Statistiques Descriptives
1ERE-STI2D • MATHS — Learna
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Cours — Statistiques descriptives
Série statistique • effectifs • fréquences • moyenne • médiane • étendue • dispersion • lecture et interprétation de données
1) Définition d’une série statistique
Une série statistique est un ensemble de données recueillies sur une population ou un échantillon.
En statistiques descriptives, on cherche à :
- organiser les données,
- les résumer avec quelques indicateurs,
- les représenter graphiquement,
- les interpréter correctement.
Valeur
Une valeur statistique est une donnée observée.
Exemple : 12, 14, 14, 16, 18.
Effectif
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.
2) Tableau d’effectifs et fréquences
Pour étudier une série, on peut la résumer dans un tableau.
| Valeur | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 4 | 1 |
| Fréquence | \(\frac{2}{12}\) | \(\frac{5}{12}\) | \(\frac{4}{12}\) | \(\frac{1}{12}\) |
La fréquence d’une valeur est :
\[
\text{fréquence}=\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}
\]
3) Moyenne
La moyenne donne une valeur “centrale” de la série.
Pour une série de valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_n\), la moyenne est :
\[
\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
\]
Moyenne pondérée
Si les valeurs ont des effectifs \(n_1, n_2, \dots\), alors :
\[
\overline{x}=\frac{x_1n_1+x_2n_2+\cdots+x_pn_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p}
\]
Exemple
Pour la série :
\[
10,\ 12,\ 14,\ 14,\ 16
\]
on a :
\[
\overline{x}=\frac{10+12+14+14+16}{5}=\frac{66}{5}=13{,}2
\]
Donc :
\[
\boxed{\overline{x}=13{,}2}
\]
4) Médiane
La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
Si l’effectif est impair
La médiane est la valeur du milieu.
Si l’effectif est pair
La médiane est souvent la moyenne des deux valeurs centrales.
Exemple
Série ordonnée :
\[
8,\ 10,\ 11,\ 13,\ 15
\]
Il y a 5 valeurs, la médiane est donc la 3e valeur :
\[
\boxed{11}
\]
5) Dispersion
Les indicateurs de dispersion donnent des informations sur l’étalement des données.
Étendue
L’étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite :
\[
\text{étendue}=\text{max}-\text{min}
\]
Interprétation
Une grande étendue traduit en général une forte dispersion.
Une petite étendue indique des données plus regroupées.
Exemple
Pour la série :
\[
5,\ 7,\ 9,\ 12,\ 14
\]
on a :
\[
\text{étendue}=14-5=9
\]
6) Représentations graphiques
Les données peuvent être représentées de différentes façons :
Diagramme en bâtons
Adapté à des valeurs distinctes avec leurs effectifs.
Histogramme
Utilisé surtout pour des données regroupées en classes.
Diagramme circulaire
Permet de visualiser des parts d’un tout.
Boîte à moustaches
Résume la répartition avec min, quartiles, médiane et max.
7) Interpréter des données
En statistiques, calculer ne suffit pas : il faut aussi donner du sens aux résultats.
Par exemple :
- une moyenne élevée peut cacher de fortes différences ;
- la médiane est utile quand certaines valeurs sont extrêmes ;
- l’étendue permet de juger l’homogénéité de la série.
Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions très différentes.
8) Formulaire
\[
\text{fréquence}=\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}
\]
\[
\overline{x}=\frac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}
\]
\[
\overline{x}=\frac{x_1n_1+x_2n_2+\cdots+x_pn_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p}
\]
\[
\text{étendue}=\text{max}-\text{min}
\]
\[
\text{médiane : valeur centrale de la série ordonnée}
\]