Probabilites Conditionnelles
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Cours — Probabilités conditionnelles
Probabilités conditionnelles • arbres pondérés • probabilités totales • indépendance • lecture et interprétation
Définition Arbres pondérés Intersection Probabilités totales Indépendance Méthode Formulaire
1) Définition d’une probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\), notée \(P_A(B)\), est la probabilité que l’événement \(B\) se réalise lorsque l’on sait que \(A\) est réalisé.
Sa formule est : \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \qquad \text{avec } P(A)\neq 0 \]
Idée intuitive
On ne regarde plus toute la population, mais seulement les cas où \(A\) est réalisé.
Exemple de lecture
\(P_A(B)\) se lit : « probabilité de \(B\) sachant \(A\) ».
2) Arbres pondérés
Un arbre pondéré permet de représenter plusieurs étapes successives.
Règles à retenir
  • la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 ;
  • la probabilité d’un chemin se calcule en multipliant les probabilités sur ce chemin ;
  • pour obtenir la probabilité d’un événement, on additionne les chemins favorables si nécessaire.
Exemple d’arbre
Supposons : \[ P(A)=0{,}4,\qquad P_A(B)=0{,}7,\qquad P_{\overline{A}}(B)=0{,}2 \] Alors : \[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}4\times 0{,}7=0{,}28 \] et \[ P(\overline{A}\cap B)=0{,}6\times 0{,}2=0{,}12 \]
3) Probabilité d’une intersection
Si \(P(A)\neq 0\), alors : \[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \]
De même, si \(P(B)\neq 0\), on peut aussi écrire : \[ P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A) \]
Il ne faut pas confondre \(P(A\cap B)\) et \(P_A(B)\). La première est une probabilité “globale”, la seconde est une probabilité “sachant que”.
4) Formule des probabilités totales
Si \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers, alors : \[ P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) \]
En utilisant les probabilités conditionnelles : \[ P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \]
Exemple
On sait que : \[ P(A)=0{,}3,\qquad P_A(B)=0{,}8,\qquad P_{\overline{A}}(B)=0{,}1 \] Alors : \[ P(B)=0{,}3\times 0{,}8+0{,}7\times 0{,}1 \] \[ P(B)=0{,}24+0{,}07=0{,}31 \] Donc : \[ \boxed{P(B)=0{,}31} \]
5) Indépendance
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque : \[ P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \]
Lorsque \(A\) et \(B\) sont indépendants et si \(P(A)\neq 0\), on a aussi : \[ P_A(B)=P(B) \]
Interprétation
Savoir que \(A\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(B\).
Attention
Indépendance ne veut pas dire incompatibilité.
6) Méthode de résolution
Quand un arbre est donné
  • lire les probabilités de chaque branche ;
  • multiplier le long d’un chemin ;
  • additionner les chemins si besoin.
Quand on cherche \(P_A(B)\)
  • vérifier que \(P(A)\neq 0\) ;
  • utiliser \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]
Très souvent, la réussite dépend surtout d’une bonne lecture de l’énoncé et d’une notation propre.
7) Formulaire
\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \qquad (P(A)\neq 0) \] \[ P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \] \[ P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \] \[ A \text{ et } B \text{ indépendants } \iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \] \[ A \text{ et } B \text{ indépendants } \Rightarrow P_A(B)=P(B) \]