Exercices corrigés — Nombres complexes (1ère STI2D)
Exercices — Nombres complexes (20 exercices)
Niveau 1ère STI2D. Forme algébrique, opérations, puissances de \(i\), conjugué, module, quotient, équations simples et plan complexe. Version V1 PRODUCTION : MathJax propre, corrections détaillées, exercices solides.
A — Forme algébrique, parties réelle et imaginaire, puissances de i
1. Identifier la partie réelle et la partie imaginaire
Pour chacun des nombres complexes suivants, donner la partie réelle et la partie imaginaire.
\[ z_1=3+5i,\qquad z_2=-4+7i,\qquad z_3=6-2i,\qquad z_4=-8i \]On rappelle que si \(z=a+ib\), alors :
\[ \operatorname{Re}(z)=a,\qquad \operatorname{Im}(z)=b. \]- Pour \(z_1=3+5i\) : \(\operatorname{Re}(z_1)=3\), \(\operatorname{Im}(z_1)=5\).
- Pour \(z_2=-4+7i\) : \(\operatorname{Re}(z_2)=-4\), \(\operatorname{Im}(z_2)=7\).
- Pour \(z_3=6-2i\) : \(\operatorname{Re}(z_3)=6\), \(\operatorname{Im}(z_3)=-2\).
- Pour \(z_4=-8i=0-8i\) : \(\operatorname{Re}(z_4)=0\), \(\operatorname{Im}(z_4)=-8\).
Attention : la partie imaginaire est le coefficient de \(i\), pas le terme avec \(i\).
2. Écrire sous forme algébrique
Écrire sous forme algébrique \(a+ib\) :
\[ z=4+3i-7+5i. \]On regroupe les parties réelles et les parties imaginaires :
\[ z=(4-7)+(3i+5i). \]Donc :
\[ z=-3+8i. \]Réponse : \(\boxed{z=-3+8i}\).
3. Déterminer deux réels par égalité de complexes
Déterminer les réels \(x\) et \(y\) tels que :
\[ x+4i=7+yi. \]Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.
\[ x+4i=7+yi \]Donc :
\[ x=7 \qquad\text{et}\qquad 4=y. \]Réponse : \(\boxed{x=7\text{ et }y=4}\).
4. Calculer des puissances simples de i
Calculer :
\[ i^2,\qquad i^3,\qquad i^4,\qquad i^5,\qquad i^8. \]On utilise \(i^2=-1\).
\[ i^2=-1 \] \[ i^3=i^2\times i=-i \] \[ i^4=i^2\times i^2=(-1)\times(-1)=1 \] \[ i^5=i^4\times i=1\times i=i \] \[ i^8=(i^4)^2=1^2=1 \]Réponse : \(\boxed{i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\ i^5=i,\ i^8=1}\).
5. Grande puissance de i
Calculer :
\[ i^{27},\qquad i^{42},\qquad i^{101}. \]Les puissances de \(i\) se répètent tous les 4 rangs.
Pour \(i^{27}\) :
\[ 27=4\times6+3 \] donc \[ i^{27}=i^3=-i. \]Pour \(i^{42}\) :
\[ 42=4\times10+2 \] donc \[ i^{42}=i^2=-1. \]Pour \(i^{101}\) :
\[ 101=4\times25+1 \] donc \[ i^{101}=i. \]Réponse : \(\boxed{i^{27}=-i,\ i^{42}=-1,\ i^{101}=i}\).
6. Reconnaître un réel et un imaginaire pur
Parmi les nombres suivants, indiquer lesquels sont réels et lesquels sont imaginaires purs :
\[ z_1=5,\qquad z_2=-3i,\qquad z_3=4+2i,\qquad z_4=0,\qquad z_5=7i. \]Un complexe \(z=a+ib\) est réel si \(b=0\).
Il est imaginaire pur si \(a=0\).
- \(z_1=5=5+0i\) est réel.
- \(z_2=-3i=0-3i\) est imaginaire pur.
- \(z_3=4+2i\) n’est ni réel ni imaginaire pur.
- \(z_4=0=0+0i\) est réel et aussi imaginaire pur.
- \(z_5=7i=0+7i\) est imaginaire pur.
B — Opérations, conjugué, module, quotient
7. Additionner et soustraire deux complexes
Soient :
\[ z_1=2+3i,\qquad z_2=5-i. \]- Calculer \(z_1+z_2\).
- Calculer \(z_1-z_2\).
- Calculer \(2z_1-3z_2\).
1. Somme :
\[ z_1+z_2=(2+3i)+(5-i)=7+2i. \]2. Différence :
\[ z_1-z_2=(2+3i)-(5-i)=2+3i-5+i=-3+4i. \]3. Combinaison :
\[ 2z_1=4+6i, \qquad 3z_2=15-3i. \] \[ 2z_1-3z_2=(4+6i)-(15-3i)=-11+9i. \]Réponses :
\[ \boxed{z_1+z_2=7+2i} \] \[ \boxed{z_1-z_2=-3+4i} \] \[ \boxed{2z_1-3z_2=-11+9i} \]8. Multiplier deux nombres complexes
Calculer et écrire sous forme algébrique :
\[ (2+3i)(4-i). \]On développe :
\[ (2+3i)(4-i)=8-2i+12i-3i^2. \]On regroupe :
\[ 8+10i-3i^2. \]Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[ 8+10i-3(-1)=11+10i. \]Réponse : \(\boxed{11+10i}\).
9. Développer un carré complexe
Calculer :
\[ (3-2i)^2. \]On utilise \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
\[ (3-2i)^2=9-12i+4i^2. \]Comme \(i^2=-1\), alors :
\[ (3-2i)^2=9-12i-4=5-12i. \]Réponse : \(\boxed{5-12i}\).
10. Calculer le conjugué
Déterminer le conjugué de chacun des nombres suivants :
\[ z_1=4+7i,\qquad z_2=-3-5i,\qquad z_3=8,\qquad z_4=-6i. \]Le conjugué de \(a+ib\) est \(a-ib\).
- \(\overline{z_1}=4-7i\).
- \(\overline{z_2}=-3+5i\).
- \(\overline{z_3}=8\).
- \(\overline{z_4}=6i\).
Réponse :
\[ \boxed{\overline{z_1}=4-7i,\quad \overline{z_2}=-3+5i,\quad \overline{z_3}=8,\quad \overline{z_4}=6i} \]11. Calculer un module
Calculer le module de chaque nombre complexe :
\[ z_1=3+4i,\qquad z_2=-5+12i,\qquad z_3=7i,\qquad z_4=-6. \]Si \(z=a+ib\), alors :
\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}. \]- \(|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).
- \(|z_2|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\).
- \(|z_3|=|7i|=\sqrt{0^2+7^2}=7\).
- \(|z_4|=|-6|=\sqrt{(-6)^2}=6\).
Réponse : \(\boxed{5,\ 13,\ 7,\ 6}\).
12. Utiliser \(z\overline{z}\)
Soit \(z=2-5i\).
- Calculer \(\overline{z}\).
- Calculer \(z\overline{z}\).
- En déduire \(|z|\).
1. Le conjugué est :
\[ \overline{z}=2+5i. \]2. Produit :
\[ z\overline{z}=(2-5i)(2+5i)=2^2+5^2=29. \]3. Comme \(|z|^2=z\overline{z}\), on obtient :
\[ |z|^2=29 \] donc \[ |z|=\sqrt{29}. \]Réponse : \(\boxed{\overline{z}=2+5i,\quad z\overline{z}=29,\quad |z|=\sqrt{29}}\).
13. Mettre un inverse sous forme algébrique
Mettre sous forme algébrique :
\[ \frac{1}{2+i}. \]On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[ \frac{1}{2+i} = \frac{1}{2+i}\times\frac{2-i}{2-i}. \]Donc :
\[ \frac{1}{2+i} = \frac{2-i}{(2+i)(2-i)}. \]Or :
\[ (2+i)(2-i)=2^2+1^2=5. \]Ainsi :
\[ \frac{1}{2+i}=\frac{2-i}{5} = \frac25-\frac15 i. \]Réponse : \(\boxed{\dfrac25-\dfrac15 i}\).
14. Mettre un quotient sous forme algébrique
Mettre sous forme algébrique :
\[ \frac{3+i}{1-2i}. \]Le conjugué de \(1-2i\) est \(1+2i\).
\[ \frac{3+i}{1-2i} = \frac{3+i}{1-2i}\times\frac{1+2i}{1+2i}. \]Au numérateur :
\[ (3+i)(1+2i)=3+6i+i+2i^2. \]Comme \(i^2=-1\), on a :
\[ 3+7i-2=1+7i. \]Au dénominateur :
\[ (1-2i)(1+2i)=1^2+2^2=5. \]Donc :
\[ \frac{3+i}{1-2i} = \frac{1+7i}{5} = \frac15+\frac75i. \]Réponse : \(\boxed{\dfrac15+\dfrac75 i}\).
C — Équations simples et plan complexe
15. Résoudre une équation du premier degré dans C
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :
\[ z+3-2i=5+i. \]On isole \(z\) :
\[ z=5+i-3+2i. \]Donc :
\[ z=2+3i. \]Réponse : \(\boxed{z=2+3i}\).
16. Résoudre une équation avec \(z^2\)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :
\[ z^2=-36. \]On cherche les complexes dont le carré vaut \(-36\).
Comme :
\[ (6i)^2=36i^2=-36 \] et \[ (-6i)^2=36i^2=-36, \] alors les solutions sont : \[ z=6i \quad\text{ou}\quad z=-6i. \]Réponse : \(\boxed{S=\{-6i\ ;\ 6i\}}\).
17. Associer un complexe à un point
Dans le plan complexe, placer mentalement les points d’affixes :
\[ z_A=2+3i,\qquad z_B=-4+i,\qquad z_C=5-2i,\qquad z_D=-3-6i. \]Donner les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
Si \(z=a+ib\), alors le point associé a pour coordonnées \((a\ ;\ b)\).
- \(z_A=2+3i\), donc \(A(2\ ;\ 3)\).
- \(z_B=-4+i\), donc \(B(-4\ ;\ 1)\).
- \(z_C=5-2i\), donc \(C(5\ ;\ -2)\).
- \(z_D=-3-6i\), donc \(D(-3\ ;\ -6)\).
Réponse : \(\boxed{A(2\ ;\ 3),\ B(-4\ ;\ 1),\ C(5\ ;\ -2),\ D(-3\ ;\ -6)}\).
18. Calculer une distance avec les affixes
Soient \(A\) et \(B\) les points d’affixes :
\[ z_A=1+2i,\qquad z_B=4+6i. \]Calculer la distance \(AB\).
On utilise :
\[ AB=|z_B-z_A|. \]On calcule :
\[ z_B-z_A=(4+6i)-(1+2i)=3+4i. \]Donc :
\[ AB=|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5. \]Réponse : \(\boxed{AB=5}\).
19. Milieu d’un segment avec les affixes
Soient \(A\) et \(B\) les points d’affixes :
\[ z_A=-2+5i,\qquad z_B=6-i. \]- Donner les coordonnées de \(A\) et \(B\).
- Calculer l’affixe du milieu \(M\) du segment \([AB]\).
1. Coordonnées :
\[ A(-2\ ;\ 5), \qquad B(6\ ;\ -1). \]2. L’affixe du milieu est :
\[ z_M=\frac{z_A+z_B}{2}. \]Donc :
\[ z_M=\frac{(-2+5i)+(6-i)}{2} = \frac{4+4i}{2} = 2+2i. \]Réponse : \(\boxed{z_M=2+2i}\), donc \(M(2\ ;\ 2)\).
20. Exercice de synthèse — calculs et géométrie
On considère les nombres complexes :
\[ z_A=1+2i,\qquad z_B=5+5i,\qquad z_C=7+i. \]- Donner les coordonnées de \(A\), \(B\) et \(C\).
- Calculer \(z_B-z_A\), puis \(AB\).
- Calculer \(z_C-z_B\), puis \(BC\).
- Que peut-on dire des longueurs \(AB\) et \(BC\) ?
1. Coordonnées :
\[ A(1\ ;\ 2),\qquad B(5\ ;\ 5),\qquad C(7\ ;\ 1). \]2. Calcul de \(AB\) :
\[ z_B-z_A=(5+5i)-(1+2i)=4+3i. \] \[ AB=|4+3i|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5. \]3. Calcul de \(BC\) :
\[ z_C-z_B=(7+i)-(5+5i)=2-4i. \] \[ BC=|2-4i|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5. \]4. Comparaison :
\[ AB=5, \qquad BC=2\sqrt5. \]Comme \(5\neq 2\sqrt5\), les longueurs \(AB\) et \(BC\) ne sont pas égales.
Réponse : \(\boxed{AB=5,\quad BC=2\sqrt5,\quad AB\neq BC}\).