Produit Scalaire
1ERE-STI2D • MATHS — Learna
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Cours — Produit scalaire
Vecteurs • angle • orthogonalité • projection • calculs dans le plan • applications géométriques
Objectifs Définition Formules Coordonnées Orthogonalité Angle Applications Méthode Formulaire
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
  • calculer un produit scalaire ;
  • utiliser la formule avec un angle ;
  • utiliser la formule en coordonnées ;
  • reconnaître deux vecteurs orthogonaux ;
  • calculer un angle ou une longueur ;
  • résoudre des problèmes géométriques simples.
Pourquoi c’est utile ?
Le produit scalaire permet de relier calcul vectoriel, angle, perpendicularité et longueurs. C’est un outil très utile pour la géométrie et pour des applications en physique.
Idée-clé : le produit scalaire mesure à la fois la “taille” des vecteurs et la façon dont ils sont orientés l’un par rapport à l’autre.
2) Définition
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont deux vecteurs non nuls et si \(\theta\) est l’angle entre eux, alors : \[ \vec u\cdot \vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta) \]
Cette formule montre que le produit scalaire dépend :
  • de la longueur de \(\vec u\),
  • de la longueur de \(\vec v\),
  • de l’angle entre les deux vecteurs.
3) Formules utiles
Formule avec l’angle
\[ \vec u\cdot \vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta) \]
Cas particulier
\[ \vec u\cdot \vec u=\|\vec u\|^2 \]
Si l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) est aigu, le produit scalaire est positif. S’il est droit, il est nul. S’il est obtus, il est négatif.
4) Produit scalaire en coordonnées
Si \[ \vec u(x_1;y_1) \qquad \text{et} \qquad \vec v(x_2;y_2) \] alors : \[ \vec u\cdot \vec v=x_1x_2+y_1y_2 \]
Exemple
Soit : \[ \vec u(2;3),\qquad \vec v(-1;4) \] Alors : \[ \vec u\cdot \vec v=2\times(-1)+3\times4=-2+12=10 \] donc : \[ \boxed{\vec u\cdot \vec v=10} \]
5) Orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : \[ \vec u\cdot \vec v=0 \]
Exemple
\[ \vec u(2;1),\qquad \vec v(1;-2) \] \[ \vec u\cdot \vec v=2\times1+1\times(-2)=0 \] donc ils sont orthogonaux.
Interprétation
Orthogonal signifie : les deux directions sont perpendiculaires.
6) Calcul d’un angle
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non nuls : \[ \cos(\theta)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} \]
On peut donc calculer un angle en trois étapes :
  1. calculer le produit scalaire ;
  2. calculer les normes ;
  3. appliquer la formule du cosinus.
7) Applications géométriques
Orthogonalité
Vérifier qu’un angle est droit.
Angle
Déterminer l’angle entre deux vecteurs.
Longueur
Exploiter \[ \vec u\cdot \vec u=\|\vec u\|^2 \] pour calculer une norme.
Projection
Interpréter la “partie” d’un vecteur dans la direction d’un autre.
8) Méthode de résolution
Pour calculer \(\vec u\cdot\vec v\)
  1. si on a les coordonnées : utiliser \(x_1x_2+y_1y_2\) ;
  2. si on a les normes et l’angle : utiliser \(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta)\).
Pour montrer l’orthogonalité
  1. calculer le produit scalaire ;
  2. si on obtient 0, conclure à la perpendicularité.
Exemple : Si \(\vec u(3;2)\) et \(\vec v(2;-3)\), alors \[ \vec u\cdot \vec v=3\times2+2\times(-3)=6-6=0 \] donc les vecteurs sont orthogonaux.
9) Formulaire
Définition
\[ \vec u\cdot \vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta) \]
Coordonnées
\[ \vec u(x_1;y_1),\ \vec v(x_2;y_2) \Rightarrow \vec u\cdot \vec v=x_1x_2+y_1y_2 \]
Norme
\[ \vec u\cdot \vec u=\|\vec u\|^2 \]
Orthogonalité
\[ \vec u\cdot \vec v=0 \iff \vec u \perp \vec v \]
Angle
\[ \cos(\theta)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} \]