Suites Numeriques
1ERE-STI2D • MATHS — Learna
📘 Cours 🧠 Fiche ✏️ Exercices ⚡ Quiz
← Retour à la classe 1ère STI2D ↗ Voir tous les chapitres de maths
Suivez votre progression
Connectez-vous pour enregistrer votre progression et vos tentatives de quiz.
Login Register
Cours — Suites numériques
Terme général • suite arithmétique • suite géométrique • modélisation • évolution discrète • applications
Définition Suite arithmétique Suite géométrique Sens de variation Modélisation Applications Méthodes Formulaire
1) Définition d’une suite
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, notés en général \[ u_0,\ u_1,\ u_2,\ \dots \quad \text{ou} \quad u_1,\ u_2,\ u_3,\ \dots \]
Chaque nombre de la liste est appelé un terme de la suite. Le nombre \(u_n\) est le terme de rang \(n\).
Exemple
Si \[ u_n=2n+3 \] alors : \[ u_0=3,\quad u_1=5,\quad u_2=7 \]
Idée
Une suite décrit souvent l’évolution d’une quantité au fil du temps : année après année, mois après mois, étape après étape.
2) Suite arithmétique
Une suite est arithmétique lorsque l’on ajoute toujours le même nombre d’un terme au suivant.
Ce nombre constant s’appelle la raison, notée souvent \(r\). On a alors : \[ u_{n+1}=u_n+r \]
Formule explicite
Si le premier terme est \(u_0\), alors : \[ u_n=u_0+nr \]
Exemple
Si \(u_0=5\) et \(r=3\), alors : \[ u_1=8,\quad u_2=11,\quad u_3=14 \] et \[ u_n=5+3n \]
Dans une suite arithmétique, la différence \[ u_{n+1}-u_n \] est constante.
3) Suite géométrique
Une suite est géométrique lorsque l’on multiplie toujours par le même nombre d’un terme au suivant.
Ce nombre constant s’appelle aussi la raison, notée souvent \(q\). On a alors : \[ u_{n+1}=u_n\times q \]
Formule explicite
Si le premier terme est \(u_0\), alors : \[ u_n=u_0\times q^n \]
Exemple
Si \(u_0=2\) et \(q=3\), alors : \[ u_1=6,\quad u_2=18,\quad u_3=54 \] et \[ u_n=2\times 3^n \]
Dans une suite géométrique, le quotient \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} \] est constant, lorsque \(u_n\neq 0\).
4) Sens de variation
Suite arithmétique
  • si \(r>0\), elle est croissante ;
  • si \(r<0\), elle est décroissante ;
  • si \(r=0\), elle est constante.
Suite géométrique
Le sens de variation dépend de la raison \(q\) et du signe des termes. Dans les cas simples :
  • si \(u_0>0\) et \(q>1\), elle est croissante ;
  • si \(u_0>0\) et \(0
Pour les suites géométriques, il faut être prudent lorsque \(q\) est négatif.
5) Modélisation
Les suites servent à modéliser des évolutions discrètes.
Croissance linéaire
Si une quantité augmente chaque année d’une valeur fixe, on utilise une suite arithmétique.
Croissance proportionnelle
Si une quantité est multipliée chaque année par un même coefficient, on utilise une suite géométrique.
Exemple concret
Une entreprise gagne 250 clients supplémentaires chaque mois : c’est un modèle arithmétique.
Une population augmente de \(4\%\) par an : le coefficient multiplicateur est \[ 1{,}04 \] c’est donc un modèle géométrique.
6) Applications
En économie
évolution d’un capital, d’un coût, d’une production, d’une population, d’un stock.
En sciences et technologie
mesures répétées, croissance d’un phénomène, diminution d’une ressource, rendement, modélisation de données.
Les suites sont très utiles pour prévoir une évolution à moyen terme.
7) Méthodes à retenir
Reconnaître le type
  • si on ajoute toujours la même quantité : suite arithmétique ;
  • si on multiplie toujours par le même coefficient : suite géométrique.
Calculer un terme
  • avec la formule de récurrence ;
  • ou directement avec la formule explicite.
Toujours repérer : le premier terme, la raison, et le type de suite.
8) Formulaire
\[ \text{Suite arithmétique : } u_{n+1}=u_n+r \] \[ u_n=u_0+nr \] \[ \text{Suite géométrique : } u_{n+1}=u_n\times q \] \[ u_n=u_0\times q^n \] \[ \text{augmentation de }p\% \Rightarrow \text{coefficient multiplicateur } 1+\frac{p}{100} \] \[ \text{diminution de }p\% \Rightarrow \text{coefficient multiplicateur } 1-\frac{p}{100} \]