Automatismes Calculs Rapides
1ERE-STI2D • MATHS — Learna
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Cours — Automatismes et calculs rapides
Calcul numérique • fractions • pourcentages • équations simples • ordres de grandeur • calcul mental raisonné
1) Objectifs du chapitre
Ce qu’il faut savoir faire
- effectuer des calculs numériques rapidement et proprement ;
- manipuler des fractions et des écritures décimales ;
- calculer une évolution en pourcentage ;
- résoudre des équations du premier degré simples ;
- estimer un résultat par ordre de grandeur.
Pourquoi c’est important en STI2D
En STI2D, les automatismes de calcul servent partout :
conversions, coûts, rendements, proportions, puissances, mesures, lecture rapide de résultats.
Le but n’est pas seulement de calculer, mais de calculer vite, juste et intelligemment.
2) Calcul numérique
Dans une expression numérique, on respecte l’ordre des opérations :
parenthèses, multiplications/divisions, additions/soustractions.
Exemple 1
\[
A=3+5\times 2
\]
On calcule d’abord la multiplication :
\[
A=3+10=13
\]
Exemple 2
\[
B=(3+5)\times 2
\]
On calcule d’abord la parenthèse :
\[
B=8\times 2=16
\]
Attention : un mauvais ordre de calcul donne souvent un résultat faux.
3) Fractions et calcul rapide
Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire des fractions, on les met au même dénominateur.
Exemple :
\[
\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\]
Multiplication
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[
\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}
\]
Astuce mentale
Quand c’est possible, on simplifie avant de multiplier.
Par exemple :
\[
\frac{6}{7}\times \frac{14}{15}
\]
On peut simplifier \(6\) avec \(15\), et \(14\) avec \(7\).
4) Pourcentages
Définition
\(p\%\) signifie :
\[
\frac{p}{100}
\]
Donc :
\[
25\%=0{,}25 \qquad 8\%=0{,}08
\]
Calculer un pourcentage d’une valeur
Pour calculer \(15\%\) de 200 :
\[
200\times 0{,}15=30
\]
Augmentation et réduction
| Situation | Coefficient multiplicateur |
|---|---|
| augmentation de \(p\%\) | \(1+\frac{p}{100}\) |
| réduction de \(p\%\) | \(1-\frac{p}{100}\) |
Exemple complet
Un prix de 80 € augmente de \(12\%\).
\[
1+0{,}12=1{,}12
\]
Nouveau prix :
\[
80\times 1{,}12=89{,}6
\]
Donc le nouveau prix est :
\[
\boxed{89{,}60\text{ €}}
\]
5) Équations simples
Résoudre une équation, c’est trouver la valeur inconnue qui rend l’égalité vraie.
Exemple 1
Résoudre :
\[
x+5=12
\]
On soustrait 5 aux deux membres :
\[
x=7
\]
Exemple 2
Résoudre :
\[
3x=21
\]
On divise par 3 :
\[
x=7
\]
On effectue toujours la même opération dans les deux membres de l’égalité.
6) Ordres de grandeur
Un ordre de grandeur permet d’estimer rapidement un résultat sans faire le calcul exact.
Exemple 1
\[
198\times 51
\]
peut être estimé par :
\[
200\times 50=10\,000
\]
Exemple 2
\[
\frac{602}{19}
\]
peut être estimé par :
\[
\frac{600}{20}=30
\]
L’ordre de grandeur ne remplace pas le calcul exact, mais il permet de vérifier qu’un résultat est cohérent.
7) Méthodes rapides à retenir
Méthode 1 — Avant de calculer
- repérer les parenthèses ;
- chercher des simplifications ;
- vérifier s’il s’agit d’un pourcentage ;
- se demander si une estimation est possible.
Méthode 2 — Après le calcul
- contrôler le signe du résultat ;
- vérifier l’ordre de grandeur ;
- simplifier si nécessaire ;
- donner une unité quand le contexte l’impose.
8) Formulaire
\[
p\%=\frac{p}{100}
\]
\[
\text{augmentation de }p\% \Rightarrow \times \left(1+\frac{p}{100}\right)
\]
\[
\text{réduction de }p\% \Rightarrow \times \left(1-\frac{p}{100}\right)
\]
\[
x+a=b \Rightarrow x=b-a
\]
\[
ax=b \Rightarrow x=\frac{b}{a}\quad (a\neq 0)
\]
\[
\text{ordre de grandeur : on remplace par des valeurs proches et simples}
\]