Probabilites Conditionnelles
1ERE-STI2D • MATHS — Learna
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Fiche ultra-synthèse — Probabilités conditionnelles
\(P_A(B)\) • arbre pondéré • intersection • probabilités totales • indépendance
Essentiel
\[
P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}
\qquad \text{avec } P(A)\neq 0
\]
\(P_A(B)\) se lit : probabilité de \(B\) sachant \(A\).
Intersection
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
\]
Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d’un chemin.
Probabilités totales
\[
P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)
\]
Cette formule est très utile quand l’univers est séparé en deux cas : \(A\) et \(\overline{A}\).
Indépendance
\[
A \text{ et } B \text{ indépendants } \iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)
\]
Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors :
\[
P_A(B)=P(B)
\]
Mini-tests corrigés
Test 1
\[
P(A)=0{,}2,\quad P_A(B)=0{,}5
\]
alors
\[
P(A\cap B)=0{,}1
\]
Test 2
\[
P(A)=0{,}4
\Rightarrow
P(\overline{A})=0{,}6
\]
Test 3
\[
P(A)=0{,}5,\quad P(B)=0{,}4,\quad P(A\cap B)=0{,}2
\]
donc \(A\) et \(B\) sont indépendants.
Test 4
\[
P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)
\]