Quiz — Produit scalaire
Quiz — Produit scalaire
20 questions sur les vecteurs, le produit scalaire, l’orthogonalité et les angles.
Q1. Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) peut s’écrire :
Non vérifié
Indice
Formule de définition.
Correction
La formule est \(\vec u\cdot \vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta)\).
Q2. Si \(\vec u(x_1;y_1)\) et \(\vec v(x_2;y_2)\), alors \(\vec u\cdot \vec v\) vaut :
Non vérifié
Indice
Formule en coordonnées.
Correction
\(\vec u\cdot \vec v=x_1x_2+y_1y_2\).
Q3. Deux vecteurs sont orthogonaux si :
Non vérifié
Indice
Critère fondamental.
Correction
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
Q4. Si l’angle entre deux vecteurs vaut \(90^\circ\), alors leur produit scalaire vaut :
Non vérifié
Indice
\(\cos(90^\circ)=0\).
Correction
Le produit scalaire vaut 0.
Q5. Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même vaut :
Non vérifié
Indice
Cas particulier.
Correction
\(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\).
Q6. Si deux vecteurs forment un angle aigu, leur produit scalaire est :
Non vérifié
Indice
Le cosinus d’un angle aigu est positif.
Correction
Le produit scalaire est positif.
Q7. Si deux vecteurs forment un angle obtus, leur produit scalaire est :
Non vérifié
Indice
Le cosinus d’un angle obtus est négatif.
Correction
Le produit scalaire est négatif.
Q8. Pour calculer un angle \(\theta\) entre deux vecteurs non nuls, on utilise :
Non vérifié
Indice
Formule à connaître.
Correction
On utilise la formule du cosinus.
Q9. Si \(\vec u=(1;2)\) et \(\vec v=(3;4)\), alors \(\vec u\cdot \vec v\) vaut :
Non vérifié
Indice
Faire \(1\times3+2\times4\).
Correction
\(1\times3+2\times4=11\).
Q10. Si \(\vec u=(2;1)\) et \(\vec v=(1;-2)\), alors :
Non vérifié
Indice
Calculer le produit scalaire.
Correction
\(2\times1+1\times(-2)=0\), donc ils sont orthogonaux.
Q11. Calculer \((2;3)\cdot(4;1)\).
Non vérifié
Indice
Faire \(2\times4+3\times1\).
Correction
\(8+3=11\).
Q12. Calculer \((1;2)\cdot(2;-1)\).
Non vérifié
Indice
Faire \(1\times2+2\times(-1)\).
Correction
\(2-2=0\).
Q13. Si \(\|\vec u\|=3\), calculer \(\vec u\cdot \vec u\).
Non vérifié
Indice
\(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\).
Correction
\(3^2=9\).
Q14. Si \(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=5\) et \(\theta=60^\circ\), calculer \(\vec u\cdot\vec v\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\cos(60^\circ)=\frac12\).
Correction
\(2\times5\times\frac12=5\).
Q15. Calculer \((3;4)\cdot(3;4)\).
Non vérifié
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Faire \(3^2+4^2\).
Correction
\(9+16=25\).
Q16. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
Non vérifié
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Une affirmation est fausse.
Correction
Les trois premières sont vraies. Le produit scalaire peut être négatif.
Q17. Le produit scalaire est utile pour :
Non vérifié
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Application géométrique directe.
Correction
Le produit scalaire sert notamment à tester la perpendicularité.
Q18. Si \(\cos(\theta)=0\), alors les vecteurs sont :
Non vérifié
Indice
Angle droit.
Correction
Si le cosinus vaut 0, l’angle vaut \(90^\circ\).
Q19. Si \(\vec u\cdot\vec v>0\), on peut dire que l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) est :
Non vérifié
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Signe du cosinus.
Correction
Un produit scalaire positif correspond à un angle aigu.
Q20. Si \(\vec u\cdot\vec v<0\), l’angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) est :
Non vérifié
Indice
Signe du cosinus.
Correction
Un produit scalaire négatif correspond à un angle obtus.