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Fiche ultra-synthèse — Produit scalaire
Définition • coordonnées • orthogonalité • angle • géométrie
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Définition
\[
\vec u\cdot \vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta)
\]
2 Coordonnées
Si
\[
\vec u(x_1;y_1),\quad \vec v(x_2;y_2)
\]
alors
\[
\vec u\cdot \vec v=x_1x_2+y_1y_2
\]
3 Norme
\[
\vec u\cdot \vec u=\|\vec u\|^2
\]
4 Orthogonalité
\[
\vec u\cdot \vec v=0
\iff
\vec u\perp\vec v
\]
Calcul en coordonnées
\[
\vec u(2;3),\quad \vec v(4;-1)
\]
\[
\vec u\cdot \vec v=2\times4+3\times(-1)=5
\]
Orthogonalité
Si le produit scalaire vaut 0, alors les vecteurs sont perpendiculaires.
Exemple :
\[
(1;2)\cdot(2;-1)=2-2=0
\]
donc les vecteurs sont orthogonaux.
Calcul d’un angle
\[
\cos(\theta)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}
\]
Mini-tests corrigés
Q1 Produit
\((1;2)\cdot(3;4)=?\)
Corrigé : \(1\times3+2\times4=11\)
Q2 Orthogonalité
Si le produit scalaire vaut 0 ?
Corrigé : vecteurs orthogonaux
Q3 Norme
\(\vec u\cdot\vec u = ?\)
Corrigé : \(\|\vec u\|^2\)
Checklist
- Je sais calculer un produit scalaire en coordonnées.
- Je sais utiliser la formule avec l’angle.
- Je sais tester l’orthogonalité.
- Je sais calculer un cosinus d’angle.
- Je sais exploiter le produit scalaire en géométrie.