Fiche de révision — Nombres complexes (1ère STI2D)
Cette fiche de révision de maths en 1ère STI2D résume le chapitre Nombres complexes. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
Fiche ultra-synthèse — Nombres complexes
Forme algébrique • opérations • conjugué • module • quotient • équations simples • plan complexe.
Objectif : calculer vite, éviter les pièges et conclure proprement.
Essentiel à connaître par cœur
1 Le nombre \(i\)
On introduit un nombre \(i\) tel que :
\[
\boxed{i^2=-1}
\]
Grâce à \(i\), l’équation \(x^2=-1\) possède deux solutions :
\[
x=i \quad \text{ou} \quad x=-i.
\]
2 Forme algébrique
Tout nombre complexe s’écrit :
\[
\boxed{z=a+ib}
\]
avec \(a,b\in\mathbb{R}\).
\[
\operatorname{Re}(z)=a,
\qquad
\operatorname{Im}(z)=b.
\]
3 Conjugué
Si :
\[
z=a+ib,
\]
alors :
\[
\boxed{\overline{z}=a-ib}
\]
Le conjugué garde la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire.
4 Module
Si :
\[
z=a+ib,
\]
alors :
\[
\boxed{|z|=\sqrt{a^2+b^2}}
\]
Le module représente une distance dans le plan complexe.
Formules indispensables
A Forme algébrique
\[
z=a+ib
\]
\[
\operatorname{Re}(z)=a
\]
\[
\operatorname{Im}(z)=b
\]
\[
i^2=-1
\]
B Opérations
\[
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
\]
\[
(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)
\]
\[
(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)
\]
C Conjugué et module
\[
\overline{a+ib}=a-ib
\]
\[
z\overline{z}=a^2+b^2
\]
\[
|z|=\sqrt{a^2+b^2}
\]
\[
|z|^2=z\overline{z}
\]
D Inverse
\[
\frac{1}{a+ib}
=
\frac{a-ib}{a^2+b^2}
\]
\[
a+ib\neq 0
\]
Pour un quotient complexe, on multiplie par le conjugué du dénominateur.
E Puissances de \(i\)
| Puissance | Valeur | À retenir |
|---|---|---|
| \(i^0\) | \(1\) | Départ du cycle |
| \(i^1\) | \(i\) | Nombre imaginaire |
| \(i^2\) | \(-1\) | Propriété fondamentale |
| \(i^3\) | \(-i\) | Car \(i^3=i^2\times i\) |
| \(i^4\) | \(1\) | Le cycle recommence |
Les puissances de \(i\) se répètent tous les 4 rangs.
Méthodes rapides 20/20
A Additionner ou soustraire
- Regrouper les parties réelles.
- Regrouper les parties imaginaires.
- Écrire le résultat sous la forme \(a+ib\).
Exemple :
\[
(2+3i)+(5-i)=7+2i
\]
B Multiplier deux complexes
- Développer comme en calcul littéral.
- Remplacer \(i^2\) par \(-1\).
- Réduire les parties réelle et imaginaire.
Exemple :
\[
(2+3i)(1-i)
=2-2i+3i-3i^2
\]
\[
=2+i+3=5+i
\]
C Mettre un quotient sous forme algébrique
- Repérer le dénominateur.
- Calculer son conjugué.
- Multiplier numérateur et dénominateur par ce conjugué.
- Réduire sous forme \(a+ib\).
\[
\frac{1}{2+i}
=
\frac{1}{2+i}\times\frac{2-i}{2-i}
=
\frac{2-i}{5}
=
\frac25-\frac15i
\]
D Lire un complexe dans le plan
Si :
\[
z=a+ib,
\]
alors le point \(M\) d’affixe \(z\) a pour coordonnées :
\[
\boxed{M(a\ ;\ b)}
\]
La partie réelle donne l’abscisse.
La partie imaginaire donne l’ordonnée.
E Calculer une distance
Si \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(z_A\) et \(z_B\), alors :
\[
\boxed{AB=|z_B-z_A|}
\]
\[
z_A=1+2i,\quad z_B=4+6i
\]
\[
z_B-z_A=3+4i
\]
\[
AB=|3+4i|=5
\]
F Résoudre une équation simple
- Isoler \(z\).
- Réduire sous forme \(a+ib\).
- Pour \(z^2=-a^2\), utiliser \(i^2=-1\).
\[
z^2=-9
\]
\[
z=3i
\quad \text{ou} \quad
z=-3i
\]
Pièges classiques à éviter
1 Partie imaginaire
Si \(z=4-7i\), alors :
\[
\operatorname{Im}(z)=-7
\]
et non \(-7i\).
2 Conjugué
Le conjugué de \(6-4i\) est :
\[
6+4i
\]
et non \(-6+4i\).
3 Produit
Dans un produit, il faut toujours remplacer :
\[
i^2 \text{ par } -1.
\]
4 Module
Pour \(z=a+ib\), on a :
\[
|z|=\sqrt{a^2+b^2}
\]
et non \(a+b\).
5 Coordonnées
Si \(z=-2+5i\), alors :
\[
M(-2\ ;\ 5)
\]
et non \(M(5\ ;\ -2)\).
6 Quotient
On ne simplifie pas directement :
\[
\frac{1}{2+i}
\]
Il faut multiplier par le conjugué \(2-i\).
Réflexe contrôle :
développer \(\to\) remplacer \(i^2\) par \(-1\) \(\to\) réduire sous forme \(a+ib\).
Mini-tests — corrigés rapides
Q1 Partie réelle
Soit \(z=5-8i\). Donner \(\operatorname{Re}(z)\).
Corrigé : \(\operatorname{Re}(z)=5\).
Q2 Partie imaginaire
Soit \(z=5-8i\). Donner \(\operatorname{Im}(z)\).
Corrigé : \(\operatorname{Im}(z)=-8\).
Q3 Addition
Calculer \((2+3i)+(4-i)\).
Corrigé : \(6+2i\).
Q4 Produit
Calculer \((1+i)^2\).
Corrigé : \((1+i)^2=1+2i+i^2=2i\).
Q5 Conjugué
Donner le conjugué de \(z=7-2i\).
Corrigé : \(\overline{z}=7+2i\).
Q6 Module
Calculer \(|3-4i|\).
Corrigé : \(|3-4i|=\sqrt{9+16}=5\).
Q7 Quotient
Mettre \(\dfrac{1}{1+i}\) sous forme algébrique.
Corrigé :
\[
\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}
\]
Q8 Affixe
Si \(z=-3+6i\), quelles sont les coordonnées du point \(M\) ?
Corrigé : \(M(-3\ ;\ 6)\).
Q9 Équation
Résoudre \(z^2=-25\).
Corrigé : \(z=5i\) ou \(z=-5i\).
Q10 Puissance de \(i\)
Calculer \(i^{14}\).
Corrigé : \(14=4\times3+2\), donc \(i^{14}=i^2=-1\).
Checklist avant contrôle
Je sais faire
- Utiliser la propriété \(i^2=-1\).
- Écrire un complexe sous forme \(a+ib\).
- Identifier la partie réelle et la partie imaginaire.
- Additionner, soustraire et multiplier deux complexes.
- Calculer des puissances simples de \(i\).
- Calculer le conjugué d’un complexe.
- Calculer le module d’un complexe.
- Mettre un quotient sous forme algébrique.
- Résoudre une équation simple dans \(\mathbb{C}\).
- Associer un complexe à un point du plan.
Réflexes 20/20
1) Je réduis toujours sous forme \(a+ib\).
2) Dans un produit, je remplace toujours \(i^2\) par \(-1\).
3) Dans un quotient, j’utilise le conjugué du dénominateur.
4) Dans le plan, je lis \(z=a+ib\) comme \(M(a\ ;\ b)\).
2) Dans un produit, je remplace toujours \(i^2\) par \(-1\).
3) Dans un quotient, j’utilise le conjugué du dénominateur.
4) Dans le plan, je lis \(z=a+ib\) comme \(M(a\ ;\ b)\).
À bannir : écrire \(\operatorname{Im}(4-7i)=-7i\),
oublier \(i^2=-1\), inverser les coordonnées ou changer le signe de toute l’expression pour le conjugué.
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