Exercices corrigés — Suites numériques (1ère STI2D)

Consigne. Une suite \(u\) est définie par \(u(0)=8\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u(n+1)=u(n)+3{,}5\).

1. Calculer \(u(1)\), \(u(2)\) et \(u(3)\).
2. Préciser la nature de la suite et sa raison.
3. Calculer \(u(5)\).
4. Indiquer son sens de variation.

On donne les valeurs suivantes :

1. Calculer les différences entre termes consécutifs.
2. En déduire la nature de la suite.
3. Donner une expression de \(u(n)\) en fonction de \(n\).
4. Calculer \(u(10)\).

Une suite \(v\) est définie par \(v(0)=125\) et \(v(n+1)=1{,}2\,v(n)\).

1. Calculer \(v(1)\) et \(v(2)\).
2. Préciser la nature de la suite et sa raison.
3. Calculer \(v(4)\).
4. Indiquer son sens de variation.

Deux machines produisent chacune \(100\) pièces au départ.

• Machine A : la production augmente de \(12\) pièces par période.
• Machine B : la production augmente de \(12\%\) par période.

1. Associer chaque situation à une suite arithmétique ou géométrique.
2. Écrire une relation de récurrence pour chaque suite.
3. Calculer les productions après trois périodes.
4. Expliquer la différence entre croissance linéaire et croissance exponentielle.

On considère la suite dont les premiers termes sont \(2\), \(5\), \(10\), \(17\), \(26\).

1. Calculer les différences successives.
2. Calculer quelques quotients de termes consécutifs.
3. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
4. On admet que \(u(n)=n^2+2n+2\). Calculer \(u(5)\).

Une suite arithmétique \(u\) vérifie \(u(0)=64\) et a pour raison \(r=-2{,}5\).

1. Écrire \(u(n)\) en fonction de \(n\).
2. Calculer \(u(12)\).
3. Déterminer le premier rang pour lequel \(u(n)<0\).
4. Préciser le sens de variation.

Une batterie possède une capacité modélisée par une suite géométrique \(v\) telle que \(v(0)=480\) et \(q=0{,}95\).

1. Écrire \(v(n)\) en fonction de \(n\).
2. Calculer \(v(6)\), arrondi au dixième.
3. Déterminer par essais successifs le premier rang où \(v(n)<300\).
4. Interpréter le résultat dans le contexte de la batterie.

Le programme Python suivant génère les cinq premiers termes d’une suite \(u\) et les stocke dans une liste.

u = 3
L = []
for n in range(5):
    L.append(u)
    u = 2 * u
print(L)

1. Déterminer la liste affichée, puis placer dans un repère les points \((n;u(n))\) pour \(n\) allant de \(0\) à \(4\).
2. À partir du nuage de points, conjecturer la nature de la suite.
3. Démontrer cette conjecture à partir des valeurs de la liste.
4. Donner \(u(n)\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u(6)\).

La suite \(u\) est définie par \(u(0)=2{,}4\) et \(u(n+1)=u(n)+4{,}5\).

1. Calculer \(u(n+1)-u(n)\).
2. Démontrer que \(u\) est arithmétique.
3. Écrire \(u(n)\) en fonction de \(n\).
4. Calculer \(u(7)\).

Une grandeur positive est modélisée par \(v(0)=70\) et \(v(n+1)=1{,}08v(n)\).

1. Démontrer que \(v\) est géométrique.
2. Donner sa raison et son sens de variation.
3. Écrire \(v(n)\) en fonction de \(n\).
4. Calculer \(v(5)\), arrondi au centième.

Après chaque cycle de test, l’indicateur de charge d’un prototype diminue de \(4\) points de pourcentage. Il vaut \(96\%\) au cycle \(0\).

1. Modéliser la situation par une suite \(u\).
2. Préciser la nature de \(u\) et donner \(u(n)\).
3. Calculer l’indicateur au cycle \(9\).
4. Déterminer le premier cycle où l’indicateur devient strictement inférieur à \(60\%\).

La puissance maximale d’un panneau est de \(750\) W lors de sa mise en service. On modélise une perte annuelle de \(1{,}2\%\).

1. Déterminer le coefficient multiplicateur annuel.
2. Écrire la relation de récurrence puis \(P(n)\) en fonction de \(n\).
3. Estimer la puissance au bout de \(10\) ans.
4. Déterminer le premier rang où la puissance devient inférieure à \(700\) W.

Une culture contient initialement \(200\) unités. À chaque heure, sa quantité augmente de \(18\%\).

1. Modéliser la situation par une suite \(B\).
2. Donner \(B(n)\) en fonction de \(n\).
3. Calculer \(B(6)\), arrondi à l’unité.
4. Déterminer le premier rang pour lequel \(B(n)>500\).

Au démarrage, une ligne produit \(320\) pièces par semaine. Chaque semaine, une amélioration du procédé permet de produire \(18\) pièces supplémentaires.

1. Définir une suite \(U\) modélisant la production.
2. Donner \(U(n)\) en fonction de \(n\).
3. Calculer la production de la semaine de rang \(12\).
4. Déterminer le premier rang où la production dépasse \(500\) pièces.

Deux procédés partent d’une valeur initiale de \(300\).

• Procédé A : \(A(n)=300+40n\).
• Procédé B : \(B(n)=300\times1{,}10^n\).

1. Identifier le type de croissance de chaque procédé.
2. Calculer \(A(5)\) et \(B(5)\).
3. Comparer les deux valeurs aux rangs \(6\) et \(7\).
4. En déduire le premier rang où B dépasse A.

Une grandeur suit la relation \(u(0)=20\) et \(u(n+1)=1{,}15u(n)\). On cherche le premier rang où \(u(n)>80\).

1. Préciser la nature de la suite.
2. Expliquer précisément le rôle du programme Python ci-dessous.
3. Déterminer la valeur finale de \(n\).
4. Donner la valeur de \(u(n)\) obtenue à la sortie.

u = 20
n = 0
while u <= 80:
    u = 1.15 * u
    n = n + 1
print(n, u)

Un dispositif économise \(5\) kWh le premier jour (rang \(0\)). Chaque jour, l’économie quotidienne augmente de \(1{,}5\) kWh. On considère les huit jours de rangs \(0\) à \(7\).

1. Modéliser l’économie quotidienne par une suite \(u\).
2. Calculer \(u(7)\).
3. Calculer la somme \(u(0)+u(1)+\cdots+u(7)\).
4. Proposer une boucle Python permettant de calculer cette somme.

On étudie deux suites.

• Une suite arithmétique \(u\) vérifie \(u(4)=27\) et \(u(9)=47\).
• Une suite géométrique positive \(v\) vérifie \(v(2)=72\) et \(v(5)=576\).

1. Déterminer la raison de \(u\).
2. Déterminer \(u(0)\) puis \(u(n)\).
3. Déterminer la raison positive de \(v\).
4. Déterminer \(v(0)\) puis \(v(n)\).

La température d’un composant est modélisée par \(T(0)=100\) et \(T(n+1)=0{,}9T(n)+8\).

1. Calculer \(T(1)\), \(T(2)\) et \(T(3)\).
2. Montrer à partir de ces valeurs que la suite n’est pas arithmétique.
3. Montrer qu’elle n’est pas géométrique.
4. Calculer \(T(5)\) et décrire l’évolution observée.

Deux systèmes de stockage ont une énergie initiale de \(1200\) Wh.

• Système A : perte constante de \(55\) Wh par cycle.
• Système B : perte de \(6\%\) de l’énergie restante par cycle.

1. Modéliser les deux systèmes par des suites \(A\) et \(B\).
2. Donner \(A(n)\) et \(B(n)\) en fonction de \(n\).
3. Comparer les énergies après \(5\) cycles.
4. Déterminer, pour le système B, le premier rang où l’énergie devient inférieure à \(600\) Wh.