Exercices corrigés — Suites numériques (1ère STI2D)

\(u_0=2\), \(u_1=5\), \(u_4=14\) et \(u_{10}=32\). La suite augmente de \(3\) à chaque rang.

\(u_1=9\), \(u_2=13\), \(u_3=17\), \(u_4=21\), \(u_5=25\). Chaque terme est obtenu en ajoutant \(4\).

\(u_n=7-2n\). Ainsi \(u_{12}=7-24=\boxed{-17}\).

Les points sont \((0;8)\), \((1;11)\), \((2;14)\), \((3;17)\). Ils sont alignés. Les différences valent toutes \(3\) : on conjecture une suite arithmétique de raison \(3\).

Les termes sont \(1,2,5,10\). Les écarts \(1,3,5\) ne sont pas constants : pas arithmétique. Les rapports \(2\), \(5/2\), \(2\) ne sont pas constants : pas géométrique.

\(r=17-12=5\), confirmé par \(22-17=5\). Donc \(u_n=12+5n\) et \(u_{25}=\boxed{137}\).

\(u_n=35-4(n-1)=39-4n\). Alors \(u_{10}=-1\) et \(u_{20}=-41\). \(39-4n<0\) équivaut à \(n>39/4=9{,}75\), donc dès \(\boxed{n=10}\).

\(u_{n+1}-u_n=7(n+1)-9-(7n-9)=7\). La différence est constante, donc raison \(r=7>0\) : la suite est strictement croissante.

\(47-19=7r\), donc \(r=4\). \(u_0=u_4-4r=19-16=3\). Ainsi \(u_n=3+4n\) et \(u_{30}=\boxed{123}\).

\(u_{20}=64\). Donc \(S=21\times(4+64)/2=\boxed{714}\).

\(C_n=120+15(n-1)\), d’où \(C_8=225\) €. Le total vaut \(8(120+225)/2=\boxed{1\,380\ \mathrm{€}}\).

\(q=9/6=1{,}5\), et \(13{,}5/9=1{,}5\). Donc \(v_n=6(1{,}5)^n\) et \(v_4=\boxed{30{,}375}\).

\(P_{n+1}=0{,}92P_n\) et \(P_n=2\,000(0{,}92)^n\). Au mois \(3\), \(P_3=1\,557{,}376\), soit environ \(\boxed{1\,557}\) pièces dans le modèle.

Interprétation : le modèle donne un nombre réel de pièces ; on arrondit à l’unité pour une production réelle.

\(v_{n+1}/v_n=1{,}2\) pour tout \(n\). C’est une suite géométrique de raison \(q=1{,}2>1\). Comme les termes sont positifs, elle est strictement croissante.

\(q^3=486/18=27\), donc \(q=3\). \(v_0=v_2/q^2=18/9=\boxed{2}\). Ainsi \(v_n=2\times3^n\).

\(v_n=640(0{,}75)^n\) ; \(v_4=\boxed{202{,}5}\). Tous les termes sont positifs et \(0<q<1\), donc la suite est strictement décroissante.

\(S=3\sum_{k=0}^{8}2^k=3(2^9-1)/(2-1)=3\times511=\boxed{1\,533}\).

\(P_5=1\,500(1{,}04)^5\approx\boxed{1\,824{,}98\ \mathrm{€}}\). L’augmentation globale vaut \(((1{,}04)^5-1)\times100\approx\boxed{21{,}67\,\%}\).

\(A_n=100+12n\) et \(B_n=100(1{,}10)^n\). Au jour \(5\), \(A_5=160\) et \(B_5=161{,}051\). Le prototype B dépasse A d’environ \(\boxed{1{,}051}\) unité.

\(E_n=500(0{,}98)^n\). Donc \(E_{10}\approx\boxed{408{,}54\ \mathrm{kWh}}\). C’est la production annuelle modélisée à l’année \(10\), et non le cumul des années.

\(Q_n=90(0{,}85)^n\). \(Q_4\approx46{,}9806\) Ah et \(Q_5\approx39{,}9335\) Ah : le premier rang est \(\boxed{n=5}\).

Justification du premier rang : \(0<0{,}85<1\), donc la suite décroît. \(Q_4>40\) et \(Q_5<40\) établissent le franchissement initial.

\(7n\ge155\), donc \(n\ge155/7\approx22{,}14\). Premier rang entier : \(\boxed{n=23}\), avec \(u_{23}=206\).

\(N_n=400(1{,}25)^n\). \(N_7\approx1\,907{,}35<2\,000\) et \(N_8\approx2\,384{,}19\ge2\,000\) : premier rang \(\boxed{n=8}\).

Premier dépassement : puisque la raison vaut \(1{,}25>1\), la suite est croissante ; les valeurs aux rangs 7 et 8 suffisent.

\(A_n=80+6n\) et \(B_n=80(1{,}05)^n\). Ainsi \(A_{12}=\boxed{152\ \mathrm{€}}\) et \(B_{12}\approx\boxed{143{,}67\ \mathrm{€}}\) ; à ce mois, B coûte environ \(8{,}33\) € de moins.

\(u_1=13\), \(u_2=16{,}9\), \(u_3=21{,}97\). Après six itérations, la variable vaut \(u_6=10(1{,}3)^6=\boxed{48{,}26809}\).

Écriture Python lisible :

u = 10
for k in range(6):
    u = 1.3 * u
print(u)

On initialise le rang à 0 et on multiplie la valeur par 0,9 tant qu’elle est supérieure ou égale à 500. Comme \(u_6\approx531{,}441\) et \(u_7\approx478{,}297\), le premier rang est \(\boxed{7}\).

Programme Python :

n = 0
u = 1000
while u >= 500:
    n += 1
    u *= 0.9
print(n)

\(I_n=500+25n\) ; \(I_{11}=775\) €. Le budget est \(S=12(500+775)/2=\boxed{7\,650\ \mathrm{€}}\).

\(C_n=2\,000(1{,}03)^n\). \(C_4\approx2\,251{,}02\) €, et les intérêts cumulés valent \(\boxed{251{,}02\ \mathrm{€}}\) (arrondis au centime).

\(A_n=150+20n\) ; \(B_n=150(1{,}12)^n\). Pour \(n=1,2,3,4\), A vaut \(170,190,210,230\) ; B vaut \(168\), \(188{,}16\), \(210{,}7392\), \(236{,}027904\). À \(n=2\), B est encore inférieur ; à \(n=3\), B dépasse A. Premier rang : \(\boxed{3}\).

Vérification : à \(n=0\), égalité ; à \(n=1\) et \(n=2\), A reste devant ; à \(n=3\), B dépasse pour la première fois.

\(A_n=80+15n\) et \(B_n=80(1{,}18)^n\). À \(n=5\), \(A_5=155\) et \(B_5\approx183{,}02\). À \(n=1\), \(A_1=95\) et \(B_1=94{,}4\) ; à \(n=2\), \(A_2=110\) et \(B_2=111{,}392\) ; le premier dépassement est donc \(\boxed{n=2}\). Le parc A suit le modèle linéaire (suite arithmétique).

Interprétation : le nombre \(183{,}02\) est une valeur théorique. Un effectif réel de capteurs est entier ; la suite B représente un modèle de croissance.