Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles (1ère STI2D)

Dans un atelier de capteurs, on prélève 400 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un contrôle des batteries, on prélève 420 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un fabrication de cartes électroniques, on prélève 440 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un assemblage de moteurs, on prélève 460 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un production de panneaux solaires, on prélève 480 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un vérification de connecteurs, on prélève 500 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un contrôle de modules radio, on prélève 520 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un assemblage de drones, on prélève 540 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un fabrication de thermostats, on prélève 560 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Dans un tests de dispositifs LED, on prélève 580 composants issus des ateliers A et B. On note D l’événement « composant défectueux ». On dispose du tableau incomplet suivant.

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs en justifiant chaque case manquante.
2. Calculer P(D), P(A ∩ D) et P(A).
3. Déterminer P_A(D), puis P_D(A). Expliquer pourquoi ces probabilités sont différentes.
4. Vérifier si les événements A et D sont indépendants.
5. Si une pièce est conforme, calculer la probabilité qu’elle provienne de B.

Un réseau de capteurs utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 35% ; les taux de panne sont 2% pour A et 12% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un parc de robots utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 39% ; les taux de panne sont 3% pour A et 13% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un système de ventilation utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 43% ; les taux de panne sont 4% pour A et 14% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un borne de recharge utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 47% ; les taux de panne sont 5% pour A et 15% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un dispositif domotique utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 51% ; les taux de panne sont 6% pour A et 16% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un ligne de tri optique utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 55% ; les taux de panne sont 7% pour A et 17% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un station météo utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 59% ; les taux de panne sont 8% pour A et 18% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un module Wi-Fi utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 63% ; les taux de panne sont 9% pour A et 19% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un machine de découpe utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 67% ; les taux de panne sont 10% pour A et 20% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Un unité de stockage utilise deux modèles A et B. La part du modèle A est 71% ; les taux de panne sont 11% pour A et 21% pour B. On note D l’événement « panne ».

1. Préciser P(A), P(B), P_A(D), P_B(D), puis compléter un arbre pondéré à deux niveaux.
2. Calculer P(A ∩ D) et P(B ∩ D) à l’aide des chemins.
3. En déduire P(D) avec la formule des probabilités totales.
4. Un appareil est en panne : calculer P_D(B) et interpréter le résultat.
5. Tester l’indépendance des événements A et D.

Lors d’un essai d’un capteur optique, la probabilité de réussite est \(\frac{3}{10}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un relais électrique, la probabilité de réussite est \(\frac{7}{20}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un composant numérique, la probabilité de réussite est \(\frac{2}{5}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un module de sécurité, la probabilité de réussite est \(\frac{9}{20}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un antenne IoT, la probabilité de réussite est \(\frac{1}{2}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un batterie testée, la probabilité de réussite est \(\frac{11}{20}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un moteur miniature, la probabilité de réussite est \(\frac{3}{5}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un connecteur réseau, la probabilité de réussite est \(\frac{13}{20}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un dispositif photovoltaïque, la probabilité de réussite est \(\frac{7}{10}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Lors d’un essai d’un système de refroidissement, la probabilité de réussite est \(\frac{3}{4}\). On effectue trois essais indépendants dans les mêmes conditions. On note S une réussite.

1. Construire un arbre pondéré pour les deux premiers essais et indiquer les branches du troisième.
2. Calculer la probabilité de trois réussites consécutives.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux réussites sur les trois essais.
4. Calculer la probabilité d’au moins une réussite et celle d’aucune réussite.
5. Sachant qu’au moins une réussite a été obtenue, calculer la probabilité que les trois essais aient réussi.

Pour tester un détecteur de fumée, on examine 1000 appareils, dont 50 réellement en panne. Le test est positif pour 45 appareils en panne et pour 30 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un système anti-intrusion, on examine 1100 appareils, dont 60 réellement en panne. Le test est positif pour 54 appareils en panne et pour 34 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un capteur de température, on examine 1200 appareils, dont 70 réellement en panne. Le test est positif pour 63 appareils en panne et pour 38 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un surveillance de moteur, on examine 1300 appareils, dont 80 réellement en panne. Le test est positif pour 72 appareils en panne et pour 42 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un contrôle d’étanchéité, on examine 1400 appareils, dont 90 réellement en panne. Le test est positif pour 81 appareils en panne et pour 46 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un détection de surtension, on examine 1500 appareils, dont 100 réellement en panne. Le test est positif pour 90 appareils en panne et pour 50 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un dispositif médical simulé, on examine 1600 appareils, dont 110 réellement en panne. Le test est positif pour 99 appareils en panne et pour 54 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un diagnostic de batteries, on examine 1700 appareils, dont 120 réellement en panne. Le test est positif pour 108 appareils en panne et pour 58 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un capteur de vibration, on examine 1800 appareils, dont 130 réellement en panne. Le test est positif pour 117 appareils en panne et pour 62 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.

Pour tester un contrôle des panneaux solaires, on examine 1900 appareils, dont 140 réellement en panne. Le test est positif pour 126 appareils en panne et pour 66 appareils en bon état. On note D « en panne » et T « test positif ».

1. Recopier et compléter le tableau des effectifs.
2. Calculer P(D), P(T), P(D ∩ T) et P_D(T).
3. Un test est positif : calculer P_T(D). Est-ce la même chose que P_D(T) ?
4. Sachant que le test est négatif, calculer la probabilité que l’appareil soit en bon état.
5. Déterminer la proportion de faux positifs parmi les appareils sans panne ; conclure sur l’interprétation d’un test positif.