✏️ Exercices — Produit scalaire
Thèmes : vecteurs • coordonnées • angle • orthogonalité • applications géométriques.
Objectif : calculer un produit scalaire et l’utiliser pour résoudre des problèmes simples de géométrie.
Exercice 1 — Calcul direct en coordonnées
1ère STI2DSoient :
\[ ec u(2;3),\qquad ec v(4;-1) \]
Calculer \( ec u\cdot ec v\).
Exercice 2 — Produit scalaire nul
1ère STI2DSoient :
\[ ec u(1;2),\qquad ec v(2;-1) \]
Calculer \( ec u\cdot ec v\).
Exercice 3 — Orthogonalité
1ère STI2DOn considère :
\[ ec u(1;2),\qquad ec v(2;-1) \]
Que peut-on conclure ?
Exercice 4 — Norme au carré
1ère STI2DSoit :
\[ ec u(3;4) \]
Calculer \( ec u\cdot ec u\).
Exercice 5 — Norme d’un vecteur
1ère STI2DSoit :
\[ ec u(3;4) \]
Calculer \(\| ec u\|\).
Exercice 6 — Formule avec un angle
1ère STI2DOn sait que :
\[ \| ec u\|=2,\qquad \| ec v\|=5,\qquad heta=60^\circ \]
Calculer \( ec u\cdot ec v\).
Exercice 7 — Angle droit
1ère STI2DDeux vecteurs forment un angle de \(90^\circ\).
Que vaut leur produit scalaire ?
Exercice 8 — Signe du produit scalaire
1ère STI2DDeux vecteurs forment un angle obtus.
Leur produit scalaire est-il positif, nul ou négatif ?
Exercice 9 — Calcul d’un cosinus
1ère STI2DOn sait que :
\[ ec u\cdot ec v=6,\qquad \| ec u\|=2,\qquad \| ec v\|=3 \]
Calculer \(\cos( heta)\), où \( heta\) est l’angle entre \( ec u\) et \( ec v\).
Exercice 10 — Angle nul
1ère STI2DSi \(\cos( heta)=1\), que vaut l’angle \( heta\) ?
Exercice 11 — Calcul géométrique simple
1ère STI2DSoient :
\[ ec u(3;2),\qquad ec v(2;-3) \]
Montrer qu’ils sont orthogonaux.
Exercice 12 — Exercice complet
1ère STI2DOn considère :
\[ ec u(1;3),\qquad ec v(4;2) \]
- (a) Calculer \( ec u\cdot ec v\).
- (b) Calculer \(\| ec u\|^2\).
- (c) Dire si les vecteurs sont orthogonaux.