Fonctions Variations
1ERE-STI2D • MATHS — Learna
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Cours — Notions de fonctions et variations
Fonction • image • antécédent • lecture graphique • sens de variation • extremum • optimisation simple
1) Définition d’une fonction
Une fonction associe à chaque nombre \(x\) d’un ensemble de départ une unique valeur notée \(f(x)\).
On peut voir une fonction comme une machine :
- on choisit une valeur \(x\),
- on applique une règle de calcul,
- on obtient une valeur de sortie \(f(x)\).
Exemple
Si
\[
f(x)=2x+1
\]
alors :
\[
f(0)=1,\qquad f(2)=5,\qquad f(5)=11
\]
2) Vocabulaire essentiel
Image
L’image de \(x\) par la fonction \(f\) est le nombre \(f(x)\).
Exemple : \[ f(3)=7 \] signifie que 7 est l’image de 3.
Exemple : \[ f(3)=7 \] signifie que 7 est l’image de 3.
Antécédent
Un antécédent de \(y\) est une valeur \(x\) telle que
\[
f(x)=y
\]
Une même valeur peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.
Ne pas confondre :
\(f(2)=5\) signifie que 5 est l’image de 2, et que 2 est un antécédent de 5.
\(f(2)=5\) signifie que 5 est l’image de 2, et que 2 est un antécédent de 5.
3) Lecture graphique
Une fonction peut être représentée par une courbe dans un repère.
Chaque point de cette courbe a pour coordonnées :
\[
(x ; f(x))
\]
Lire une image
Pour lire \(f(a)\), on repère \(a\) sur l’axe horizontal, on rejoint la courbe, puis on lit l’ordonnée.
Lire un antécédent
Pour trouver un antécédent de \(b\), on repère \(b\) sur l’axe vertical, on rejoint la courbe, puis on lit l’abscisse.
Dire que le point \(A(2;5)\) appartient à la courbe de \(f\), c’est dire que :
\[
f(2)=5
\]
4) Sens de variation
Fonction croissante
Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi.
Fonction décroissante
Une fonction est décroissante sur un intervalle lorsque, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue.
Fonction constante
Une fonction est constante sur un intervalle lorsque ses valeurs ne changent pas.
Étudier les variations d’une fonction, c’est décrire comment ses valeurs évoluent.
5) Tableau de variation
Le tableau de variation permet de résumer le comportement de la fonction sur un ou plusieurs intervalles.
Ce qu’on lit dans un tableau de variation
- les intervalles étudiés ;
- les valeurs remarquables de \(x\) ;
- si la fonction monte, descend ou reste constante ;
- les valeurs minimales ou maximales éventuelles.
Le tableau de variation ne donne pas seulement des calculs : il donne une vision globale du comportement de la fonction.
6) Maximum, minimum, extremum
Maximum
Une fonction admet un maximum sur un intervalle lorsque sa plus grande valeur est atteinte sur cet intervalle.
Minimum
Une fonction admet un minimum sur un intervalle lorsque sa plus petite valeur est atteinte sur cet intervalle.
Un extremum est un maximum ou un minimum.
7) Optimisation simple
En technologie, en économie ou en sciences, on cherche souvent à :
- minimiser un coût, une durée, une perte ;
- maximiser un bénéfice, un rendement, une surface, une efficacité.
Méthode
On modélise la situation par une fonction, puis on cherche sur l’intervalle étudié où cette fonction est minimale ou maximale.
Exemple simple
Si une courbe montre qu’une fonction atteint sa plus grande valeur en \(x=4\), alors la situation optimale correspond à \(x=4\).
8) Formulaire
\[
f(a)=b \iff \text{l’image de }a\text{ est }b
\]
\[
f(x)=y \iff x\text{ est un antécédent de }y
\]
\[
\text{point de la courbe : }(x ; f(x))
\]
\[
\text{fonction croissante : quand }x\text{ augmente, }f(x)\text{ augmente}
\]
\[
\text{fonction décroissante : quand }x\text{ augmente, }f(x)\text{ diminue}
\]
\[
\text{extremum = maximum ou minimum}
\]