Quiz de maths 1ère STI2D : Nombres complexes
Quiz — Nombres complexes
20 questions progressives : forme algébrique, partie réelle, partie imaginaire, opérations, conjugué, module, inverse, équations simples et interprétation géométrique.
Quiz — Nombres complexes
20 questions progressives : forme algébrique, partie réelle, partie imaginaire, opérations, conjugué, module, inverse, équations simples et interprétation géométrique.
Q1. Un nombre complexe écrit sous forme algébrique s’écrit :
Non vérifié
Indice
La lettre \(i\) intervient dans la partie imaginaire.
Correction
La forme algébrique d’un nombre complexe est \(z=a+ib\), où \(a\) est la partie réelle et \(b\) la partie imaginaire.
Q2. On sait que \(i^2=\) :
Non vérifié
Indice
C’est la propriété fondamentale du nombre \(i\).
Correction
Par définition, le nombre \(i\) vérifie \(i^2=-1\).
Q3. Soit \(z=4-7i\). La partie réelle de \(z\) est :
Non vérifié
Indice
Dans \(a+ib\), la partie réelle est \(a\).
Correction
On a \(z=4-7i\). Donc \(\operatorname{Re}(z)=4\).
Q4. Soit \(z=4-7i\). La partie imaginaire de \(z\) est :
Non vérifié
Indice
La partie imaginaire est le coefficient de \(i\), pas le terme avec \(i\).
Correction
Dans \(z=4-7i\), le coefficient de \(i\) est \(-7\). Donc \(\operatorname{Im}(z)=-7\).
Q5. Écrire sous forme algébrique : \(z=3+2i-5+i\).
Non vérifié
Indice
Regrouper les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble.
Correction
On calcule : \(3-5=-2\) et \(2i+i=3i\). Donc \(z=-2+3i\).
Q6. Soient \(z_1=2+3i\) et \(z_2=5-i\). Alors \(z_1+z_2=\)
Non vérifié
Indice
Additionner les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.
Correction
On a \(z_1+z_2=(2+5)+(3i-i)=7+2i\).
Q7. Soient \(z_1=2+3i\) et \(z_2=5-i\). Alors \(z_1-z_2=\)
Non vérifié
Indice
Attention au signe moins devant toute la parenthèse.
Correction
On calcule : \(z_1-z_2=(2+3i)-(5-i)=2+3i-5+i=-3+4i\).
Q8. Calculer \((2+3i)(1-i)\).
Non vérifié
Indice
Développer puis utiliser \(i^2=-1\).
Correction
\((2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=2+i+3=5+i\).
Q9. Développer et simplifier : \((3-2i)^2\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), puis \(i^2=-1\).
Correction
\((3-2i)^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i\).
Q10. Cocher les égalités vraies.
Non vérifié
Indice
Utiliser les puissances successives de \(i\).
Correction
On a \(i^2=-1\), \(i^3=i^2\times i=-i\), \(i^4=(i^2)^2=1\), puis \(i^5=i\). Donc les trois premières égalités sont vraies.
Q11. Le conjugué de \(z=6-4i\) est :
Non vérifié
Indice
Le conjugué change seulement le signe de la partie imaginaire.
Correction
Si \(z=a+ib\), alors \(\overline{z}=a-ib\). Donc si \(z=6-4i\), alors \(\overline{z}=6+4i\).
Q12. Soit \(z=3+4i\). Le module de \(z\) vaut :
Non vérifié
Indice
Utiliser \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Correction
\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).
Q13. Pour tout nombre complexe \(z=a+ib\), le produit \(z\overline{z}\) est égal à :
Non vérifié
Indice
Développer \((a+ib)(a-ib)\).
Correction
\(z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2-i^2b^2=a^2+b^2\).
Q14. Mettre sous forme algébrique : \(\dfrac{1}{2+i}\).
Non vérifié
Indice
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(2-i\).
Correction
\(\displaystyle \frac{1}{2+i}=\frac{1}{2+i}\times\frac{2-i}{2-i}=\frac{2-i}{4+1}=\frac{2-i}{5}\). Donc \(\displaystyle \frac{1}{2+i}=\frac25-\frac15 i\).
Q15. Si \(|z|=0\), alors :
Non vérifié
Indice
Le module représente une distance à l’origine.
Correction
Le module d’un complexe est une distance. La seule distance nulle à l’origine est obtenue pour \(z=0\).
Q16. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z+3-2i=5+i\).
Non vérifié
Indice
Isoler \(z\).
Correction
On a \(z=5+i-3+2i=2+3i\).
Q17. Dans le plan complexe, le point \(M\) d’affixe \(z=-2+5i\) a pour coordonnées :
Non vérifié
Indice
L’abscisse est la partie réelle et l’ordonnée est la partie imaginaire.
Correction
Si \(z=a+ib\), alors le point d’affixe \(z\) a pour coordonnées \((a;b)\). Ici \(a=-2\) et \(b=5\), donc \(M(-2;5)\).
Q18. Soit \(A\) d’affixe \(z_A=1+2i\) et \(B\) d’affixe \(z_B=4+6i\). La distance \(AB\) vaut :
Non vérifié
Indice
Calculer \(|z_B-z_A|\).
Correction
On calcule \(z_B-z_A=(4+6i)-(1+2i)=3+4i\). Donc \(AB=|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Q19. Soit \(z=-3+2i\). Cocher les affirmations vraies.
Non vérifié
Indice
Attention : le conjugué garde la même partie réelle.
Correction
Pour \(z=-3+2i\), on a \(\operatorname{Re}(z)=-3\), \(\operatorname{Im}(z)=2\), \(\overline{z}=-3-2i\), et \(|z|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}\).
Q20. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2=-9\).
Non vérifié
Indice
Utiliser le fait que \(i^2=-1\).
Correction
Comme \(i^2=-1\), on a \((3i)^2=9i^2=-9\) et \((-3i)^2=9i^2=-9\). Donc les solutions sont \(z=3i\) et \(z=-3i\).