser \(\cos(-x)=\cos x\) ;
- utiliser \(\sin(-x)=-\sin x\).
Exemple :
\[
\cos\left(\frac{13\pi}{6}\right)=\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
9) Formulaire
Radian
\[
180^\circ=\pi
\qquad
360^\circ=2\pi
\]
Point du cercle
\[
M(\cos x;\sin x)
\]
Périodicité
\[
\cos(x+2\pi)=\cos x
\]
\[
\sin(x+2\pi)=\sin x
\]
Parité
\[
\cos(-x)=\cos x
\]
\[
\sin(-x)=-\sin x
\]
Valeurs de base
\[
\cos 0 = 1,\quad \sin 0 = 0
\]
\[
\cos \frac{\pi}{2}=0,\quad \sin \frac{\pi}{2}=1
\]
\[
\cos \pi=-1,\quad \sin \pi=0
\]