Cours — Nombres complexes (1ère STI2D)
Cette page propose un cours de mathématiques en 1ère STI2D sur Nombres complexes. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler forme algébrique, forme trigonométrique, module et argument, applications géométriques.
Cours — Nombres complexes
Forme algébrique • partie réelle • partie imaginaire • opérations • conjugué • module • inverse • équations simples • plan complexe.
1) Objectifs du chapitre
Compétences attendues
- Comprendre le rôle du nombre \(i\), défini par \(i^2=-1\).
- Écrire un nombre complexe sous forme algébrique \(a+ib\).
- Identifier la partie réelle et la partie imaginaire.
- Effectuer des additions, soustractions, multiplications.
- Utiliser le conjugué pour simplifier un quotient.
- Calculer le module d’un nombre complexe.
- Résoudre des équations simples dans \(\mathbb{C}\).
- Associer un nombre complexe à un point du plan.
Idée centrale
Les nombres complexes permettent de résoudre des équations qui n’ont pas toujours de solution réelle,
par exemple :
\[
x^2+1=0.
\]
Dans \(\mathbb{R}\), cette équation n’a pas de solution.
Dans \(\mathbb{C}\), elle admet deux solutions :
\[
x=i \quad \text{et} \quad x=-i.
\]
\[
i^2=-1
\]
\[
z=a+ib
\]
\[
a=\operatorname{Re}(z),
\qquad
b=\operatorname{Im}(z)
\]
2) Le nombre \(i\) et l’ensemble \(\mathbb{C}\)
Définition du nombre \(i\)
On introduit un nouveau nombre, noté \(i\), qui vérifie :
\[
\boxed{i^2=-1}
\]
Ce nombre n’est pas réel, car aucun nombre réel élevé au carré ne donne \(-1\).
Ensemble des nombres complexes
L’ensemble des nombres complexes est noté :
\[
\mathbb{C}.
\]
Il contient tous les nombres réels, mais aussi les nombres faisant intervenir \(i\).
\[
\mathbb{R}\subset \mathbb{C}
\]
Attention : \(i\) n’est pas une variable. C’est un nombre particulier vérifiant \(i^2=-1\).
3) Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition
Tout nombre complexe \(z\) peut s’écrire sous la forme :
\[
\boxed{z=a+ib}
\]
où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.
Vocabulaire
- \(a\) est la partie réelle de \(z\).
- \(b\) est la partie imaginaire de \(z\).
\[
\operatorname{Re}(z)=a
\]
\[
\operatorname{Im}(z)=b
\]
Exemple 1 — Partie réelle et partie imaginaire
Soit :
\[
z=5-3i.
\]
On écrit :
\[
z=5+i(-3).
\]
Donc :
\[
\operatorname{Re}(z)=5,
\qquad
\operatorname{Im}(z)=-3.
\]
La partie imaginaire est \(-3\), et non \(-3i\).
Exemple 2 — Reconnaître un réel et un imaginaire pur
Si :
\[
z=7,
\]
alors :
\[
z=7+0i.
\]
Donc \(z\) est un nombre réel.
Si :
\[
z=-4i,
\]
alors :
\[
z=0-4i.
\]
Donc \(z\) est un imaginaire pur.
Un réel a une partie imaginaire nulle.
Un imaginaire pur a une partie réelle nulle.
4) Égalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle
et la même partie imaginaire.
\[
a+ib=c+id
\]
\[
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
a=c\\
b=d
\end{cases}
\]
Exemple 3 — Déterminer deux inconnues
On suppose :
\[
x+2i=3+yi.
\]
Par égalité des parties réelles :
\[
x=3.
\]
Par égalité des parties imaginaires :
\[
2=y.
\]
Conclusion :
\[
\boxed{x=3 \quad \text{et} \quad y=2}
\]
5) Opérations sur les nombres complexes
Addition et soustraction
\[
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
\]
\[
(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)
\]
On regroupe les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble.
Multiplication
\[
(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd
\]
\[
(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)
\]
On développe normalement puis on remplace \(i^2\) par \(-1\).
Exemple 4 — Addition
Soient :
\[
z_1=2+5i,
\qquad
z_2=7-3i.
\]
Alors :
\[
z_1+z_2=(2+7)+(5i-3i)=9+2i.
\]
\[
\boxed{z_1+z_2=9+2i}
\]
Exemple 5 — Soustraction
Soient :
\[
z_1=4+6i,
\qquad
z_2=1-2i.
\]
Alors :
\[
z_1-z_2=(4+6i)-(1-2i)
\]
\[
z_1-z_2=4+6i-1+2i=3+8i.
\]
\[
\boxed{z_1-z_2=3+8i}
\]
Exemple 6 — Multiplication
Calculer :
\[
(2+3i)(4-i).
\]
On développe :
\[
(2+3i)(4-i)=8-2i+12i-3i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
8+10i-3(-1)=8+10i+3.
\]
Donc :
\[
(2+3i)(4-i)=11+10i.
\]
\[
\boxed{(2+3i)(4-i)=11+10i}
\]
Exemple 7 — Carré d’un complexe
Calculer :
\[
(3-2i)^2.
\]
On utilise l’identité remarquable :
\[
(3-2i)^2=3^2-2\times3\times2i+(2i)^2.
\]
Donc :
\[
(3-2i)^2=9-12i+4i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), alors :
\[
(3-2i)^2=9-12i-4=5-12i.
\]
\[
\boxed{(3-2i)^2=5-12i}
\]
6) Puissances de \(i\)
Les puissances de \(i\) se répètent tous les 4 rangs :
| Puissance | Valeur |
|---|---|
| \(i^0\) | \(1\) |
| \(i^1\) | \(i\) |
| \(i^2\) | \(-1\) |
| \(i^3\) | \(-i\) |
| \(i^4\) | \(1\) |
Pour calculer une grande puissance de \(i\), on divise l’exposant par 4 et on regarde le reste.
Exemple 8 — Calculer \(i^{27}\)
On divise \(27\) par \(4\) :
\[
27=4\times6+3.
\]
Donc :
\[
i^{27}=i^{4\times6+3}=(i^4)^6\times i^3.
\]
Comme \(i^4=1\), on a :
\[
i^{27}=1^6\times i^3=i^3=-i.
\]
\[
\boxed{i^{27}=-i}
\]
7) Conjugué d’un nombre complexe
Définition
Soit :
\[
z=a+ib.
\]
Le conjugué de \(z\), noté \(\overline{z}\), est :
\[
\boxed{\overline{z}=a-ib}
\]
Interprétation simple
- La partie réelle ne change pas.
- La partie imaginaire change de signe.
Il ne faut pas changer le signe de tout le nombre.
Exemple 9 — Calculer un conjugué
Si :
\[
z=6-4i,
\]
alors :
\[
\overline{z}=6+4i.
\]
\[
\boxed{\overline{6-4i}=6+4i}
\]
Propriétés importantes
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Conjugué du conjugué | \(\overline{\overline{z}}=z\) |
| Somme | \(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\) |
| Produit | \(\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}\) |
| Produit avec son conjugué | \(z\overline{z}=a^2+b^2\) |
8) Module d’un nombre complexe
Définition
Soit :
\[
z=a+ib.
\]
Le module de \(z\), noté \(|z|\), est :
\[
\boxed{|z|=\sqrt{a^2+b^2}}
\]
Lien avec le conjugué
\[
z\overline{z}=a^2+b^2
\]
\[
|z|^2=z\overline{z}
\]
\[
|z|=\sqrt{z\overline{z}}
\]
Exemple 10 — Calculer un module
Soit :
\[
z=3+4i.
\]
Alors :
\[
|z|=\sqrt{3^2+4^2}.
\]
Donc :
\[
|z|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
\]
\[
\boxed{|3+4i|=5}
\]
Attention : le module est toujours positif ou nul :
\[
|z|\geq 0.
\]
Et :
\[
|z|=0 \Longleftrightarrow z=0.
\]
9) Inverse et quotient d’un nombre complexe
Idée principale
Pour mettre un quotient complexe sous forme algébrique, on multiplie le numérateur
et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Inverse de \(a+ib\)
\[
\frac{1}{a+ib}
=
\frac{1}{a+ib}\times\frac{a-ib}{a-ib}
\]
\[
\frac{1}{a+ib}
=
\frac{a-ib}{a^2+b^2}
\]
\[
a+ib\neq 0
\]
Pourquoi ça marche ?
\[
(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2
\]
Le dénominateur devient réel, ce qui permet d’obtenir une forme algébrique.
Exemple 11 — Mettre \(\dfrac{1}{2+i}\) sous forme algébrique
On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[
\frac{1}{2+i}
=
\frac{1}{2+i}\times\frac{2-i}{2-i}.
\]
Donc :
\[
\frac{1}{2+i}
=
\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}.
\]
Or :
\[
(2+i)(2-i)=2^2+1^2=5.
\]
Ainsi :
\[
\frac{1}{2+i}=\frac{2-i}{5}.
\]
\[
\boxed{\frac{1}{2+i}=\frac25-\frac15 i}
\]
Exemple 12 — Mettre \(\dfrac{3+i}{1-2i}\) sous forme algébrique
Le conjugué de \(1-2i\) est \(1+2i\).
\[
\frac{3+i}{1-2i}
=
\frac{3+i}{1-2i}\times\frac{1+2i}{1+2i}.
\]
Au numérateur :
\[
(3+i)(1+2i)=3+6i+i+2i^2.
\]
Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[
3+7i-2=1+7i.
\]
Au dénominateur :
\[
(1-2i)(1+2i)=1^2+2^2=5.
\]
Donc :
\[
\frac{3+i}{1-2i}=\frac{1+7i}{5}.
\]
\[
\boxed{\frac{3+i}{1-2i}=\frac15+\frac75 i}
\]
10) Résoudre des équations simples dans \(\mathbb{C}\)
Équation du premier degré
On isole \(z\) comme dans les équations réelles.
\[
z+3-2i=5+i
\]
\[
z=5+i-3+2i
\]
\[
z=2+3i
\]
Équation avec \(z^2\)
On utilise la propriété :
\[
i^2=-1.
\]
\[
z^2=-9
\]
\[
z=3i
\quad \text{ou} \quad
z=-3i
\]
Exemple 13 — Résoudre \(z-4+5i=2-3i\)
On isole \(z\) :
\[
z=2-3i+4-5i.
\]
Donc :
\[
z=6-8i.
\]
\[
\boxed{z=6-8i}
\]
Exemple 14 — Résoudre \(z^2=-16\)
On cherche les nombres complexes dont le carré vaut \(-16\).
Comme :
\[
(4i)^2=16i^2=-16,
\]
et :
\[
(-4i)^2=16i^2=-16,
\]
les solutions sont :
\[
z=4i
\quad \text{ou} \quad
z=-4i.
\]
\[
\boxed{S=\{-4i\ ;\ 4i\}}
\]
11) Représentation géométrique dans le plan complexe
Affixe d’un point
À tout nombre complexe :
\[
z=a+ib
\]
on associe un point \(M\) du plan de coordonnées :
\[
\boxed{M(a\ ;\ b)}
\]
Lecture géométrique
- La partie réelle donne l’abscisse.
- La partie imaginaire donne l’ordonnée.
- Le module \(|z|\) donne la distance du point à l’origine.
\[
OM=|z|
\]
Exemple 15 — Placer un point dans le plan complexe
Soit :
\[
z=-2+5i.
\]
Alors le point \(M\) d’affixe \(z\) a pour coordonnées :
\[
M(-2\ ;\ 5).
\]
Partie réelle : \(-2\).
Partie imaginaire : \(5\).
Exemple 16 — Distance entre deux points
Soient :
\[
z_A=1+2i,
\qquad
z_B=4+6i.
\]
La distance \(AB\) est :
\[
AB=|z_B-z_A|.
\]
On calcule :
\[
z_B-z_A=(4+6i)-(1+2i)=3+4i.
\]
Donc :
\[
AB=|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5.
\]
\[
\boxed{AB=5}
\]
12) Méthode complète pour un exercice de nombres complexes
| Étape | Ce qu’il faut faire |
|---|---|
| 1 Identifier | Repérer la forme du complexe : \(a+ib\), quotient, équation, affixe. |
| 2 Simplifier | Développer, réduire, remplacer \(i^2\) par \(-1\). |
| 3 Séparer | Regrouper la partie réelle et la partie imaginaire. |
| 4 Conjugué | Si un quotient apparaît, multiplier par le conjugué du dénominateur. |
| 5 Module | Utiliser \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) si on parle de distance ou de longueur. |
| 6 Géométrie | Traduire \(z=a+ib\) par le point \(M(a\ ;\ b)\). |
Réflexe essentiel :
\[
\boxed{\text{développer} \rightarrow \text{remplacer } i^2 \text{ par } -1 \rightarrow \text{réduire}}
\]
13) Erreurs fréquentes à éviter
Erreur 1 — Confondre partie imaginaire et terme imaginaire
Si \(z=4-7i\), la partie imaginaire est \(-7\), pas \(-7i\).
Erreur 2 — Oublier \(i^2=-1\)
Dans un produit, il faut toujours remplacer \(i^2\) par \(-1\).
Erreur 3 — Mauvais conjugué
Le conjugué de \(6-4i\) est \(6+4i\), pas \(-6+4i\).
Erreur 4 — Mauvaise coordonnée
Si \(z=-2+5i\), alors \(M(-2\ ;\ 5)\), pas \(M(5\ ;\ -2)\).
14) Mini-formulaire complet
Forme algébrique
\[
z=a+ib
\]
\[
\operatorname{Re}(z)=a
\]
\[
\operatorname{Im}(z)=b
\]
\[
i^2=-1
\]
Conjugué
\[
z=a+ib
\]
\[
\overline{z}=a-ib
\]
\[
z\overline{z}=a^2+b^2
\]
Module
\[
|z|=\sqrt{a^2+b^2}
\]
\[
|z|^2=z\overline{z}
\]
\[
|z|=0 \Longleftrightarrow z=0
\]
Inverse
\[
\frac{1}{a+ib}
=
\frac{a-ib}{a^2+b^2}
\]
\[
a+ib\neq 0
\]
Plan complexe
\[
z=a+ib
\]
\[
M(a\ ;\ b)
\]
\[
OM=|z|
\]
\[
AB=|z_B-z_A|
\]
Puissances de \(i\)
\[
i^0=1
\]
\[
i^1=i
\]
\[
i^2=-1
\]
\[
i^3=-i
\]
\[
i^4=1
\]
Checklist “copie parfaite”
- Je connais la propriété fondamentale \(i^2=-1\).
- Je sais écrire un complexe sous la forme \(a+ib\).
- Je sais identifier \(\operatorname{Re}(z)\) et \(\operatorname{Im}(z)\).
- Je sais additionner, soustraire et multiplier deux complexes.
- Je sais calculer un conjugué.
- Je sais calculer un module.
- Je sais rendre réel un dénominateur avec le conjugué.
- Je sais résoudre une équation simple dans \(\mathbb{C}\).
- Je sais associer \(z=a+ib\) au point \(M(a\ ;\ b)\).
À éviter : oublier que \(i^2=-1\), confondre \(\operatorname{Im}(z)\) avec le terme en \(i\),
changer le signe de toute l’expression pour le conjugué, ou inverser les coordonnées du point.
Suivez votre progression
Connectez-vous pour enregistrer votre progression et vos tentatives de quiz.