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Cours — Primitives
Fonction dérivée • primitive • famille de primitives • lecture inverse de la dérivation • calculs simples
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
- comprendre ce qu’est une primitive ;
- retrouver une primitive simple à partir d’une dérivée connue ;
- savoir qu’une fonction admet une infinité de primitives ;
- reconnaître une famille de primitives ;
- vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre.
Idée générale
Chercher une primitive, c’est faire l’opération inverse de la dérivation.
Si on connaît la dérivée d’une fonction, on peut remonter à une primitive.
Idée-clé : si \(F'(x)=f(x)\), alors \(F\) est une primitive de \(f\).
2) Définition d’une primitive
Une fonction \(F\) est une primitive d’une fonction \(f\) sur un intervalle si :
\[
F'(x)=f(x)
\]
pour tout \(x\) de cet intervalle.
Exemple
Comme :
\[
(x^2)'=2x
\]
alors une primitive de \(2x\) est :
\[
x^2
\]
Autre exemple
Comme :
\[
(3x)'=3
\]
alors une primitive de 3 est :
\[
3x
\]
3) La primitive : opération inverse de la dérivation
On peut résumer :
| Fonction | Dérivée | Primitive |
|---|---|---|
| \(x^2\) | \(2x\) | une primitive de \(2x\) est \(x^2\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) | une primitive de \(3x^2\) est \(x^3\) |
| \(5x\) | \(5\) | une primitive de \(5\) est \(5x\) |
Chercher une primitive consiste donc à « remonter » depuis une dérivée.
4) Une infinité de primitives
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors pour toute constante réelle \(C\),
\[
F(x)+C
\]
est aussi une primitive de \(f\).
En effet, la dérivée d’une constante est nulle.
Exemple
On sait que :
\[
(x^2)'=2x
\]
Donc :
\[
x^2,\quad x^2+1,\quad x^2-5,\quad x^2+\pi
\]
sont toutes des primitives de \(2x\).
On parle donc d’une famille de primitives.
5) Primitives usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(C\) |
| \(a\) | \(ax\) |
| \(x\) | \(\dfrac{x^2}{2}\) |
| \(2x\) | \(x^2\) |
| \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) |
| \(3x^2\) | \(x^3\) |
Ces formules sont à connaître dans les cas les plus simples.
6) Vérifier qu’une fonction est une primitive
Pour montrer qu’une fonction \(F\) est une primitive de \(f\), il suffit de dériver \(F\) et de vérifier qu’on retrouve \(f\).
Exemple
Vérifions que :
\[
F(x)=x^3+2
\]
est une primitive de :
\[
f(x)=3x^2.
\]
En effet :
\[
F'(x)=3x^2+0=3x^2=f(x)
\]
donc \(F\) est bien une primitive de \(f\).
7) Méthode de résolution
Pour trouver une primitive
- identifier la forme de la fonction ;
- reconnaître une dérivée connue ;
- ajouter éventuellement une constante \(C\).
Pour vérifier une primitive
- dériver la fonction proposée ;
- comparer avec la fonction de départ ;
- conclure clairement.
Exemple :
une primitive de \(4x\) est \(2x^2\), car :
\[
(2x^2)'=4x
\]
8) Formulaire
Définition
\[
F \text{ primitive de } f
\iff
F'(x)=f(x)
\]
Famille de primitives
\[
F(x)+C
\]
Cas simples
\[
a \longrightarrow ax
\]
\[
x \longrightarrow \frac{x^2}{2}
\]
\[
x^2 \longrightarrow \frac{x^3}{3}
\]
Exemples directs
\[
2x \longrightarrow x^2
\]
\[
3x^2 \longrightarrow x^3
\]
\[
5 \longrightarrow 5x
\]